2026年秋高一数学中档题专练专题 2-1 等式性质与不等式性质【9大题型】（原卷版）

专题2-1等式性质与不等式性质

模块一重难点题型突破

【题型1】用不等式（组）表示不等式关系

【题型2】利用不等式的性质判断命题真假

【题型3】作差法比较两数（式）的大小

【题型4】作商法比较两数（式）的大小

【题型5】其它方法比大小

【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案）

模块二中档题突破

【题型7】糖水不等式的证明及应用

【题型8】不等式的证明及不等式判断综合

【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法）

模块三【课后作业】

模块一重难点题型突破

【题型1】用不等式（组）表示不等式关系

知识点一、符号法则与比较大小

实数的符号：

任意xR，则x0（x为正数）、x0或x0（x为负数）三种情况有且只有一种成立．

两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变

符号语言：a0,b0ab0；

a0,b0ab0

②两个同号实数相乘，积是正数

符号语言：a0,b0ab0；

a0,b0ab0

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：a0,b0ab0

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0

符号语言：xRx20，x0x20．

【例题1】（高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货

车载重量30吨，B型货车载重量24吨，设派出A型货车x辆，B型货车y辆，则运输方案应满足

的关系式是（）

A．5x4y100B．5x4y100

C．5x4y100D．5x4y100

【巩固练习1】下列说法正确的是（）

A．某人的月收入x元不高于2000元可表示为“x2000”

B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“xy”

C．变量x不小于a可表示为“xa”

D．变量y不超过a可表示为“ya”

【巩固练习2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地

到灭火前线-共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已

知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60kmh，设需摩托车运送的路段平均速度为xkmh，

为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（）．

4040

A．1B．1

60x60x

355355

C．1D．1

60x60x

【题型2】利用不等式的性质判断命题真假

不等式的性质

不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分

基本性质有：

（1）对称性：abba

（2）传递性：ab,bcac

（3）可加性：abacbc（c∈R）

c0acbc

（4）可乘性：a>b，c0acbc

c0acbc

运算性质有：

（1）可加法则：ab,cdacbd.

（2）可乘法则：ab0,cd0acbd0

（3）可乘方性：ab0,nN*anbn0

知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．

【例题1】（24-25高一上·广东清远·期中）(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分不

必要条件的是（）

A．若ab，则ac2bc2B．若ac2bc2，则ab

1111

C．若ab0，则D．若，则ab0

abab

【例题2】（高一·广东深圳·期末）已知a,b,cR,ab，则下列一定成立的是（）

112

A．B．abb

ab

bcb

C．D．ac21bc21

aca

【巩固练习1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若a,b,c,dR，则下列说法正确的是（）

cd

A．若acbd,cd，则abB．若ab0cd，则0

ab

C．若ab,cd，则acbdD．若ab，则ac2bc2

【巩固练习2】下列说法中，错误的是（）

abab

A．若ab0,cd0，则一定有B．若，则ab

cdc2c2

ama

C．若ba0,m0，则D．若ab,cd，则acbd

bmb

【巩固练习3】（24-25高二下·江西·期末）已知abc，则下列式子一定成立的是（）

11

A．ac2bc2B．a2b2C．D．acbc

acbc

【巩固练习4】（多选）若实数a，b，c满足abb0且a0，c0，则下列不等式正确的是

（）

11bcbb2a2

A．B．acbcC．D．2

abacaa2b2

【题型3】作差法比较两数（式）的大小

作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论．

对任意两个实数a、b

①ab0ab；②ab0ab；③ab0ab．

对于任意实数a、b，ab，ab，ab三种关系有且只有一种成立．

知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是

证明不等式与解不等式的主要依据．

【例题1】已知xR，则x232x.（填“”，“”，或“”）

22

【例题2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）设xy0，试比较xyxy与

x2y2xy的大小.

11xy

（2）已知a、b、x、y0,且，xy，求证：.

abxayb

【巩固练习1】比较下列两式大小：

2

(1)x5x7与x6

(2)x2y21与2xy1

所以x2y212xy1．

ab11

【巩固练习2】已知ab0，试比较与的大小.

b2a2ab

【巩固练习3】比较下列各题中两个代数式值的大小.

2

(1)x21与x4x21；

a2b2ab

(2)与ab0.

a2b2ab

【题型4】作商法比较两数（式）的大小

作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论

a

任意两个值为正的代数式a、b，可以作商ab后比较与1的关系，进一步比较a与b的大小．

b

aaa

11ab；②1ab；③1ab．

bbb

【例题1】设a7，b33，则ab（填入“＞”或“＜”）．

ab

【例题2】已知a0，b0，试比较ab与的大小；

ba

a2b2ab

【巩固练习1】设ab0，比较与的大小

a2b2ab

1

【巩固练习2】Pa2a1,Q,(aR)，则P,Q的大小关系为．

a2a1

【巩固练习3】已知a1，试比较Ma1a和Naa1的大小.

【题型5】其它方法比大小

1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：

若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，

此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．

2、平方法：对两式先平方，再比较大小．

【例题1】比大小：23_____52．

【例题2】若a32，b65，则a、b的大小关系是．

【巩固练习1】比较大小：75_____26．（用，或填空）

><=

【巩固练习2】已知a>0，b>0，M＝ab，N＝ab，则M与N的大小关系为（）

A．M>NB．M<N

C．M≤ND．M，N大小关系不确定

【巩固练习3】设m65，n76，则mn（填入“<”或“>”）

【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案）

常见文字语言与符号语言之间的对应关系

大于或等于、小于或等于、至多、

文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于

至少、不低于不多于、不超过

符号语言

【例题1】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、

技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500

元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购

买2个足球，则不同的选购方式有（）

A．6种B．7种C．8种D．5种

【例题2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t.

现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A

型货厢，25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢.

(1)据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？

(2)若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？

【巩固练习1】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型

号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨

甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不

满足：（）

A．A货箱28节，B货箱22节B．A货箱29节，B货箱21节

C．A货箱31节，B货箱19节D．A货箱30节，B货箱20节

【巩固练习2】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型

号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨

甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不

满足：（）

A．A货箱28节，B货箱22节B．A货箱29节，B货箱21节

C．A货箱31节，B货箱19节D．A货箱30节，B货箱20节

【巩固练习3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人

在A、B、C、D四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的

两个容器给乙，已知容器A、B的底面积均为x2，高分别为x，y，容器C，D底面积均为y2，高

分别为x，y（其中xy）．

(1)写出A，B，C，D四个长方体容器的体积VA、VB、VC、VD；

(2)列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取A再取B与先取B再取A视

为相同的取法）；

(3)在未能确定x与y大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以

获胜），并说明此方案必胜的理由．

模块二中档题突破

【题型7】糖水不等式的证明及应用

糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。

a

其核心表述为：若ba0（代表原有糖水浓度1，且m0)（代表加入的糖量），则必有：

b

aam

1

bbm

含义解释：

aamam

（1）左边不等号：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度

bbmbm

a

一定比原来的浓度更甜（更大）.

b

am

（2）右边不等号1：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）.

bm

关键点：

a

前提：原分数是真分数（1），且加入的量m是正数.

b

结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1.

应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加

糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。

【例题1】（高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？

(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；

(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.

【例题2】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖(ba0)，往糖水中加

入m克糖m0，（假设全部溶解）糖水更甜了．

(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；

2019202020192017

(2)利用（1）的结论比较M,N的大小；

2023202420232021

xyz

(3)证明命题：设x0,y0,z0，证明：12．

xyyzzx

aam

【巩固练习1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知ab0，则“”是“m0”的（）

bbm

A．充要条件B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件D．必要不充分条件

【巩固练习2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴

yym

含着著名的糖水不等式：(xy0,m0)．

xxm

(1)证明糖水不等式；

abc

(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：12．

bcacab

【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明.

(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；

(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；

(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.

【题型8】不等式的证明及不等式判断综合

常用不等式的证明方法

1、作差法：任意两个代数式a、b，可以作差ab后比较ab与0的关系，进一步比较a与b的大

小．

a

2、作商法：任意两个值为正的代数式a、b，可以作商ab后比较与1的关系，进一步比较a与

b

b的大小．

3、中间量法：若ab且bc，则ac（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．

4、平方法：对两式先平方，再比较大小．

5、利用平方公式的非负性

【例题1】（23-24高一上·河北保定·月考）设a,b,cR，abc0，abc1.

(1)证明：abbcca0；

(2)若ab，证明a3b3.

【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/

斤、b元/斤ab，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周

买白菜的平均价格分别记为m1，m2，则m1与m2的大小关系为（）

A．m1m2B．m1m2C．m1m2D．无法确定

b1

【例题3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数a,b满足1，则下列不等式一定成立的

a1

是（）

A．ba0B．ab2C．abab1D．b22aa22b

cc

【巩固练习1】证明：已知abc，且abc0，求证：.

acbc

【巩固练习2】（24-25高一上·山西·期末）(多选)已知ab0，则下列不等式中正确的是（）

22

A．|a1||b1|B．ab

ba

22

C．abD．a2(a3b)b2(b3a)

ba

【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为p1,p2，甲策

略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则种

购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”）

【巩固练习4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）(多选)已知实数a，b，c满足abc，则下列说法

正确的是（）

11bbc

A．B．

cabaaac

11

C．D．2

ababcaabcacbc

a2a

【巩固练习5】（1）已知ba0，证明：；

bba

abc

（2）若a，b，c为三角形的三边长，则2．

bcacab

【巩固练习6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知3a4，2b5，求2ab，ab

a

及的取值范围．

b

xy

（2）设x、y均为正实数，试比较和的大小．

1x1y

【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法）

例题：已知1xy4，且2xy3，求2x3y和xy的取值范围.

第一步：令2x3ym(xy)n(xy)，并化简该式

第二步：列方程组，求出m，n的值．

第三步：分别求出m(xy),n(xy)的取值范围．

第四步：合并第三步的结果，即得2x3y的取值范围

第五步：将1xy4和2xy3平方作差即可得出xy的取值范围

1

m,

mn2,2

解析：（）设2x3ym(xy)n(xy)(mn)x(mn)y，则解得

mn3,5

n,

12

1151515

由已知得2(xy),5(xy)，则3(xy)(xy)8，

222222

即32x3y8.

2

1xy41xy161x22xyy216

（2）因为，所以，即，

222

2xy34xy94x2xyy9

1x22xyy216

所以，则，所以

2284xy122xy3.

9x2xyy4

【例题1】已知2a3，2b1，则2ab的取值范围是（）

A．6,7B．2,5C．4,7D．5,8

【例题2】（高一上·河北石家庄·期中）已知1ab4，1ab2，则4a2b的取值范围是（）

A．x4x10B．x3x6

C．x2x14D．x2x10

【例题3】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知3ab4,1ab2，则2ab的取值范围是（）

515

A．4,18B．2,9C．5,15D．,

22

【巩固练习1】已知2x3，2y3，则下列代数式的范围错误的是（）

A．62xy9B．1xy1C．22xy3D．4xy9

【巩固练习2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知1ab2,3ab4则9a3b的取值范

围为．

【巩固练习3】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知1ab2，3ab4，则ab的最大值为

（）

159

A．B．C．3D．4

42

1ab5

【巩固练习4】（多选）若实数a、b满足：，则下列叙述正确的是（）

1ab3

A．a的取值范围是0a4B．b的取值范围是1b3

C．3a2b的范围是23a2b10D．3a2b的范围是63a2b14

模块三【课后作业】

1．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知a,bR，且5a2,1b4，则ab的取值范围

是.

2．将一根长为5m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为xm，若两段绳子长度之差不小于1m，

则x所满足的不等关系为（）

2x50

A．B．2x51或52x1

0x5

52x12x51

C．D．

0x50x5

3．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）(多选)下列命题正确的是（）

11

A．若ab，则

ab

B．若ab0，则ac2bc2

b1b

C．若ab0，则

a1a

D．若1a3，2b5，则1ba2

4．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知1a4，1b2，则2ab的取值范围是.

5．下列说法正确的是（）

ab

A．若ab，则ac2bc2B．若，则ab

c2c2

aca

C．若ab，cd，则acbdD．若ba0，则

bcb

6．已知实数a，b，则下列选项中正确的是（）

A．若ab，则a2b2B．若ab，则a2b2

2211

C．若ab，则abD．若ab，则

ab

7．设M2a25a4，N(a1)(a3)，则M与N的大小关系为（）

A．MNB．M=NC．MND．无法确定

8．已知1a5,3b1，则以下错误的是（）

A．15ab5B．4ab6