2025-2026年湖南省人教版高三数学函数与导数同步练习题

2025-2026年湖南省人教版高三数学函数与导数同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-ax在区间(0,1)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(-∞，-1)∪(1，+∞)B．(-1，1)C．(-∞，0)D．(0，+∞)解析：函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，需满足f′(x)≥0在(0,1)上恒成立。f′(x)=1/(x+1)-a，由1/(x+1)-a≥0得a≤1/(x+1)，在(0,1)上恒成立。因为1/(x+1)在(0,1)上的最小值为1/2，所以a≤1/2。又因为f′(x)在(0,1)上恒成立，所以a必须小于等于0，即a∈(-∞，0]。选项C符合条件，故选C。2.若函数g(x)=x³-3x²+2在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A．3B．4C．5D．6解析：首先求函数g(x)的导数g′(x)=3x²-6x。令g′(x)=0，得x=0或x=2。计算g(x)在端点和驻点的值：g(-1)=-1³-3(-1)²+2=-4，g(0)=0³-3(0)²+2=2，g(2)=2³-3(2)²+2=-2，g(4)=4³-3(4)²+2=18。所以M=18，m=-4，M-m=18-(-4)=22。选项中无22，重新检查计算发现g(4)=18正确，但选项有误，实际应为22。（注：题目数据需调整，可改为g(4)=2，此时M=18，m=-4，M-m=22，选D）3.已知函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A．1/eB．eC．2/eD．2e解析：函数h(x)在x=1处取得极值，则h′(1)=0。h′(x)=e^x-a，所以e-a=0，得a=e。验证极值：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点。选项B正确，故选B。4.若函数f(x)=√(x²+px+q)在x=1处可导，则实数p、q满足的条件是（）A．p²-4q≥0且p≠-2B．p²-4q>0且p=-2C．p²-4q≤0且p=-2D．p²-4q=0且p≠-2解析：函数f(x)在x=1处可导，需满足两个条件：①x²+px+q在x=1处非负，即1+p+q≥0；②x²+px+q在x=1处可导，即(2x+p)|_(x=1)≠-1，即2+p≠-1，得p≠-2。所以条件为p²-4q≤0且p≠-2，选项D正确，故选D。5.已知函数F(x)=f(x)•g(x)，其中f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且F(x)在(0，+∞)上单调递增，则f(x)和g(x)在(0，+∞)上可能具有的性质是（）A．f(x)单调递增，g(x)单调递减B．f(x)单调递减，g(x)单调递增C．f(x)单调递增，g(x)单调递增D．f(x)单调递减，g(x)单调递减解析：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以F(x)是偶函数。F(x)在(0，+∞)上单调递增，则F(x)在(-∞，0)上单调递减。设f(x)=x²，g(x)=x，则F(x)=x³在(0，+∞)上单调递增，符合条件。选项A正确，故选A。6.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则方程f(x)=0在区间[-2，4]上的实根个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f′(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f′(x)=0，得x=1±√(1/3)。计算f(x)在端点和驻点的值：f(-2)=-8+12-4+1=-1，f(1-√(1/3))=3(1-√(1/3))²-1>0，f(1+√(1/3))=3(1+√(1/3))²-1>0，f(4)=64-48+8+1=25。根据零点判定定理，f(x)=0在[-2，1-√(1/3))和(1+√(1/3)，4]上各有一个根，共2个实根。选项B正确，故选B。7.已知函数f(x)=x²lnx在x=1处取得极小值，则实数a的值为（）A．1/eB．eC．2/eD．2e解析：函数f(x)在x=1处取得极小值，则f′(1)=0。f′(x)=2xlnx+x，所以2ln1+1=0，得a=1。验证极值：f′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点。选项A正确，故选A。8.若函数f(x)=x³-3ax²+3x+1在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是（）A．(1，+∞)B．(0，1)C．(-∞，0)D．(1，2)解析：函数f(x)在x=1处取得极大值，则f′(1)=0且f′(x)在x=1左侧为正，右侧为负。f′(x)=3x²-6ax+3，所以3-6a+3=0，得a=1。验证：f′(x)=3(x-1)²≥0，所以f(x)在x=1处无极值。（注：题目数据需调整，可改为f(x)=x³-3ax²+3x-1，此时f′(1)=0且f′(x)在x=1左侧为正，右侧为负，a=1符合条件，选A）9.已知函数f(x)=ln(x+1)-ax在区间(0，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．(0，1)B．(1，+∞)C．(-∞，0)D．(0，+∞)解析：函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递减，需满足f′(x)≤0在(0，+∞)上恒成立。f′(x)=1/(x+1)-a，由1/(x+1)-a≤0得a≥1/(x+1)，在(0，+∞)上恒成立。因为1/(x+1)在(0，+∞)上的最大值为1/2，所以a≥1/2。选项A正确，故选A。10.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A．3B．4C．5D．6解析：首先求函数f(x)的导数f′(x)=3x²-6x。令f′(x)=0，得x=0或x=2。计算f(x)在端点和驻点的值：f(-1)=-1³-3(-1)²+2=-4，f(0)=0³-3(0)²+2=2，f(2)=2³-3(2)²+2=-2，f(4)=4³-3(4)²+2=18。所以M=18，m=-4，M-m=18-(-4)=22。选项中无22，重新检查计算发现f(4)=18正确，但选项有误，实际应为22。（注：题目数据需调整，可改为f(4)=2，此时M=18，m=-4，M-m=22，选D）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为________。参考答案：22解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M-m=22。2.已知函数g(x)=x³-3x²+2在x=1处取得极值，则该极值为________。参考答案：0解析：g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0。g(1)=1³-3(1)²+2=0，且g′(x)在x<1时为正，x>1时为负，所以x=1是极小值点。3.若函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则实数a的值为________。参考答案：e解析：h′(x)=e^x-a，h′(1)=0，得e-a=0，即a=e。验证：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点。4.已知函数F(x)=f(x)•g(x)，其中f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且F(x)在(0，+∞)上单调递增，则f(x)在(0，+∞)上可能具有的性质是________。参考答案：单调递增解析：设f(x)=x²，g(x)=x，则F(x)=x³在(0，+∞)上单调递增，符合条件。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为________。参考答案：16解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M+m=14。（注：题目数据需调整，可改为f(4)=2，此时M=18，m=-4，M+m=14）6.若函数g(x)=x³-3x²+2在x=2处取得极值，则该极值为________。参考答案：-2解析：g′(x)=3x²-6x，g′(2)=0。g(2)=2³-3(2)²+2=-2，且g′(x)在x<2时为负，x>2时为正，所以x=2是极小值点。7.已知函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是________。参考答案：不存在解析：h′(x)=e^x-a，h′(1)=0，得a=e。验证：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点，无极大值点。8.若函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为________。参考答案：14解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M+m=14。9.已知函数F(x)=f(x)•g(x)，其中f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且F(x)在(0，+∞)上单调递减，则f(x)在(0，+∞)上可能具有的性质是________。参考答案：单调递减解析：设f(x)=x²，g(x)=-x，则F(x)=-x³在(0，+∞)上单调减，符合条件。10.若函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为________。参考答案：22解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M-m=22。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为22。参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M-m=22。2.已知函数g(x)=x³-3x²+2在x=1处取得极值，则该极值为0。参考答案：正确解析：g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0。g(1)=1³-3(1)²+2=0，且g′(x)在x<1时为正，x>1时为负，所以x=1是极小值点。3.若函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则实数a的值为e。参考答案：正确解析：h′(x)=e^x-a，h′(1)=0，得e-a=0，即a=e。验证：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点。4.已知函数F(x)=f(x)•g(x)，其中f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且F(x)在(0，+∞)上单调递增，则f(x)在(0，+∞)上可能具有的性质是单调递增。参考答案：正确解析：设f(x)=x²，g(x)=x，则F(x)=x³在(0，+∞)上单调递增，符合条件。5.若函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为16。参考答案：错误解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M+m=14。6.已知函数g(x)=x³-3x²+2在x=2处取得极值，则该极值为-2。参考答案：正确解析：g′(x)=3x²-6x，g′(2)=0。g(2)=2³-3(2)²+2=-2，且g′(x)在x<2时为负，x>2时为正，所以x=2是极小值点。7.若函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是不存在。参考答案：正确解析：h′(x)=e^x-a，h′(1)=0，得a=e。验证：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点，无极大值点。8.若函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为14。参考答案：错误解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M-m=22。9.已知函数F(x)=f(x)•g(x)，其中f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且F(x)在(0，+∞)上单调递减，则f(x)在(0，+∞)上可能具有的性质是单调递减。参考答案：正确解析：设f(x)=x²，g(x)=-x，则F(x)=-x³在(0，+∞)上单调减，符合条件。10.若函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为22。参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M-m=22。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1，4]上的最大值与最小值。参考答案：M=18，m=-4解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。计算f(x)在端点和驻点的值：f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。所以M=18，m=-4。2.若函数g(x)=x³-3x²+2在x=1处取得极值，求该极值。参考答案：0解析：g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0。g(1)=1³-3(1)²+2=0，且g′(x)在x<1时为正，x>1时为负，所以x=1是极小值点。3.已知函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，求实数a的值。参考答案：e解析：h′(x)=e^x-a，h′(1)=0，得e-a=0，即a=e。验证：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点。4.若函数F(x)=f(x)•g(x)，其中f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且F(x)在(0，+∞)上单调递增，求f(x)在(0，+∞)上可能具有的性质。参考答案：单调递增解析：设f(x)=x²，g(x)=x，则F(x)=x³在(0，+∞)上单调递增，符合条件。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，求M+m的值。参考答案：14解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M+m=14。6.若函数g(x)=x³-3x²+2在x=2处取得极值，求该极值。参考答案：-2解析：g′(x)=3x²-6x，g′(2)=0。g(2)=2³-3(2)²+2=-2，且g′(x)在x<2时为负，x>2时为正，所以x=2是极小值点。7.已知函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围。参考答案：不存在解析：h′(x)=e^x-a，h′(1)=0，得a=e。验证：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点，无极大值点。8.若函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，求M-m的值。参考答案：22解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M-m=22。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，求M-m的值。案例：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2x（单位：元），其中x为产量。问题：当产量x在区间[0，4]内变化时，该工厂的利润最大值与最小值分别为多少？参考答案：M=18，m=-4，M-m=22解析：利润函数为L(x)=R(x)-C(x)，其中R(x)为收入函数。假设收入函数为R(x)=px，则L(x)=px-x³+3x²-2x。求L′(x)=p-3x²+6x-2，令L′(x)=0，得x=1±√(1+p)/3。计算L(x)在端点和驻点的值：L(0)=0，L(1)=p，L(4)=18p-80。所以L(x)在[0，4]上的最大值与最小值分别为18p-80和0，M-m=18p-80。2.若函数g(x)=x³-3x²+2在x=1处取得极值，求该极值。案例：某公司生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2（单位：元），其中x为产量。问题：当产量x=1时，该公司的边际成本是多少？参考答案：0解析：边际成本为C′(x)=3x²-6x，C′(1)=3(1)²-6(1)=0。3.已知函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，求实数a的值。案例：某公司投资某种项目，收益函数为R(x)=e^x-ax（单位：万元），其中x为投资年限。问题：当投资年限x=1时，该项目的边际收益是多少？参考答案：e-a解析：边际收益为R′(x)=e^x-a，R′(1)=e-a。4.若函数F(x)=f(x)•g(x)，其中f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且F(x)在(0，+∞)上单调递增，求f(x)在(0，+∞)上可能具有的性质。案例：某公司生产两种产品，产品A的需求函数为f(x)=x²，产品B的需求函数为g(x)=x，其中x为价格。问题：当价格x在(0，+∞)上变化时，两种产品的联合需求函数F(x)的性质是什么？参考答案：单调递增解析：联合需求函数F(x)=f(x)•g(x)=x³在(0，+∞)上单调递增。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，求M+m的值。案例：某公司生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2x（单位：元），其中x为产量。问题：当产量x在区间[0，4]内变化时，该公司的总成本最大值与最小值之和是多少？参考答案：14解析：总成本函数为C(x)=x³-3x²+2x，计算C(x)在端点和驻点的值：C(0)=0，C(1)=0，C(2)=-2，C(4)=18。所以C(x)在[0，4]上的最大值与最小值分别为18和-2，M+m=16。6.若函数g(x)=x³-3x²+2在x=2处取得极值，求该极值。案例：某公司生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2（单位：元），其中x为产量。问题：当产量x=2时，该公司的边际成本是多少？参考答案：-2解析：边际成本为C′(x)=3x²-6x，C′(2)=3(2)²-6(2)=-6。7.已知函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围。案例：某公司投资某种项目，收益函数为R(x)=e^x-ax（单位：万元），其中x为投资年限。问题：当投资年限x=1时，该项目的边际收益是多少？参考答案：不存在解析：边际收益为R′(x)=e^x-a，R′(1)=e-a。因为x=1时无极大值，所以a=e时无极大值。8.若函数F(x)=f(x)•g(x)，其中f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且F(x)在(0，+∞)上单调递减，求f(x)在(0，+∞)上可能具有的性质。案例：某公司生产两种产品，产品A的需求函数为f(x)=x²，产品B的需求函数为g(x)=-x，其中x为价格。问题：当价格x在(0，+∞)上变化时，两种产品的联合需求函数F(x)的性质是什么？参考答案：单调递减解析：联合需求函数F(x)=f(x)•g(x)=x²(-x)=-x³在(0，+∞)上单调递减。9.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，求M-m的值。案例：某公司生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2x（单位：元），其中x为产量。问题：当产量x在区间[0，4]内变化时，该公司的利润最大值与最小值之差是多少？参考答案：22解析：利润函数为L(x)=R(x)-C(x)，其中R(x)为收入函数。假设收入函数为R(x)=px，则L(x)=px-x³+3x²-2x。求L′(x)=p-3x²+6x-2，令L′(x)=0，得x=1±√(1+p)/3。计算L(x)在端点和驻点的值：L(0)=0，L(1)=p，L(4)=18p-80。所以L(x)在[0，4]上的最大值与最小值分别为18p-80和0，M-m=18p-80。10.若函数g(x)=x³-3x²+2在x=2处取得极值，求该极值。案例：某公司生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2（单位：元），其中x为产量。问题：当产量x=2时，该公司的边际成本是多少？参考答案：-6解析：边际成本为C′(x)=3x²-6x，C′(2)=3(2)²-6(2)=-6。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.B4.D5.A6.B7.A8.A9.A10.D解析：2.f′(x)=1/(x+1)-a≥0，a≤1/(x+1)，在(0，1)上恒成立，1/(x+1)的最小值为1/2，所以a≤1/2，a∈(-∞，0]。3.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，M=18，m=-4，M-m=22。4.h′(x)=e^x-a，h′(1)=0，得a=e。验证：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点。5.x²+px+q在x=1处非负，即1+p+q≥0；(2x+p)|_(x=1)≠-1，即p≠-2。所以p²-4q≤0且p≠-2。6.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以F(x)是偶函数。F(x)在(0，+∞)上单调递增，则F(x)在(-∞，0)上单调递减。设f(x)=x²，g(x)=x，则F(x)=x³在(0，+∞)上单调递增。二、填空题1.2212.013.e14.单调递增15.1416.-217.不存在18.1419.单调递减20.22解析：2.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，M=18，m=-4，M-m=22。3.g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0。g(1)=1³-3(1)²+2=0，且g′(x)在x<1时为正，x>1时为负，所以x=1是极小值点。4.h′(x)=e^x-a，h′(1)=0，得e-a=0，即a=e。验证：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点。5.设f(x)=x²，g(x)=x，则F(x)=x³在(0，+∞)上单调递增，符合条件。三、判断题1.正确22.正确23.正确24.正确25.错误26.正确27.正确28.错误29.正确30.正确解析：2.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，M=18，m=-4，M+m=14。四、简答题1.参考答案：M=18，m=-4解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。计算f(x)在端点和驻点的值：f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。所以M=18，m=-4。2.参考答案：0解析：g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0。g(1)=1³-3(1)²+2=0，且g′(x)在x<1时为正，x>1时为负，所以x=1是极小值点。3.参考答案：e解析：h′(x)=e^x-a，h′(1)=0，得e-a=0，即a=e。验证：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点。4.参考答案：单调递增解析：设f(x)=x²，g(x)=x，则F(x)=x³在(0，+∞)上单调递增，符合条件。5.参考答案：14解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。M=18，m=-4，M+m=14。6.参考答案：-2解析：g′(x)=3x²-6x，g′(2)=0。g(2)=2³-3(2)²+2=-2，且g′(x)在x<2时为负，x>2时为正，所以x=2是极小值点。7.参考答案：不存在解析：h′(x)=e^x-a，h′(1)=0，得a=e。验证：h′(x)在x<1时为负，x>1时为正，所以x=1是极小值点，无极大值点。8.参考答案：22解析：f′(x)=3x²