2025-2026年四川省人教版高中数学选修第四册综合测试卷

2025-2026年四川省人教版高中数学选修第四册综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第四册第7单元《数列与极限》中，已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）A．n^2-1B．2^n-nC．n^2+2^n-1D．2^(n+1)-n-2解析：由递推式a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，进而a_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2^n-1)=n^2，因此正确答案为A。2.第8单元《不等式》中，若a>b>0，则下列不等式恒成立的是（）A．log_a(b^2)>log_b(a^2)B．(a+b)/2>(a-b)/2C．a^2+b^2>2abD．a^3+b^3<a^2b+ab^2解析：选项A中，log_a(b^2)=2log_a(b)，log_b(a^2)=2log_b(a)，由换底公式可得log_a(b)=b/a，log_b(a)=a/b，因此log_a(b^2)-log_b(a^2)=2(b/a-a/b)，当0<b<a<1时，该式为负，故A错误；选项B中，(a+b)/2-(a-b)/2=b>0，正确；选项C中，a^2+b^2-2ab=(a-b)^2≥0，正确；选项D中，a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)，而a^2b+ab^2=ab(a+b)，当a>b>0时，a^2-ab+b^2>ab，因此a^3+b^3>a^2b+ab^2，错误。正确答案为B、C。3.第9单元《解析几何》中，已知点P(x,y)在圆C：(x-1)^2+(y+2)^2=4上运动，则|OP|的最小值为（）A．1B．√2C．2D．3解析：圆心C(1,-2)，半径r=2，|OP|的最小值=|OC|-r=√(1^2+(-2)^2)-2=√5-2≈1.236，选项中最接近的是A。4.第10单元《立体几何》中，若三棱锥A-BCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，侧面ABC与底面BCD所成二面角为60°，则点A到平面BCD的距离为（）A．1B．√3/2C．√2D．2解析：取BC中点E，连接AE，则AE⊥BC，设AE=x，由二面角定义可知∠AEB=60°，BE=1，由tan60°=x/1得x=√3/3，AE=√3/3，AD=2AE=2√3/3，点A到平面BCD的距离为√(AD^2-AE^2)=√(4/3-1/3)=√1=1，正确答案为A。5.第11单元《概率统计》中，某校高三年级随机抽取100名学生进行数学成绩调查，样本标准差为12，样本平均分为85分，若将每个学生成绩增加10分后重新计算样本方差，则新样本方差为（）A．144B．14400C．25D．24解析：样本方差s^2=12^2=144，增加常数10后，新样本方差不变仍为144，正确答案为A。6.第12单元《算法初步》中，执行如下伪代码后，变量S的值为（）S=0FORi=1TO5S=S+i^2ENDFORA．55B．30C．15D．10解析：S=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55，正确答案为A。7.第13单元《导数及其应用》中，函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为（）A．2B．3C．4D．5解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，最大值为2，正确答案为A。8.第14单元《复数》中，若z=1+i，则|z^2|的值为（）A．1B．2C．√2D．4解析：z^2=(1+i)^2=2i，|z^2|=|2i|=2，正确答案为B。9.第15单元《数列应用》中，某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若今年产量为100万吨，则5年后产量约为（）A．161.05万吨B．150万吨C．120万吨D．110万吨解析：5年后产量=100×(1+10%)^5≈161.05万吨，正确答案为A。10.第16单元《参数方程》中，曲线x=2cosθ，y=3sinθ的面积为（）A．6πB．3πC．πD．9π解析：曲线为椭圆，长轴2a=4，短轴2b=6，面积=πab=12π，正确答案为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.第7单元《数列与极限》中，若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n/2，则a_5=________。参考答案：27/4解析：{a_n}是等比数列，公比q=3/2，a_5=2×(3/2)^4=27/4。2.第8单元《不等式》中，若a>b>0，则(a+1)/(b+1)与(a^2+1)/(b^2+1)的大小关系为________。参考答案：前者≥后者解析：令f(x)=x/(x+1)，f(x)在(0,+∞)单调递减，故(a+1)/(b+1)≥(b+1)/(a+1)，平方后得(a^2+1)/(b^2+1)≥(a+1)/(b+1)。3.第9单元《解析几何》中，过点P(1,2)的直线与圆C：(x-2)^2+(y-3)^2=4相切，则切线方程为________。参考答案：x-y+1=0解析：设切线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0，圆心(2,3)，半径2，|2k-3-k+2|/√(k^2+1)=2，解得k=1，切线方程为x-y+1=0。4.第10单元《立体几何》中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则点A到平面B1CD的距离为________。参考答案：√6/3解析：取CD中点E，连接AE，则AE⊥平面B1CD，AE=√(1^2+1^2)=√2，B1E=√(1^2+1^2)=√2，B1D=√3，AE⊥B1D，AE=√6/3。5.第11单元《概率统计》中，某射手每次射击命中目标的概率为0.7，独立射击5次，恰好命中3次的概率为________。参考答案：0.3087解析：P=C(5,3)×0.7^3×0.3^2=10×0.343×0.09=0.3087。6.第12单元《算法初步》中，程序段FORi=1TOnSTEP2S=S+iENDFOR执行了________次循环。参考答案：n/2（若n为偶数）或(n-1)/2（若n为奇数）解析：当n为偶数时，i取1,3,...,n，共n/2次；当n为奇数时，i取1,3,...,n-2，共(n-1)/2次。7.第13单元《导数及其应用》中，函数f(x)=x^3-3x^2+2的极小值点为________。参考答案：2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，x=2为极小值点。8.第14单元《复数》中，复数z=1/(1-i)的模为________。参考答案：√2/2解析：z=(1+i)/2，|z|=√2/2。9.第15单元《数列应用》中，等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，d=2，则S_10-S_5=________。参考答案：90解析：S_10-S_5=a_6+a_7+...+a_10=5(a_1+a_10)/2=5(1+19)/2=50，a_5+a_6+...+a_10=10a_7=10×11=110，故S_10-S_5=110-50=90。10.第16单元《参数方程》中，曲线x=t^2，y=2t的焦点坐标为________。参考答案：(1,0)解析：消参得y^2=4x，焦点为(1,0)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.第7单元《数列与极限》中，若数列{a_n}单调递增且a_n→A，则A为数列的最小值。参考答案：×解析：单调递增数列的极限A为数列的上确界，未必是最小值。2.第8单元《不等式》中，若a>b>0，则√a>√b。参考答案：√解析：由算术根性质可知√a>√b。3.第9单元《解析几何》中，过点(1,1)的直线与圆x^2+y^2=1相切，则切线方程为x+y=2。参考答案：×解析：圆心(0,0)，半径1，切线方程为x+y-2=0。4.第10单元《立体几何》中，正四棱锥的底面是正方形，则其各侧面与底面所成二面角相等。参考答案：√解析：正四棱锥的对称性导致各侧面与底面所成二面角相等。5.第11单元《概率统计》中，样本容量越大，样本统计量的标准误差越小。参考答案：√解析：标准误差与样本容量的平方根成反比。6.第12单元《算法初步》中，程序段FORi=1TOnSTEP-1S=S+iENDFOR执行了n次循环。参考答案：√解析：当步长为-1时，循环n次。7.第13单元《导数及其应用》中，函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)≥0对所有x∈(a,b)成立。参考答案：√解析：单调递增函数的导数非负。8.第14单元《复数》中，复数z=1+i与z=1-i的模相等。参考答案：√解析：|1+i|=√2，|1-i|=√2。9.第15单元《数列应用》中，等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，q=2，则S_4=15。参考答案：×解析：S_4=1+2+4+8=15。10.第16单元《参数方程》中，曲线x=cosθ，y=sinθ的面积为π。参考答案：√解析：单位圆面积为π。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.第7单元《数列与极限》中，若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=1+1/a_n，求a_2，a_3，a_4。参考答案：a_2=2，a_3=5/2，a_4=3/2解析：a_2=1+1/1=2，a_3=1+1/2=5/2，a_4=1+1/(5/2)=3/2。2.第8单元《不等式》中，解不等式3x^2-5x-2>0。参考答案：x<-1/3或x>2解析：解方程3x^2-5x-2=0得x=-1/3或x=2，不等式解集为(-∞,-1/3)∪(2,+∞)。3.第9单元《解析几何》中，求圆C：(x+1)^2+(y-2)^2=4的圆心坐标和半径。参考答案：圆心(-1,2)，半径2解析：直接由标准方程可得。4.第10单元《立体几何》中，正方体的棱长为2，求其体积。参考答案：8解析：体积=2^3=8。5.第11单元《概率统计》中，某班级有男生30人，女生20人，随机抽取3人，求抽到2名女生的概率。参考答案：1/12解析：P=C(20,2)/C(50,3)=1/12。6.第12单元《算法初步》中，写出计算1+2+3+...+n的程序段。参考答案：S=0FORi=1TOnS=S+iENDFOR解析：通过循环累加求和。7.第13单元《导数及其应用》中，求函数f(x)=x^2-4x+5的单调区间。参考答案：(-∞,2)单调递减，(2,+∞)单调递增解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2，f''(x)=2>0，x=2为极小值点。8.第14单元《复数》中，计算(1+i)^10的值。参考答案：1024解析：利用二项式定理或(1+i)^2=2i，(1+i)^4=4，(1+i)^8=256，(1+i)^10=256×4=1024。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.第7单元《数列与极限》中，某工厂今年产量为100万吨，计划每年比上一年增长10%，求5年后的产量。参考答案：161.05万吨解析：100×(1+10%)^5=100×1.1^5≈161.05万吨。2.第8单元《不等式》中，某商品售价x元，成本为50元，若售价不低于成本，且利润不低于20%，求x的取值范围。参考答案：x≥60解析：利润=(x-50)/50≥0.2，x≥60。3.第9单元《解析几何》中，求过点(1,2)且与圆C：(x-1)^2+(y+1)^2=4相切的直线方程。参考答案：y=x+1解析：设切线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0，圆心(1,-1)，半径2，|k+3|/√(k^2+1)=2，解得k=-1/3，切线方程为y=x+1。4.第10单元《立体几何》中，正三棱锥的底面边长为2，高为1，求其体积。参考答案：√3/3解析：底面积S=√3/4×2^2=√3，体积V=1/3×S×h=√3/3。5.第11单元《概率统计》中，某射手每次射击命中目标的概率为0.8，独立射击4次，求至少命中3次的概率。参考答案：0.8192解析：P=C(4,3)×0.8^3×0.2+C(4,4)×0.8^4=0.8192。6.第12单元《算法初步》中，写出计算1×2×3×...×n的程序段。参考答案：P=1FORi=1TOnP=PiENDFOR解析：通过循环累乘求阶乘。7.第13单元《导数及其应用》中，求函数f(x)=x^3-3x