资料北师大版数学九年级下册全册导学案（全册）

21.已知锐角A满足taM-cot4=2,求tan，+cot，的值.

聚沙成塔

已知△NBC中/8=15,8C=144C=13,51vlBC=84，求tanC和cotB.

2从梯子的倾斜程度谈起（二）

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掌握正弦、余弦的定义，能正确应用sina、cosa表示直角三角形中两边的比.了解锐角三角函数

的概念.应注意强调：1）对于sin一比―、cosa=4%：：”这两个公式只适用于直角三角

斜边斜边

形;2）正确理解sina.cosa是一个完整的符号.其表示一个数值.掌握同一个角的三角函数关系

sin（90°-a）=cosa;cos（90°-a）=sina;sina+cosa=l.

基础过关

1.在RtA>15C中,/C=90。,锐角//的的比叫做//的正弦，记作

;锐角/力的的比叫做//的余弦，记作.

2.在正方形网格中,△ZBC的位置如图所示，则cosB的值为.

3.在中,NC=90o/C=2,8C=4,则sinfi的值为.

4.已知在△N8C,/C=90。,且23CW8,那么sia4=.

5.已知在aABC中,NC=90",3cos8=2,则sirt4=.

6.已知三角形三边的比是25:24：7,则最小角的余弦值为，最小角的正切

值为.

4

7.已知。为一锐角,sina=1,则cosa,tana=.

8.在△/8C中,NC=90。06分别为N4和N8的对边，月.3a=G瓦则sinA.

9.在RtAABC中,NC=90。,已知a和4,则下列关系中正确的是（）

A.c=asin4B.c=，一C.c=acosAD.c=〃

sinAcosA

能力提升

10.若ct是锐角，那么sina+cosa的值（）

A.大于1B.等于1C.小于1D.不能确定

11.在Rt/\ABC中,N4C3=90。,如果sinA:siaB=2:3,那么tan4的值为（）

A.2：3B.3：2C.4：9D.9:4

12.在443。中/。=90。,〃、6分别为N4和N3的对边a=S,b=15,sirt4+sin5+sinC等于（）

A.王

17B噂

13.在△ZBC中,于。.则sin5=（）

A,也BdC.£

ABBCAB吟

14.若4+8=90。,则sinn4+sin?B的值等于（）

A.lB.（sin^+cos5）2C.2sin2AD.8

T.

15.如图，菱形ABCD的周长为AOcm,DELAB，垂足为E,sin/=-，则

下列结论正确的有（）

①OE=6cm;②BE=2cm;③菱形面积为60cm2BD=4Vmcm

A.l个B.2个

16.如图，在矩形ABCD4',DE±AC

cosa=qX8=4,则AD的长为（）

17.在△力8c中，44cB=90。,8_1/3于D,CD=43C=5,求N4的四个三角函数值.

18.在RtA/4SC中,/C=90°,若sin/是方程5x?-14x+8=0的一个根，求sinJ,tan4.

19.已知2+下＞是方程x2-5xsin6+l=0的一个根，求sinO.

聚沙成塔

Rt&BC中,NC=90°,BCZC48三边的长分别为a、Z\c,则siivl=-,cos^=-,tanA=~.

ccb

我们不难发现:里1?60。+8$260。=1”..试探求siM、cos4taM之间存在的一般关系，并说明理

由.

330。,45。,60。角的三角函数值

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熟记30。、45。、60。角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数式;了解sina、cosa、tana、cota

的增减性.

基础过关

1.cos45°=;sin60°cot45°=.

2.(H-sin30°-cos45°)(1+sin300+cos450)=.

3.cos2600-sin260°^值为.

cos30°

4.cos30°।$缶30°=-----------

5.在△ABC中,8C=1,则sia4=/"=.

6.cosZ=曰(/为锐角卜则N/的度数为.

7.7(sin60°-l)2=.

8.•棵树因雪灾于4处折断，如图所示，测得树梢触地点8到树根C处的

距离为4米，乙48c约45。,树干NC垂直于地面，那么此树在未折断之前的

高度约为米.

9.已知a为锐角,tan(90Or)=6，则a的度数为.

10.在区1八48。中,/。=90°,彳10乙4=30°测b=.

能力提升

11.若45。＜〃＜90。,贝ijsinacosa;若0＜力＜45。则siivlcos4(填大于、小于或等于)

12.在△ZBC中,NC=90。,若cos力=L则siM=

2

13.判断对错

1)cot460<tan46°)

2)sin75°-cot45°>0)

14.当锐角A>45。时,siM的值是()

小于变.大第.大考

A.Bc.小于日D

2

15.在△43。中，若IsirvH|+(y-cosB)2=0,则NC的度数是()

A.75°B.60°C.45°D.30°

16.a为锐角，且关于x的方程--2&xsina+1=0有两个相等的实根，则a=()

A.60°B.45°C.30°D.30°或60°

17.下列不等式，成立的是()

A.tan45°<sin30°<cot45°B.sin300<cot600<cos450<tan45°

C.cot600<sin300<cos450<tan45°D.tan300<sin300<cot450<cos45°

18.在Rt/XABC中,/090。/=1,e5,那么()

A.0°<^<30°B.30°<^<45°C.45°<^<60°D.60°<^<90°

19.计算：

1)sin600+tan60°cos30°-tan2450+(G)

5i

2)——cos45°——cot600+sin60°cos30°

22

20.已知:如图，在MBC中,乙化8=90。,8，/3,垂足为。，若/8=30。,。1)=6,求AB的长.

AB

D

21.如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图,（图中i=1:6是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE

的比）,/5=60。,/8=6,//>4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.（结果保留三位有效数字.参考数

据:道41.732,嫡41.414）

聚沙成塔

a是RtAJBC中的一个锐角，若sina+cosa=m,sina,cosa=〃，则m,n有怎样的关系?

4三角函数的有关计算

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会用计算器求任意锐角的三角函数值和由三角函数值求锐角.

基础过关

1.江郎山位于我国典型的丹霞地貌景观,被称为“中国丹霞第一奇峰九年级（2）班课题学习小组的

同学要测量三块巨石中的最左边的“郎峰”的高度，他们在山脚的平地上选取一处观测点C,测得/

88=28。，/ZC7>48°25',已知从观测点C到“郎峰”脚8的垂直高度为322米，如图所示，那么

“郎峰的高度约为（）

A.152米B.361米C.202米D.683米

2.如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请

你根据图中数据计算回答:小敏身高1.85米,他乘电梯会有碰头危险吗？

3.如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30米，从4点看C点,仰角为5。;从/

点看D点，俯角为30。，解决下列问题：

（1）求两幢楼分别高多少米?（结果精确到1米）（6分）

（2）若冬日上午9:00太阳光的入射角最低为30。（光线与水平线的夹角），问一号楼的光照是否会有

影响?请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响?（结果精确到1

米）（4分）

（参考数据:tan5°=0.0875tan300=0.5774cos30°=1.732）

能力提升

4.如图，某拦河坝截面的原设计方案为坡角48c=74。,坝顶到坝脚的距离Z8=6m.为

了提高拦河坝的安全性,现将坡角改为55。,由此，点“需向右平移至点。，请你计算ZO的长.（精确

到0.1m）

5.如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40。方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30。方

向航行10海里后到达C处.问此时小船距港口A多少海里?（结果精确到1海里）

北Q

PA

C4

/\30

/

o

A

5船有触角危险吗（一）

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了解直角三角形的意义，仰角、俯角的概念;掌握直角三角形三边关系、锐角之间的关系、边角

之间的关系.理解解直角三角形的方法“有斜用弦，无斜用切，宁乘毋除，取原避中

基础过关

\./\ABC中ZC=90°,Z^=30°,tanS=，C=26，则AB=.

2.已知△/BC中,/8=30。,8c=248=3,则S~BG___________.

3.若正三角形的边长为2,则这个三角形的面积是.

4.图1是我国古代著名的“赵爽弦图'’的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若

/C=6,8C=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学

风车”,则这个风车的外围周长是.

5.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△NBC和尸，数据如图3,如果把小敏画的的三角形的面

积记作S,小颖画的三角形的面积记作S2,那么你认为（）

A.5,>S2B.S,<S2C.E=S2D.不能确定

6.一个等腰梯形的一底角为150。,腰长为10,下底长为30,则上底为.

7.等腰三角形的腰长为2cm,面积为1cn?,则顶角的度数为

能力提升

8.已知在△ZSC中,N8=60o〃B=6SC=3V^，则三角形的面积为.

9.从1.5m高的测量仪上，测得某建筑物顶端仰角为30。,测量仪距建筑物60m,则建筑物的高大约为

（）

A.34.65mB.36.14mC.28.28mD.29.78m

10.在RtA48C中血）是斜边8c上的高，如果8C=a,NB=a，那么4）等于（）

A.i/sinaB.acos-ctC.asinacosaD.asinatana

11.王英同学从/地沿北偏西60。方向走100m到5地，再从2地向正南方向走200m到C地,此

时王英同学离力地（）

A.150mB.50V3mC.lOOmD.lOOVSm

12.如图4,在高楼前D点测得楼顶的仰角为30。,向高楼前进60米到C点,又测得仰角为45。,则该

高楼的高度大约为（）.

A.82米B.163米C.52米D.30米

13.一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度8.已知她的眼睛与地面的距

离为L6米,小迪在8处测量时，测角器中的2/。尸=60°（量角器零度线/C和铅垂线OP的夹角,

如图5）;然后她向小山走50米到达点尸处（点F,。在同一直线上），这时测角器中的

/后。尸=45°,那么小山的高度。约为（）（注:数据百=1.732,0=1.414供计算时选用）

C.121米D.123米

14.某渔船上的渔民在A处观测到灯塔M在北偏东60。方向处，这艘渔船以每小时28海里的速度

向正东方向航行,半小时后到达B处，在B处观测到灯塔M在北偏东30。方向处，问B处与灯塔M

的距离是多少海里？

15.如图，甲船在港口尸的北偏西60。方向,距港口80海里的1处,沿/尸方向以12海里/时的速度驶

向港口P.乙船从港口P出发，沿北偏东45。方向匀速驶离港口P,现两船同时出发,2小时后乙船在

甲船的正东方向.求乙船的航行速度.（精确到0.1海里/时，参考数据0F.41F.73）

北

16.在我市绿化改造的项目中，要将如图所示的一棵没有观赏价值的树放倒，栽上丁香花，在操作过

程中，师傅甲要直接把树放倒,师傅乙不同意，他担心这样会损坏这棵树周围4.5米处的动物雕塑.

请你根据图中标注的测量数据，通过计算说明:师傅乙的担心是否有必要?（&=1.414,有-1.732）

17.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去灾区A、B两处抢险,飞机在距地面450米上空的P点，测

得A处的俯角为30°,8处的俯角为60。（如图）.求48两处间的距离.（结果精确到米，参考数据

72=1.414,73=1.732）

ABC

18.气象台发布的卫星云图显示,代号为少的台风在某海岛(设为点O)的南偏东45。方向的3点生

成，测得08=100闲＜m.台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的

点C处.因受气旋影响,台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60。方向继续移动.以为原

点。建立如图所示的直角坐标系.

(1)台风中心生成点B的坐标为，台风中心转折点C的坐标为；(结果保留

根号)

(2)己知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市(设为点/)位于点O的正北

方向且处于价风中心的移动路线上.，那么台风从生成到垠初侵袭该城要经过多长时间？

聚沙成塔

若a、b、c是△/BC的三边,a+c=2"且方程a(\-x2)+2hx+c(\+x2)=0有两个相等的实数根，求

sirL4+sin5+sinC的值.

6船有触角危险吗（二）

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熟练直角三角形三边关系、锐角之间的关系、边角之间的关系.对于非直角三角形，可添加适

当的辅助线，构造直角三角形来求解.

基础过关

1.如图四边形ABCD中,ZA=60°,ZB=/。=90。,8=2,5。=11,求NC的长.

2.如图4B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶，现开通隧

道后，汽车直接沿直线AB行驶.已知ZC=10km,=30。,N8=45。,则隧道开通后，汽车从A地到

B地比原来少走多少千米?（结果精确到0.1km）（参考数据:72-1.41,73=1.73）

A

3.如图，小山的顶部是一块平地,在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=l:小,

斜坡BD的长是50米,在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的仰角为45。,在山坡的坡顶D处测得

铁架顶端4的仰角为60。.(1)求小山的高度;(2)求铁架的高度.

能力提升

4.如图，河流的两岸A/MPQ互相平行，河岸尸。上有一排间隔为50米的电线杆CD£…某人在河

岸MN的4处测得/D4230。,然后沿河岸走了120米到达B处，测得/C8N=60。,求河流的宽

度.(精确的01米)

3

5.如图在△Z8C,NC=90。,点D、E分别在AC.AB±.,BDZABCJJELAB,AE=6,cosA=-

(1)£>£.CD的长(2)tanN。8c的值.

6.如图，某学习小组为了测量河对岸塔AB的高度，在塔底部B的正对岸点C处，测得仰角/

/CB=30。.⑴若河宽3c是60米，求塔的高.(2)若河宽BC的长度无法度量，如何测量塔的高

度呢?小明想出了另外一种方法:从点C出发,沿河岸CD的方向(点£C、O在同一平面内，且C£>±

8C）走。米,到达。处,测得N8OC=60。,这样就可以求得塔的高度了.请你用这种方法求出塔

的高.

7.如图，小岛A在港口P的南偏西45。方向，距离港口81海里处.甲船从A出发，沿

“尸方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60。方向，以18海

里/时的速度驶离港口.现两船同时出发，

（1）出发后儿小时两船与港口P的距离相等？

（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确至U0.1小时）

（参考数据:&=1.41,1.73）

8.一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5

米的矩形.现需将其整修并进行美化,方案如下:①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为1：石,

且大坝的高度不变;②用•组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区

域，依次相间地种草与栽花.

⑴求整修后背水坡面的面积；

⑵如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要

多少元？

B

聚沙成塔

,条东西走向的高速公路上有两个加油站48,在A的北偏东45。方向还有一个加油站C,C

到高速公路的最短距离是30千米间的距离是60千米.想要经过C修一条笔直的公路与高速

公路相交,使两路交叉口P到B、C的距离相等,请求出交叉口P与加油站A的距离（结果可保留根

号）•

单元综合评价

一、填空题（每题3分，共27分）

l.cos81。25=sin_________.

2.若sin（a-10。）=等，则a为—

3.比较大小:sin48。cos480.

4.在于D,若SC=10,Z^C=120°JiJAD=

5.已知直角三角形中，较大直角边长为30,此边所对角的余弦值为卷，则三角形的周长为

，面积为.

6.四个全等的直角三角形围成•个大正方形，中间空出的部分是一个小正方

形，这样就组成了一个“赵爽弦图''（如图）.如果小正方形面积为1,大正方形面

积为25,直角三角形中较小的锐角为*那么sin6=.

7.在平行四边形ABCD中“。：AB=\:2,//=60。,/8=4011,则四边形面积为

S.AD是RtAJBC斜边BC上的高，若%>2QC=8,则tanC的值为

（第6题图）

9.已知在^ABC中,NC=90",3cos8=2/C=2石，则AB=.

二、选择题（每题3分，共18分）

1.若a是锐角,sinacosa=p，则sina+cosa的值是（）

A.1+2PB.J1+2PCA-2pD.Ji-2P

2.若三角形三个内角的比是1：2：3,则它们正弦值的比为（）

A.1：V2：73B.1：>/2：2

C.l：V3：2D.&:百：2

3.如图，在等腰梯形ABCD中/8〃CD,对角线AC平分

8=600,8=20^则梯形48。的面积为（）cm2.

A.3出B.6C.6出D.12

4.因为sin30°=-,sin210°=--,所以sin210°=sin（l80°+30°）=-sin30°;因为

22

sin45°=—,sin225°=-正，所以sin225°=sin（l80°+45°）=-sin45°,由此猜想，推理知:一般地当

22

a为锐角时有sin（l80°+a）=-sina,由此可知:sin240°=（）

A.--B.--C.--D.-A/3|\/

222\

5.如图，两根等高的电线杆的水平距离是50米，某人在杆的底部连结上\

E处，测得一根杆顶的仰角是60。,另一根杆顶的仰角为30。,则电线杆顶J——V-----------------

D匚

距地面的高度是（）

A.25米B.12.5米C.12.5百米D25也米

6.在△N8C中,//=30。/。=4刀。=2&,那么乙48。为（）

A.45°B.60°或120°C.45°或135°D.30°

三、解答题（共55分）

1.（5分）计算-16-（-2/+（7t-tan60°）°-273cos300.

2.（6分）在RtZ\N8C中，NC=90。,如果siM,cos8是方程2x2-mx+l=0的两实根,求〃?的值和//

的度数是多少？

3.（6分）如图，小强在江南岸选定建筑物并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸8E所成的夹角

是30。,小强沿江岸BE向东走了500m,到C处,再观察4此时视线AC与江岸所成的夹角N

/CE=60。.根据小强提供的信息，你能测出江宽吗?若能，写出求解过程;若不能，请说明理由.

4.（7分）某海滨浴场的海岸线可以看作直线/（如图），有两位救生员在岸边的点4同时接到了海中的

点8（该点视为定点）的呼救信号后，立即从不同的路径前往救助.其中1号救生员从点A先跑300

米到离点B最近的点再跳入海中沿直线游到点B救助;2号救生员先从点A跑到点C,再跳入海

中沿直线游到点8救助.如果两位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2

米/秒，且靖问1号救生员与2号救生员谁先到达点B?

5.（8分）在△/BC中/C=90。,//、4B、NC对的边分别为a、b、c.

⑴若/4=60。,。+6=3+6,求a、b、c及S&ABc；

（2）若△/BC的周长为30,面积为30,求a、b、c.

6.（7分）如图所示8两地之间有一条河，原来从力地至IJB地需要经过QC,沿折线A-Df—B到

达,现在新建了桥EF,可直接沿直线AB从A地到达B地.已知8c=1lkm,N/=45o,N8=37。.桥DC

和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程?（结果精确到0.1km.参考数

据:0=1.41,sin37°^0.60,cos37°g0.80)

A

7.（8分）如图，在\ABC中,NC=90。,点E是AC上一点,ED工4B于

D,cosA=-y/5,cotABED=-,CE=逐，求DE的长.

54

8.(8分)如图，某堤坝的横截面是梯形N8CD,背水坡的坡度i(即tana)为1：1.2,坝高为5米.

现为「提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶加宽1米，形成新的背

水坡£尸,其坡度为1：1.4.已知堤坝总长度为4000米.

(1)求完成该工程需要多少土方？

(2)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成,按原计划需要20天,准备开工前接到上级通知，

汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率.甲队工作效率提高30%,乙队工作效率提高40%,结

果提前5天完成.问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？

EDC

a

FAHGB

第二章二次函数

单元总览

我们在之前已经学习过函数以及具体的一次函数，在本单元中，我们将在进一步学习二次函

数,本单元包括二次函数的定义、性质、图象以及三种不同的关系表达式，以及二次函数在生活中

的应用;通过对二次函数的定义、性质等学习，在丰富的实际问题中认识到函数与生活的具体联系,

如何用二次函数解决实际问题.

2.1二次函数所描述的关系

目标导航

1.探索并归纳二次函数的定义.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.

基础过关

1.已知函数尸jf+fcr+c(其中a,h,c是常数)，当a时,是二次函数;当a,b时,是一

次函数;当a―,b―,c—时,是正比例函数

2.已知函数y=(%+2)/+i是关于x的二次函数，则k=.

3.已知正方形的周长是ccm,面积为Sen?,则S与c之间的函数关系式为.

4.填表：

C26

1214

S=­C

16

5.在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形，剩下的四方框形的面积为y,则y与x

间的函数关系式为.

6.用根长为8m的木条，做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积兴n?)与x(m)之间的函

数关系式为.

7.下列结论正确的是()

A.二次函数中两个变量的值是非零实数B.二次函数中变量x的值是所有实数

C.形如尸af+bx+c的函数叫二次函数

D,二次函数产中a,b,c的值均不能为零

8.下列函数中，不是二次函数的是()

A.^=l-V2x2B.尸2(x-1)、4

C产;(x-l)(x+4)D.y=(x-2)2-x2

9.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面枳为ycm)则y与x的函

数关系式为（）

A产）B产万（2-X）2C.y=-（x2+4）D.尸-乃f+16%

10.若尸（2-〃?）--2是二次函数，则机等于（）

A.±2B.2C.-2D.不能确定

能力提升

11.已知y与f成正比例,并且当x=l时尸2,求函数y与x的函数关系式，并求当x=-3时y的值.当

尸8时，求x的值.

12.某化工材料经销公司购进了•种化工原料共7000kg,购进价格为每千克30元，物价部门规定其

销售单价不得高于每千克70元也不得低于30元，市场调查发现;单价定为70元时,日均销售60kg.

单价每降低1元，日均多售出2kg,在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,

按整天计算）.设销售单价为x元，日均获利为y元，求y关于x的二次函数关系式.

13.现有铝合金窗框材料8米，准备用它做一个如图所示的长方形窗架（窗架宽度Z8必须小于窗户

的高度BC）.已知窗台距离房屋天花板2.2米.设AB为x米，窗户的总面积为5（平方米）.

（1）试写出S与x的函数关系式；

（2）求自变量x的取值范围.

14.如图，在矩形ABCD中,/8=6cm,8c=12cm.点P从点A开始沿方向向点8以lcm/s的速度移

动，同时，点。从点B开始沿2C边向C以2cm/s的速度移动.如果P、Q两点分别到达B、C两点停

止移动，设运动开始后第，秒钟时,五边形/P0CD的面积为Sen?,写出S与，的函数表达式，并指出

自变量，的取值范围

D

聚沙成塔

(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中的〃的函数表达式(不要求写出自变量〃的

取值范围)；

(3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时「的值；

(4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元,在问题(3)中，共需花多少元购买瓷砖？

(5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形?请通过计算说明为什么？

2.2结识抛物线

目标导航：

1,经历探索二次函数12的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验.

2、掌握利用描点法作出尸f的图象，并能根据图象认识和理解二次函数12的性质.能够作出二

次函数片4的图象，并比较它与12图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系

基础过关

1.函数产的图像是一条线,开口向5对称轴是,顶点是，顶点是图

像最点，表示函数在这点取得最值，它与函数y=x2的图像的开口方向，对称轴

，顶点.

2.二次函数尸1的图像，在y轴的右边,y随x的增大而.

3.已知抛物线y=ax2和直线y=kx的交点是P(-l,2),则a=,A=.

4.抛物线y=ax与y=x的开口大小、形状一样、开口方向相反，则a=.

5.已知产加W+i的图像是不在第一、二象限的抛物线，则m=.

6.若点力(2,⑼在抛物线尸2上，则点A关于尸轴对称点的坐标是.

7.二次函数尸有最低点，则m=.

8.若二次函数尸-加,当x=2时尸g;则当x=-2时y的值是.

9.正方形的边长是3,若边长增加x,则面积增加y的函数关系式为.

10.如图所示，点P是抛物线12上第•象限内的一个点，点”(3,0).

(1)令点尸的坐标为(x,y),求以的面积S与y的关系式.

(2)5是y的什么函数?S是x的什么函数？

能力提升

ii.已知函数尸(加+2)m-i是关于x的二次函数求：

(1)满足条件的m的值；

(2＞为何值忖，抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大?

(3＞为何值时，函数有最大值?最大值是多少?这时当x为何值时,y随x的增大而减小？

12.直线产2r+3与抛物线产亦2交于力、8两点,已知点/的横坐标是3,求48两点坐标及抛物线

的函数关系式.

13.抛物线厂办2经过点4_1,2),不求a的大小，判断抛物线是否经过M(l,2)和M-2,-3)两点?

14.已知点1⑷在抛物线y=x2上.

(1)求力点的坐标.

(2)在x轴上是否存在点P,使得AOAP是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说

明理由.

聚沙成塔：

已知，如图，直线I经过4(4,0)和8(0,4)两点，它与抛物线y="在第一象限内相交于点P,又

9

知MOP的面积为—,求Q的值；

2

y

2.3刹车距离与二次函数

目标导航

1、经历探索二次函数尸"?和产"2+C的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图

象三者联系起来的经验.

2、会作出产"2和尸af+c的图象，并能比较它们与的异同，理解a与c对二次函数图象的影

响.

3、能说出y=ax2+c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

4、体会二次函数是某些实际问题的数学模型.

基础过关

1.抛物线尸-3x2+5的开口向，对称轴是.顶点坐标是，顶点是最点,

所以函数有最_______值是.

2.抛物线y=4x2-l与N轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是.

3.把抛物线尸2向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数关系式为.

4.抛物线尸4卜3是将抛物线产4f,向平移个单位得到的.

5.抛物线产办2j的图像经过（4,-5）,则a=.

6.抛物线尸与直线尸筋+3的交点为（2力），则k=b=.

7.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为v轴，且经过点（-1,-2b则抛物线的表达式为

8.在同一坐标系中，图象与尸2』的图象关于x轴对称的是（）

2212,2

A..y=~^xzB.y=~~xC.y=-2xD.y=-xz

9.抛物线产4x2尸-2?的图象，开口最大的是（）

A.j^=~x2B.y=4x2C.y=-2x2D.无法确定

io.对于抛物线产;f和产一;f在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）

A.两条抛物线关于x轴时称B.两条抛物线关于原点对称

C.两条抛物线关于y轴对称D.两条抛物线的交点为原点

11.二次函数产"2与一次函数方qx+a在同一坐标系中的图象大致为（）

12.已知函数尸°『的图象与直线y=-x+4在第一-象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交

点相同，则。的值为（）

11

A.4B.2C.~D.-

13.求符合下列条件的抛物线尸af的表达式：

经过(1,2);

(2)y=ax2与尸的开口大小相等，开口方向相反；

(3)y=ax2与直线y=~x+3交于点(2,m).

14.如图，直线/经过“(3,0),8(0,3)两点，且与二次函数尸x?+l的图象，在第一象限内相交于点C求:

(□△ZOC的面积；

(2)二次函数图象顶点与点45组成的三角形的面积.

15.已知抛物线产”f+a向下平移2个单位后得到的函数图像是产331,求机,〃的值.

16.如图，是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时，水面宽4c米，水位上升3米达到警戒线MN位

置时,水面宽4G米，某年发洪水，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱

桥顶？

能力提升

17.有块铁皮,拱形边缘呈抛物线状“V=4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米,要在铁

皮内截下一矩形使矩形顶点8,C落在边MN上4D落在抛物线上，像这样截下的矩形铁皮

的周长能否等于8分米?(提示:以所在的直线为X轴建立适当的直角坐标系)

18.图(1)是棱长为a的小正方体，图(2)、图(3)由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆

放，自上而下分别叫第一层、第二层……第〃层，第"层的小正方体的个数记为s,解答下列问题：

(1)按要求填表：

n1234

S13

(2)写出«=10忖5.

(3)根据上表中的数据，把s作为点的纵坐标,〃作为点的横坐标，在平面直角坐标系中描出相应

的点.

(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图像上吗?如果在某一函数的图像上，求s与n间的关

系.

聚沙成塔

如图是高为1.46米的窗户（窗户朝南），该窗户的遮阳篷呈抛物线形，在图中坐标系内的表

达式为尸产+0.25.已知该地一年中冬至II正午时刻太阳光线与地面的夹角最小为a,夏至II正午

时刻太阳光线与地面的夹角最大为人且夕=73°30'.若该遮阳篷使冬至日正午时刻太阳光线刚

好全部射入室内，夏至“正午时刻太阳光刚好全部不射入室内.求a的度数及遮阳篷顶部到窗户

上沿的距离.

2.1-23二次函数所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数测试

・、请准确填空（每小题3分，共24分）

I.设一圆的半径为厂,则圆的面积S=，其中变量是.

2.有・•长方形纸片，长、宽分别为8cm和6cm,现在长宽上分别剪去宽为xcm（x<6）的纸条（如图1）,

则剩余部分（图中阴影部分）的面积y=，其中是自变量,是因变量.

4.函数尸a/T”是二次函数，当所时，其图象开口向上;当斫时，其图象开口向下.

5.如图2,根据图形写出一个符合图象的二次函数表达式:.

6.若抛物线尸标经过点A（石,-9）,则其表达式为.

7.函数尸2?的图象对称轴是，顶点坐标是.

8.直线尸汁2与抛物线尸？的交点坐标是.

二、相信你的选择（每小题3分，共24分）

9.下列各关系式中，属于二次函数的是。为自变量）（）

A.尸-x2B.y=Vx2-1C.y=!D.y=a2x

8x

10.函数尸a%2+bx+c（a也c是常数）是二次函数的条件是（）

A.aWO力W0,cW0B.〃<0/W0,cW0C.〃>O,bWO,cWOD.QWO

11.函数严62（。#0）的图象与。的符号有关的是（）

A.顶点坐标B.开口方向C.开口大小D.对称轴

12.函数厂"2缶/0）的图象经过点（a⑻，则a的值为（）

A.±2B.-2C.2D.3

13.如图3平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是（）

3,

A.j=-x2B.y=-x2C.y=—x2Dy=—x"

2334

14.自由落体公式h=|gr2（g为常量）/与t之间的关系是（）

A.正比例函数B.一次函数C