第二章-测量误差和测量结果处理

2.1误差

2.1.1测量误差的定义2.1.2误差的表示方法2.2测量误差的来源2.3

误差的分类2.4

随机误差分析2.5系统误差分析2.6系统误差合成2.7

测量数据的处理玉林师院物信系第二章

测量误差和测量结果处理1、真值（A0）:

在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值。（实际中不可知）2、实际值（A）：根据测量误差的要求，用高一级或数级的标准仪器或计量器具测量所得之值。（实际应用中可代替真值）例：微安电流表相比毫安电流表就是高一级测量仪器。3、示值（x）：被测量的量值。读数：从仪器刻度盘、显示器等读数装置上直接读来的数字。例：用一电流表测量某电流值，量程选择10mA档。刻度盘指示如下图所示：其读数为：8；示值为：8mA2.1

测量误差的基本概念2.1.1测量误差的定义0108第二章测量误差和测量结果处理

4、标称值：测量器皿上标示的数值。

例：电阻器的色环标示其阻值；5、测量误差：测量结果与被测量的真值之间的差异．在测量工作中，由于测量方法、测量仪器、测量条件和人为的疏忽或错误等原因，都会引起测量误差。当测量误差超过一定限度，测量结果不但变得毫无意义，甚至会给工作带来危害。研究误差的目的，就是要了解产生误差的原因及其发生规律，在一定的测量条件下减小误差，使测量结果更加准确可靠。第二章测量误差和测量结果处理

1．绝对误差1）定义：由测量所得到的被测量值x与其真值A0之差，称为绝对误差，即

特点：绝对误差既有大小，又有符号和量纲。式中的真值A0是一个理想概念，无法得到，实际应用中通常用实际值A来代替真值A0。实际值也称为约定真值。第二章测量误差和测量结果处理

2.1.2误差的表示方法2）修正值与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值，用C表示为

C=A－x=－△x

测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。在日常测量中，利用其仪器的修正值C和该已检仪器的示值，可求得被测量的实际值

A=x＋C。

例：某台电流表的修正值由以下表格给出，求示值分别为0.4mA和0.8mA时的实际值各为多少？0.02-0.04C/mA00.40.8解：A1=X1+C1=0.4+0.02=0.42mA;A2=X2+C2=0.8-0.04=0.76mA第二章测量误差和测量结果处理

2、相对误差意义：相对误差可以更准确地说明测量的准确度。

例：测量两个频率值：f1=1000Hz，f2=100000Hz,得绝对误差分别为△f1=1Hz，△f2=10Hz，问那次测量的准确度更高？解：比较绝对误差可得：△f1

<△f2，第一次测量误差较小；但：可见：第二次的误差与实际值相比所占比例比第一次的小，第二次的测量准确度高些。第二章测量误差和测量结果处理

分类：1)相对真误差（或称相对误差）:绝对误差与被测量的真值之比，称为相对误差，用γ表示。特点：只有大小和符号，没有单位。

2)实际相对误差真值是不能确切得到的，通常用实际值A代替真值来表示相对误差

第二章测量误差和测量结果处理

3)示值相对误差误差较小、要求不太严格的场合，也可以用测量值x代替实际值A4）满度相对误差（引用相对误差）实际中，也常用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差Δxm与该量程的满刻度值（该量程的上限值与下限值之差）Xm之比来表示的相对误差。由上式可知，通过满度误差实际上给出了仪表各量程内绝对误差的最大值。第二章测量误差和测量结果处理

电工仪表就是按引用误差γmm之值进行分级的。我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误差不超过S%。

因此，在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使示值尽可能接近于满度值，指针最好能偏转在不小于满度值2/3以上的区域。

最大引用相对误差第二章测量误差和测量结果处理

5）分贝误差(相对误差的对数表达形式)实质上是相对误差的另一种表示形式，即是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝（dB）。第二章测量误差和测量结果处理

【例1.1】测量两个电压，分别得到它们的测量值为U1x=103V，U2x=12V，实际值为U1=100V，U2=10V，求两次测量的绝对误差和相对误差。

解：两次测量的绝对误差、相对误差分别为

ΔU1=U1x-U1=103–100=3VΔU2=U2x–U2=12–10=2V

A1=3/100=3%

A2=2/10=20%

玉林师院物信系第二章测量误差和测量结果处理

【例1.2】已知某被测电压为8V，用1.5级10V量程的电压表测量，若只做一次测量就把该测量值作为测量结果，可能产生的最大绝对误差为多少？解：1.5级的仪表的引用相对误差不超过±1.5%。该仪表可能出现的最大绝对误差

Δxmax=±1.5%×10=±0.15V有：

Δx≤Δxmax

≤xm·s％

x

=Δx/x≤(xm·s％)/x玉林师院物信系第二章测量误差和测量结果处理

【例1.3】鉴定一个1.5及100mA的电流表，发现在50mA处的误差最大，为1.4mA,其它刻度处的误差均小于1.4mA,问这个电流表是否合格？解：所以：该电流表合格。第二章测量误差和测量结果处理

【例1.4】某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为400mA和1.5级量程为100mA的两个电流表，问用哪一个电流表测量较好？解：用400mA、0.5级电流表，可求得测量的最大误差和相对误差为:用100mA、1.5级电流表，可求得测量的最大误差和相对误差为:可见应选1.5级100mA电流表。第二章测量误差和测量结果处理

〖例题1.4〗某晶体管单管放大器的电压增益的真值AO=80倍（或实际值），现测量得到的电压增益x=75倍，求测量的相对误差和分贝误差是多少？解：由式（1-1）或（1-2）增益的绝对误差为Δx＝x-A＝75–80＝–5由（1.3.6）式可以得到实际相对误差为由式（1－15）可以得到分贝误差为γdB＝20lg(1+γX)=20lg(1-0.0625)=-0.561（dB）第二章测量误差和测量结果处理

1、仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。2、影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。3、理论误差和方法误差：由于测量原理、近似公式、测量方法不合理而造成的误差。4、人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。2.2测量误差的来源2.3测量误差的分类根据性质和特点，测量误差可分为系统误差、随机误差、疏失误差三类。一、系统误差（也称为确定性误差）⒈定义在相同的条件下，多次测量同一量时，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量称为系统误差。⒉产生原因①测量装置设计原理及制作上的缺陷；玉林师院物信系

②测量时环境条件与计量器具使用条件不一致；③采用近似测量方法或计算式；④测量人员估计读数时习惯偏向某一方向。⒊系差的特点

产生在测量之前，有确定性；多次测量也不能减小，不具有抵偿性。⒋系差的分类按照系差的变化规律，可分为恒值系差和变值系差。①恒值系差在多次测量过程中，误差的大小、方向和符号始终保持不变的误差。如仪表没有校零时带来的零位误差。②变值系差多次测量过程中，误差的大小和符号按某一确定规律变化的误差。按具体变化规律的不同，变值系差又可分为

累进性系差、周期性系差和复杂系差。测量过程中按一定速率递增或递减的误差，常与时间成线性关系。在测量过程中呈周期性变化的误差。在测量过程中按复杂规律变化的误差，只能用实验曲线或经验公式给出。⒌系差的判断(P39)①理论分析法：对于测量原理或方法带来的系统误差，可对测量方法定量分析发现系差，并计算出大小；②检定和比对法：使用准确度更高的计量器具进行重复测量；或在仪表的检定证书中给出修正值；③改变测量条件：当系差与测量条件相关时，可改变测量条件，分组测量数据；④残差观察法：什么是残差？测量列中任一个测得值X与该测量列的算术平均值之差。即进行n次测量，就分别对应着n个残差。将测量数列中所有的残差一一排列起来，通常制成曲线，如下图所示。用此方法，可以很直观地发现系差的变化规律。a：恒值系差；b：累进性系差(递增或递减)；c：周期性系差；d：复杂系差⑤公式法：马利科夫判据：判断是否存在累进性系差阿卑赫梅特判据：判断是否存在周期性系差，也可判断累进性系差。⒍削弱或消除系差的典型测量技术①零示法：消除指示仪表读数不准所造成的误差。

此时Ux=U2=R2E/R1R2

故检零计的读数准确与测量误差无关，只与标准量的误差有关。E为标准电池G为检零计,调节分压比，使G指示为0②替代法(置换法)

第一次测量接入Rx，调节R1和R2，当检零计流过的电流为零时，电桥第一次平衡，则第二次测量时用Rs来代替Rx，并保持R1和R2的阻值不变，调节Rs使电桥再一次达到平衡，则此时

可知，此时被测电阻的测量误差主要取决于标准量Rs的准确度和检零计的灵敏度，而与普通电阻的误差无关。③交换法(对照法)该方法利用交换被测量在测量系统中的位置或测量方向等方法，使误差对被测量的作用相反。对两次测量值进行计算，可大大减小系统误差的影响。第一次测量接线如下图所示，则调节Rs至Rs1

时，电桥达到平衡，此时；

第二次测量时交换

Rs和Rx的位置，则调节Rs至Rs2时，电桥达到平衡，则二、随机误差（又称为偶然误差）⒈定义在相同的条件下，多次测量同一量时，以不可预知的方式变化的测量误差的分量称为随机误差。⒉产生原因

对测量值影响较微小，又互不相关的多种因素共同造成的。如环境条件中温度的微小变化、地基微振、测量人员感官的微小变化等。只要测量装置的灵敏度足够高，就会发现测量值之间有微小的差别。⒊特点在单次测量过程中，随机误差的大小和方向没有任何规律可言，带有偶然性；而在测量次数足够多的测量中，随机误差具有对称性、有界性、抵偿性和单峰性四个特点。有限次测量中，绝对值相等的正、负随机误差出现的次数大致相等；有限次测量中，随机误差的绝对值不会超过某一界限；随机误差的算术平均值随着n的增加而趋于0；绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的次数多得多。⒋随机误差的统计特性（1）、数学期望:反映其平均特性。其定义如下：定义n个测得值(随机变量)的算术平均值为:(2.4-1)式中x也称作样本平均值。当测量次数时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望(2.4-2)随机误差的算术平均值（假定只含随机误差）：第二章测量误差和测量结果处理

(2）、剩余误差（残差,往往用来代替随机误差）（3）、方差与标准差（n无限大时，测量值与期望值之差的平方的统计平均值）方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。第二章测量误差和测量结果处理

标准偏差σ用来衡量测量数据的离散程度。σ越小，则表示测量数据越集中，随机误差越小，它的大小由测量装置、测量方法、环境和人员等因素共同决定。对于确定的测量系统，σ是常数。σ相等的测量称为等精(密)度测量，σ不等的测量称为不等精(密)度测量。σ的计算：贝塞尔公式进行n次测量，σ的估计值可用下式计算：可知，测量次数至少应在2次以上。要想减小测量中的随机误差，可采用多次测量取平均值的作法。

用来描述大量平均值的离散程度，它与测量值σ(x)的标准差之间的关系为：由上式可知，当测量次数逐渐增加至无穷大时，平均值的标准偏差就越小，平均值的离散程度就越小，用表示测量的结果更精密。⑵随机误差的分布概率论中的中心极限定律表明：若随机变量可以表示成为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用，则可认为这个随机变量服从正态分布(又称为高斯分布)。实际测量中发现，在随机误差的影响下，测量数据和随机误差大多数都接近于正态分布。此时，随机误差的概率密度函数可写为

σ(δ)是随机误差的标准差，分布曲线如左图。

对照此图，联系随机误差的四个特点。⒌正态分布的置信概率与置信区间置信概率又称为置信度，它用来描述测量中随机误差在某一范围内出现的可能性的大小，也就是出现的概率的大小。这个范围就称为置信区间，通常用σ的若干倍来表示，如［-kσ，kσ］，其中k称为置信因数。从随机误差的正态分布的概率密度函数可知，随机误差出现在某个区间的可能性实际上是对概率密度函数在该区间的定积分，即：下表为标准化正态分布在对称区间［-k，k］内的积分。根据置信因数k的大小可查表求得相应的置信概率。三、疏失误差（又称粗大误差或粗差）⒈定义

明显超出规定条件下预期的误差称为粗大误差，简称为粗差。⒉产生原因包括测量人员的主观因素和外界条件的客观因素两方面。测量时疏忽，如读数错、记录错、操作失误等；测量条件发生突变，如温度突然剧烈变化、电源电压突变等。⒊粗差的判断准则①莱特准则进行有限次(n次)测量，测量值x1、x2、…、xn，可求得测量值的平均值和标准偏差σ(x),

若残差Vk满足

则其对应测量值xk为坏值，应予以剔除。！注意：莱特准则作为最简便的判断准则，有它的局限性：它只适用于正态分布且测量次数较大的情况，一般当n≤10，莱特准则失效。②格拉布斯准则若，其对应测

量值xk为坏值，应予以剔除。G称为格拉布斯系数，它与测量次数n和置信概率有关。和莱特准则相比，格拉布斯准则更为科学和严密，当用这两个准则进行坏值判断，结论互相矛盾时，应以格拉布斯准则为准。利用判断准则删除坏值后，要将剩下的数据重新计算平均值和标准偏差，再判断有无坏值，直到没有坏值为止。一般来说，当测量数据中出现三个或三个以上的坏值时，整个测量是在不正常的情况下得到的，应全部抛弃，再重新进行测量。四、三类误差的关系这三类误差的分类并不是绝对的，它们在一定的条件下可以相互转换。较大的随机误差或系统误差可以按粗差来处理。系统误差也可以转换成随机误差。如，变值系差可以按处理随机误差的方法来处理。随机误差也可以转换成系统误差。如，某标准表的误差，在制造时是随机的，用该表去校准一批其它的表时，这一批被校准的表也就具有标准表的系统误差。对于不同性质的误差，我们有不同的处理方法。对系差采取测量中的技术措施、处理时进行修正等方法；随机误差采用算术平均值的方法；粗差则剔除不用。问题：用间接法测量电阻消耗的功率时，需测量电阻R、端电压V和电流I三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的误差来推算功率的误差呢？§2.6系统误差的合成例：用间接法测量电阻上消耗功率。利用公式P=IU测量，已知γI、γU，问功率的相对误差是多大？解：利用公式常用函数的合成误差：

[例]

已知电阻上电压及电流的相对误差分别为,计算功率，则它的相对误差是多少?解：由式(2.6-14)积函数误差合成公式得2.7

测量结果的数据处理

1.数字的舍入规则

“小于5舍，大于5入，等于5时看奇偶”。【例1】对以下数据进行舍入处理，要求小数点后只保留2位。16.3720——16.37

32.4550——32.464.5452——4.553.8546——3.851.995——2.001.985——1.98【例2】将15.4546进行舍入处理，要求保留整数。不对的做法：15.4546——15.455——15.46——15.5——16正确的做法：15.4546——152.7.1数字的舍入规则

玉林师院物信系2.近似运算法则1）近似值相加减【例1.5】13.435+20.382+5.63+4.6=13.44+20.38+5.63+4.6=44.05≈44.0

2）近近似值相乘除3）近似值乘方或开方4）对数的位数与其真数有效数字的位数相同。2.7.2有效数字

在数字修约过程中要注意以下几点。(1)“0”的意义：(2)有单位的数字更需注意记录的方法。(3)带有绝对误差的数字应和绝对误差取齐。(4)带有单位的测量值，有效数字应和绝对误差取齐。玉林师院物信系【例1.6】用一台0.5级100V量程的电压表测量电压，电压表指示值为85.35V，试确定有效数字位数。解：该表在100V量程挡最大绝对误差

ΔUm=±0.5%×Um

=±0.5%×100=±0.5V误差为0.5V，测量记录值为85.4V。2.7.3测量数据的处理（1）求n个测量值的算术平均值：玉林师院物信系（5）求算术平均值标准差的估计值：

（6）求算术平均值的不确定度（7）给出测量结果的报告值（3）按照贝塞尔公式计算n次测量时标准差的估计值。（2）计算任