《概率论与数理统计》习题解答 孟祥波Ch10基础达标题解答

习题10：基础达标题解答

1.为了研究老鼠体内血糖的减少量y和注射胰岛素A的剂量X的关系，将同样条件下繁殖的10

只老鼠注射不同剂量的胰岛素4,观测数据（单位：g）如下表：

胰岛素剂量X0.200.250.300.350.400.45().500.550.600.65

血糖减少量y28343544475054566566

经计算得工=0.425,7=47.9,I«0.2063,4V=17.425,Zv=1498.9.

（1）求y关于x的一元线性回归方程；

（2）对回归方程进行显著性检验（取a=0.05）；

（3）若胰岛素剂量占=0.70,求相应的血糖减少量比的预测值和置信水平为95%的预测区间.

解：（1）假设V关于X的理论回归方程为»则有

«I17425

人上二84.4644,

/xv0.2063

人17425

a=y-bx=47.9一——x0.425=12.0026，

,0.2063

所以y关于X的经验回归方程为y=12.0026+84.4644X.

（2）考虑假设H0:b=0,乜：一工0.

计算得

I2

557=^=1498.9,55^=^^1471.7917,应=SS7-SS-27.1083.

'xx

SS*和SS«的自由度分别为1和8,67=0.05,左小（1，8）=5.32,从而得方差分析表如下:

方差来源平方和自由度均方F值临界值

回归1471.791711471.7917434.3495.32

残差27.108383.3885

总计1498.99

由上表可知/。434.349>5.32,所以拒绝原假设”。，丫关于X的回归方程是显著的.

(3)%的预测值为y0=12.0026+84.4644x0.7«71.1277.

取a=0.05,则（8）=2.306,Xa=V338851.8408,可得

3（匹）=2.306x1.8408xjl+—+（。"。必）。.1407.

°V100.2063

从而可得与％=0.7对应的汽的置信水平为95%的预测区间如下:

（71.1277.5.1407）=（65.987,76.2684）.

2.考察硫酸铜晶体在100克水中的溶解量y（g）与温度X（℃）间的相关关系时，做了9组独

立试验，结果见卜表:

温度X01020304050607080

溶解量y14.017.521.226.129.233.340.048.（）54.8

经计算得元=40,7k31.5667,/u=6000,/,v«2995,々产1533.38.

（1）求丫关于X的一元线性回归方程；

（2）对回归方程进行显著性检验（取a=0.05）；

（3）若温度%=45℃,求相应的溶解量儿的预测值和置信水平为95%的预测区间.

解：（1）假设V关于X的理论回归方程为5=。+笈，则有

2995

b0.4992,

6000

.2995

a=y-/?x=31.5667-----X40^11.6,

.6（X）0

所以y关于X的经验回归方程为5,=11.6+0.4992X.

（2）对回归方程进行显著性检验的原假设和备择假设为

H0:b=0,H］：b求0.

计算得

I2

SST=«1533.38,S%=工=1495.0042,SSE=SST-SSR«38.3758.

Ixx

SS2和SS".的自由度分别为1和7,a=0.05,^（1,7）=559,从而得方差分析表如下:

方差来源平方和自由度均方产值临界值

回归1495.004211495.0042272.69655.59

残差38.375875.4823

总计1533.388

由上表可知尸々272.6965>5.59,所以拒绝原假设40,丫关于X的回归方程是显著的.

(3)%的预测值为4=11.6+0.4992x45=34.064.

取a=0.05,则“必⑺=2.3646,又3=。5.482312.3414,可得

1(45-40)2

5(%)=2.3646x2.3414xJ1+—+-----]«5.8469.

V96000

从而可得与%=45对应的%的置信水平为95%的预测区间如下:

(34.064孑5.8469)=(28.2171,39.9109).

3.某人记录了21天每天使用空调器的时间％(h)和使用烘干器的次数X2,并监视电表以计算

出每天的耗电量丫(kW.h),数据如下表：

序号占y序号为工2y序号当x2y

11.513588166157.5162

24.5263912.51941612185

35266107.5282176043

42017116.5378182.5357

58.5394128165195033

66379137.5277207.5165

713.5193148275216033

经计算得

X.«6.9286,x2«1.4286,y«64.8571,a196.6429,/12«-1.8571,321.1429,

L.n1050.2857,/,,»269.2857,/v»9578.5714.

(i)求变量x，x?,y的相关系数矩阵；

(2)求y关于x「X2的二元线性回归方程；

(3)对回归方程进行显著性检验(取。=0.()5).

解：(1)X1和x2的相关系数为

L-1.8571

r—y—।—_________________之一0.0288,

一孤孤—7196.6429721.1429

X1和y的相关系数为

_k=1050.2857

R0.7653,

〃7五-Vl96.6429V9578.5714

X2和丫的相关系数为

l2y_269.2857

“一孤孤一E142帖578.5714p0.5984,

故变量X],x2,y的相关系数矩阵为

%x?y

r

1.0000-0.02880.7653、X|

R=-0.02881.00000.5984Xz•

、0.76530.59841.0000,Y

(2)假设丫关于用,占的理论回归方程为

正4十刎十%王，

列出如下方程组

4+6.9286「+1.42864=64.8571,

<196.6429^,-1.8571^=1050.2857,

-1.8571^+21.142%=269.2857.

解方程组得

力产8.1049,&产5.4659,b2a13.2166.

故Y关于X„X2的经验回归方程为

§，=8.1049+5.4659王+13.2166々.

(3)对回归方程进行显著性检验的原假设和备择假设为

H。:4=a二°，兄：耳也不全为

经计算得

SST=/vv«9578.5714,

SSK=/5,/lv+hj2v=5.4659x1050.2857+13.2166x269.2857«9299.798,

SSE=9578.5714-9299.798=278.7734.

由题意知〃z=2,〃=21,SSR和5旌的自由度分别为2和18,a=0.05,^05(2,18)=3.55,于是可

得方差分析表如下：

方差来源平方和自由度均方产值临界值

H归9299.79824649.899300.23753.55

残差278.77341815.4874

总计9578.571420

由上表可知产。300.2375>3.55,所以拒绝原假设H。，V关于X，X2的回归方程是显著的.

4.某城市2016年1月份至12月份的月平均气温(℃)数据依次为：

7.910.615.017.919.720.520.620.818.317.312.710.1

试根据以上数据求月平均气温y关于月份x的回归方程，=4+6%+&一.

解：由已知y关于x的理论回归方程为

2

y=bQ+b1x+b2x.

2

令〃]=x,w2=x,v=y,则有v=/?(>+/?,«,+b2u2,即Y关于X的一元多项式回归化为V关于U1,。?的

二元线性回归.利用本例中已给数据计算得q,6AW的数据如下表：

123456789101112

〃2149162536496481100121144

V7.910.615.017.919,720.520.620.818.317.312.710.1

下面介绍6),R的两种解法.

方法1：经计算得

4=6.5,--54.1667,炉=15.95,=143,/12=1859,/22«25501.6667,

儿=32.3,­=721.3,-=230.17.

列出如下方程组

h()+6.5&+54.1667b?=15.95,

-143V18594=32.3,

1859百+25501.6667^=-121.3.

1/

解方程组得

。

£2.1818,b.«5.4973,b2»-0.4055.

方法2：令

<lII、(79、

I2410.6

U=,v=

J12144>JO,

可得参数而々也的估计值为

/人、

b。'2.18I8、

/*

仄=(uTuy]urv^5.4973

人

b、[0.4055,

\L/

所以，y关于x的经验回归方程为

£=2.1818+5.4973X-0.4055/.

回归曲线的拟合效果如下图所示:

22

20。散点

回归曲线

18

16

1

4

1

2

10

8

6

024681012

月份

5.为了检验X射线的杀菌作用，用200kV的X射线照射杀菌，每次照射6分钟，照射次数为X,

照射后所剩细菌数为y,试验结果如下表:

XyXyXy

I78381541528

262191291620

343310103I716

4431ll721812

52871250199

62511343207

71751431214

根据经验知道y关于x的曲线回归方程形如$，=改历，试求〃力的估计值.

解：对y=〃*两边取对数得l”=ln〃+bx,令〃=x,u=lny,q=ln。，则建立V关于。的一元线

性回归方程

£=%+bu.

利用本例中已给数据计算得UW的数据如下表:

uVuVuV

16.663185.037153.3322

26.431394.8598162.9957

36.0707104.634717