2026秋北师大版高一数学同步备课讲义（必修一）3函数的单调性和最值（一）（题型专练）（原卷版）

3函数的单调性和最值（一）

题型一：根据图象判断函数的单调区间

1．已知函数y=f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（）

A．[-1,2]U[4,5]

B．[-1,2]和[4,5]

C．[-3,-1]U[2,4]

D．[-3,-1]和[2,4]

2．函数y=fx的图象如图所示，其单调递增区间是（）

A．-4,4

B．-4,-3U1,4

C．-3,1

D．-3,4

3．如图是函数y=fx的图象，则函数fx的单调递减区间为（）

A．-2,0B．-2,2

C．0,2D．2,+¥

4．已知函数y=f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为（）

A．(-3,-1)U(1,4)

B．(-5,-3)U(-1,1)

C．(-3,-1),(1,4)

D．(-5,-3),(-1,1)

题型二：求函数的单调区间

1．函数y=x+1的单调增区间是（）

A．(-¥,-1)B．(-¥,1)

C．(-1,+¥)D．(1,+¥)

2．函数f(x)=x2-6x+8的单调递增区间为（）

A．(3,+¥)B．(-¥,2),(4,+¥)

C．(2,3),(4,+¥)D．(-¥,2),(3,4)

3．函数gx=xx+1+1的单调递减区间为（）

æ1ùé1ù

A．ç-¥,B．ê-1,-ú

è2ûúë2û

æ1ù

C．1,+¥D．ç-¥,È1,+¥

è2ûú

题型三：判断函数的单调性

1．下列函数在定义域内是减函数的是（）

1

A．fx=xB．fx=

2x

C．fx=31-2xD．fx=x2

2．下列函数为增函数的是（）

A．fx=xB．fx=x

1

C．fx=x2D．fx=

x

3．下列函数中，在2,+¥上单调递增的是（）

19

A．y=B．y=x+

xx

C．y=x2-4x+1D．y=x-4

4．（多选）下列函数中，在区间(-¥,0)上单调递减的是（）

2

A．y=B．y=|x|

x

C．y=x2+x+1D．y=2x-1

题型四：定义法证明函数的单调性

m

1．已知函数f(x)=4x+,f(1)=13．

x

(1)求m的值；

(2)用定义法证明：函数f(x)在(0,1)上是减函数；

x

2．已知函数fx=.

x2-1

(1)求fx的定义域；

(2)证明：fx在1,+¥上单调递减.

ax+b11

3．已知函数fx=a,bÎR，且f1=，f2=.

x2+454

(1)求a和b的值；

(2)判断fx在2,+¥上的单调性，并根据定义证明.

4．已知函数fx=ax2-2ax+ba>0在区间-1,4上的最小值为1，最大值为10.

(1)求a，b的值；

fx

(2)设gx=，利用定义证明：函数gx在2,+¥上是增函数.

x

k

5．讨论函数y=x+(k>0)在区间(0,+¥)上的单调性.

x

题型五：分段函数的单调性

1．（多选）已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（）

A．f(f(-3))=5

B．f(x)是单调增函数

C．f(x)的定义域是(-¥,0]U[2,3]

D．f(x)的值域是[1,5]

ì-2x+1,x<0

2．（多选）已知函数fx=í2，则（）

î-x+2x+1,x³0

A．f-1=3B．若fa=-2，则a=3

C．函数fx在0,1上单调递减D．函数fx在-1,2的值域为1,3

ì-x+3,x>3

3．（多选）已知函数fx=í2，则（）

îx-2x,x£3

A．f-1=3

B．若fa=1，则a=1或a=-4

C．函数fx在-¥,+¥上单调递减

D．函数fx在0,4上的值域为-1,3

4．"xÎR，用Mx表示fx,gx的较小者，记为Mx=minfx,gx，若

fx=x+1,gx=x2-2x-3，则Mx的单调递减区间为______________.

5．已知函数fx=x2-4x.

(1)将fx写成分段函数的形式，并作出函数的图象；

(2)写出其单调区间（不用证明）.

题型六：复合函数的单调性

1．函数f(x)=-x2+4x+5的单调递增区间是（）

A．(-1,2)B．(-¥,2)

C．(2,5)D．(2,+¥)

1

2．函数y=的单调递减区间是（）

x2-2x

A．(-¥,1)B．(-¥,0)

C．(1,+¥)D．(2,+¥)

3．（多选）已知函数fx在R上是增函数，则下列说法错误的是（）

1

A．y=-f(x)在R上是减函数B．y=在R上是减函数

f(x)

C．y=[f(x)]2在R上是增函数D．y=af(x)（a为实数）在R上是增函数

4．（多选）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是（）

1

A．y=在R上为减函数B．y=|f(x)|在R上为增函数

|f(x)|

1

C．y=-在R上为增函数D．y=-f(x)在R上为减函数

f(x)

题型七：利用函数的单调性比较大小

1．已知定义域为R的函数fx，"x1，x2ÎR，x1<x2，都有x1-x2ëéfx1-fx2ûù<0，则（）

A．f3<fπ<f2B．fπ<f3<f2

C．f2<fπ<f3D．fπ<f2<f3

2．已知二次函数fx=ax2+bx+c的最大值为f4，则（）

A．f5>f2>f8B．f8>f5>f2

C．f8>f2>f5D．f2>f8>f5

3．若函数fx在-¥,-1上是增函数，则下列关系式中成立的是（）

æ3öæ3ö

A．fç-÷<f-1<f-2B．f-1<fç-÷<f-2

è2øè2ø

æ3öæ3ö

C．f-2<f-1<fç-÷D．f-2<fç-÷<f-1

è2øè2ø

4．函数y=fx为定义在R上的减函数，若a¹0，则（）

A．fa>f2aB．fa2>fa

C．fa2+a<faD．fa2+a>fa+1

5．函数y=fx在R上是严格增函数，且a+b>0，则（）

A．fa+fb>f-a+f-bB．fa+fb<f-a+f-b

C．fa-fb>f-a-f-bD．fa+fb<f-a-f-b

题型一：根据函数单调性求参

1．“k<1"是“函数y=kx-1在R上为减函数”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

m+2

2．（多选）函数f(x)=2-在区间(n,+¥)上单调递增，则下列说法正确的是（）

x+1

A．m<-2B．m>-2

C．n£-1D．n³-1

2．已知函数fx=x2-kx-8在3,4上具有单调性，则实数k的取值范围是（）

A．6,8B．-¥,6U8,+¥

C．8,+¥D．-¥,6

3．若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+¥)上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A．[-3,0)B．(-¥,-3]

C．[-2,0]D．[-3,0]

4．已知函数fx=x2-6x+5在区间a,+¥上单调递增，则a的取值范围为（）

A．-¥,1B．-¥,3

C．3,+¥D．5,+¥

2fx1-fx2

5．已知fx=x-2a-1x+1，对"x1,x2Î1,+¥都有³1成立，则实数a的取值范围是（）

x1-x2

A．1,+¥B．-¥,1

C．2,+¥D．-¥,2

题型二：利用函数单调性求不等式

1．已知函数y=fx是定义在R上的增函数，且f1-a<fa-3，则a的取值范围是（）

A．2,+¥B．-¥,2

C．1,2D．1,3

2．已知fx为R上的减函数，则满足fx2-2x<f3的实数x的取值范围是（）

A．-1,3B．-¥,-1È3,+¥

C．-3,3D．-¥,-3U1,+¥

3．已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)<f(2a-1)，则a的取值范围是（）

æ2öæ2ö

A．ç-¥,÷B．ç,+¥÷

è3øè3ø

æ2öæ2ö

C．ç0,÷D．ç,1÷

è3øè3ø

4．已知A(0,2),B(4,-2)是函数f(x)图象上两点，且该函数是R上的减函数，则|f(x-1)|<2的解集是（）

A．(-1,3)B．(1,5)

C．(-¥,-1)È(3,+¥)D．(-¥,1)U(5,+¥)

f(x1)-f(x2)

5．已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意的x1,x2ÎR且x1¹x2，总有>0，则f(x+1)>f(2x)

x1-x2

的解集是________________．

题型三：分段函数的单调性

ì2a-1x+4ax<1

ïfx2-fx1

1．已知函数f(x)=ía，fx对于"x1,x2ÎR,x1¹x2，都有<0成立，求a

ïx³1x2-x1

îx

的取值范围（）

æ1öé11ö

A．ç-¥,÷B．,÷

è2øëê52ø

æ11öæ1ö

C．ç,÷D．ç,+¥÷

è52øè2ø

ìx+3a2,x³0fx-fx

fxx,xÎR,x¹x,12>0a

2．已知函数=í2，对任意1212，则实数的取位范围是

î-x-ax+1,x<0x1-x2

（）

3

A．a£-B．a£0

3

333

C．a£-或a³D．0<a≤

333

ìx2-ax+5,x£1

ï

3．（多选）已知函数fx=ía是R上的函数，且满足对于任意的x1¹x2，都有

ï,x>1

îx

f(x)-f(x)

21>0成立，则a可能是（）

x1-x2

A．1B．2

C．3D．4

ì-x2-ax-5(x£1)

ï

4．已知函数f(x)=ía是R上的增函数，则实数a的取值范围是________________.

ï(x>1)

îx

1