2026年四川省人教版高中数学选修2-4知识点巩固习题

2026年四川省人教版高中数学选修2-4知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修2-4的《极坐标与参数方程》章节中，若点P的极坐标为（4，π/3），则将其转换为直角坐标系中的坐标为（）A.（2，2√3）B.（-2，2√3）C.（-2，-2√3）D.（2，-2√3）解析：极坐标（ρ，θ）转换为直角坐标（x，y）的公式为x=ρcosθ，y=ρsinθ。代入ρ=4，θ=π/3，得x=4cos(π/3)=2，y=4sin(π/3)=2√3，故正确答案为A。选项B、C、D错误在于未正确处理θ为钝角时的符号。2.已知曲线的参数方程为x=t^2-1，y=2t+1（t为参数），则该曲线的普通方程为（）A.y^2=4x+4B.y^2=4x-4C.x^2=4y-4D.x^2=4y+4解析：消参法求解。由y=2t+1得t=(y-1)/2，代入x=t^2-1得x=((y-1)/2)^2-1，化简为y^2=4x+4。选项B、C、D错误在于未正确处理参数消去后的关系式。3.在《不等式选讲》章节中，若a>b>0，c<0，则下列不等式成立的是（）A.ac>bcB.a/c>b/cC.ac^2>bc^2D.a^2c>b^2c解析：根据不等式性质，不等式两边乘以负数方向改变。选项A错误，ac<bc；选项B正确，a/c>b/c；选项C错误，ac^2=bc^2；选项D错误，a^2c=b^2c。4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且图象过点（0，1），则φ的值为（）A.π/6B.π/3C.2π/3D.π/2解析：周期T=2π/ω=π，得ω=2。由f(0)=sin(φ)=1，得φ=π/2。选项A、B、C错误，未满足f(0)=1的条件。5.在《数列与极限》章节中，等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3+a_7=12，则S_9的值为（）A.54B.72C.108D.144解析：等差数列性质a_3+a_7=2a_5=12，得a_5=6。S_9=9/2×(a_1+a_9)=9/2×(a_5+a_5)=9×6=54。选项B、C、D错误，未正确应用等差中项性质。6.已知函数g(x)=log_a(x^2-2x+3)在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(0，1)B.(1，2)C.(2，+∞)D.(0，1)∪(1，+∞)解析：函数g(x)单调递增需满足复合函数单调性，即外函数log_a(x)单调递增且内函数x^2-2x+3在（1，+∞）上为增函数。log_a(x)单调递增需a>1，选项A、D错误；内函数在（1，+∞）上为增函数，选项C正确。7.在《复数》章节中，若z=1+i，则z^4的虚部为（）A.0B.2C.-2D.4解析：z^4=(1+i)^4=[(1+i)^2]^2=(2i)^2=-4，虚部为0。选项B、C、D错误，未正确计算复数乘方。8.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则该圆的圆心到直线3x-4y+5=0的距离为（）A.1B.√2C.2D.√5解析：圆心为（2，-3），直线3x-4y+5=0，距离d=|3×2-4×(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|29|/5=29/5≈5.8，选项均错误，需重新计算。正确计算：d=|6+12+5|/5=23/5，选项均无正确答案。9.在《排列组合》章节中，从6名男生和4名女生中选出3名代表，其中至少包含1名女生，则不同的选法共有（）种A.160B.240C.320D.360解析：分类计数：1名女生2名男生C(4,1)×C(6,2)=4×15=60；2名女生1名男生C(4,2)×C(6,1)=6×6=36；3名女生C(4,3)=4。总数60+36+4=100，选项均错误，需重新计算。正确计算：总选法C(10,3)=120，至少1名女生=总选法-0名女生=120-20=100，选项仍无正确答案。10.已知点A（1，2）和B（3，0）在抛物线y^2=2px上，则该抛物线的焦点坐标为（）A.(1/2，0)B.(2，0)C.(3/2，0)D.(1，0)解析：将A代入y^2=2px得4=2p×1，p=2。焦点坐标为(1/2p，0)=(1/4，0)，选项均错误，需重新计算。正确计算：将B代入y^2=2px得0=2p×3，p=0，抛物线为y^2=0，焦点在原点（0，0），选项无正确答案。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若点M的直角坐标为（-3，4），则其极坐标为__________（ρ>0，0≤θ<2π）。参考答案：5，2π-arcctg(-4/3)解析：ρ=√((-3)^2+4^2)=5，θ=π-arcctg(-4/3)。选项需转换为标准极角。2.参数方程x=t+1/t，y=t-1/t（t为参数）的普通方程为__________。参考答案：y^2=x^2-2（x≠±1）解析：消参t，由x+y=2/t，x-y=-2/t得x^2-y^2=4/t^2，代入x+y得x^2-2=0，排除x=±1的增根。3.不等式|3x-2|<5的解集为__________。参考答案：（-1，3/3）解析：3x-2>-5且3x-2<5，解得x>-1且x<3，即(-1，3)。4.函数f(x)=cos^2x-sin^2x+1的单调递增区间为__________。参考答案：[kπ-π/4，kπ+π/4]，k∈Z解析：f(x)=cos2x+1，单调递增区间为2kπ-π/2≤2x≤2kπ+π/2，即kπ-π/4≤x≤kπ+π/4。5.等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，则公比q=__________。参考答案：2解析：a_4=a_1q^3，16=2q^3，q=2。6.复数z=3+2i除以i的商为__________。参考答案：-2+3i解析：z/i=(3+2i)/i=3i-2=-2+3i。7.圆x^2+y^2-6x+4y-3=0的圆心坐标为__________。参考答案：（3，-2）解析：配方得(x-3)^2+(y+2)^2=16，圆心为（3，-2）。8.从5个不同的球中任取3个，则不同的取法共有__________种。参考答案：10解析：C(5,3)=10。9.函数y=2^x在区间（-1，1）上的值域为__________。参考答案：（1/2，2）解析：当x=-1时y=1/2，当x=1时y=2，且函数单调递增。10.抛物线y^2=8x的准线方程为__________。参考答案：x=-2解析：2p=8，p=4，准线x=-p/2=-2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a^2>b^2。参考答案：×解析：反例a=1，b=-2，a>b但a^2=1<b^2=4。2.参数方程x=t，y=t^2（t为参数）与普通方程y=x^2等价。参考答案：√解析：两方程表示同一条抛物线。3.若z_1，z_2为复数，则|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|。参考答案：×解析：反例z_1=1+i，z_2=1-i，|z_1+z_2|=2，|z_1|+|z_2|=√2+√2=2√2。4.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0与x轴相切。参考答案：√解析：圆心（2，-3）到x轴距离|-3|=3，半径√(2^2+(-3)^2)=√13>3，需重新计算。正确计算：半径√(13-(-3)^2)=√4=2，圆心到x轴距离3>2，不相切。5.函数f(x)=sin|x|是周期函数。参考答案：√解析：f(x)=sin|x|是偶函数，周期T=π。6.若a>b>0，则√a>√b。参考答案：√解析：算术根性质。7.等差数列的前n项和S_n与项a_n成正比。参考答案：×解析：S_n与a_n不成正比，与a_1+a_n成正比。8.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件是k^2+b^2=r^2。参考答案：×解析：正确条件为|k×0-b|/√(k^2+1)=r，即|b|=r√(k^2+1)。9.若f(x)是奇函数，则f(x^2)也是奇函数。参考答案：√解析：f(-x^2)=-f(x^2)，f(x^2)为奇函数。10.从n个不同元素中取出k个元素的组合数C(n,k)等于从n-k个元素中取出k个元素的组合数C(n,k)。参考答案：×解析：C(n,k)=C(n,n-k)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=sin(2x+π/3)-1的最小正周期。解：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。2.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求a_15。解：公差d=(a_10-a_5)/(10-5)=15/5=3，a_15=a_10+5d=25+15=40。3.求复数z=1+i的模和辐角主值。解：模|z|=√(1^2+1^2)=√2，辐角θ=π/4。4.求圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的半径。解：半径r=√[(2)^2+(-3)^2-(-3)]=√(4+9+3)=√16=4。5.求函数y=2^x+1在区间（-1，1）上的最小值。解：y在（-1，1）上单调递增，最小值在x=-1处取得，为2^(-1)+1=3/2。6.求抛物线y^2=8x的焦点坐标。解：2p=8，p=4，焦点（p/2，0）=(4，0)。7.求过点（1，2）且与直线3x-4y+5=0平行的直线方程。解：斜率k=3/4，方程3(x-1)-4(y-2)=0，即3x-4y+5=0。8.求不等式x^2-5x+6>0的解集。解：因式分解(x-2)(x-3)>0，解集{x|x<2或x>3}。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求该圆上任意一点到直线3x-4y+5=0的距离的最小值。解：圆心（2，-3）到直线距离d=|3×2-4×(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=29/5，半径r=√(4+9+3)=4，最小距离d-r=29/5-4=9/5。2.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为50元，售价为80元，求该工厂至少生产多少件产品才能盈利？解：设生产x件，盈利条件80x-50x-100000>0，x>6250，至少生产6251件。3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且图象过点（π/4，1），求f(x)的解析式。解：ω=2，sin(2x+φ)=1，φ=π/2-2x，代入π/4得sin(π/2+φ)=1，φ=π/6，f(x)=sin(2x+π/6)。4.某班级有男生30人，女生20人，现要选出5人组成委员会，要求至少有2名女生，求不同的选法共有多少种？解：2名女生3名男生C(20,2)×C(30,3)=190×4050=769500；3名女生2名男生C(20,3)×C(30,2)=1140×435=493900；4名女生1名男生C(20,4)×C(30,1)=4845×30=145350；5名女生C(20,5)=15504。总数=769500+493900+145350+15504=1414404种。5.已知复数z满足z^2+2z+3=0，求z的模。解：z=-1±√2i，模|z|=√((-1)^2+(√2)^2)=√3。6.求抛物线y^2=8x与圆x^2+y^2=16的交点坐标。解：联立方程y^2=8x，x^2+y^2=16，代入得x^2+8x=16，x^2+8x-16=0，x=-4±4√2，y=±4√2，交点为(-4+4√2，4√2)，(-4-4√2，-4√2)。7.某商场进行促销活动，原价100元的商品打八折，再满减10元，求商品的最终售价。解：80元×0.8-10=64-10=54元。8.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和。解：公差d=(14-2)/4