初中数学相似三角形专项练习题：A字型相似1

初中数学相似三角形专项练习题：A字型相似1相似三角形是初中几何的核心内容之一，它不仅是证明线段成比例、角相等的重要工具，也为后续学习三角函数、圆等知识奠定基础。其中，“A字型”相似是最为常见且基础的相似模型之一，掌握它对于解决复杂几何问题至关重要。本次专项练习，我们将聚焦于A字型相似三角形的识别与应用，帮助同学们深化理解，提升解题能力。一、A字型相似三角形的核心特征与判定在几何图形中，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。而A字型相似三角形，通常具有以下显著特征：1.共角特征：两个三角形共享一个公共角。2.平行特征：存在一组对应边平行。正是由于这组平行边，导致了另外两组对应角相等（利用平行线的性质：同位角相等或内错角相等），从而满足“两角分别相等的两个三角形相似”（AA相似判定定理）。基本图形结构：通常有两种情况：*“正A字”：公共角在顶端，两条平行边在底部，形成一个类似“A”的形状。*“反A字”或“母子型”：公共角在同一侧，一条边是另一条边的一部分，另一条对应边平行，此时小三角形嵌套在大三角形内部，也称为“母子相似三角形”。在识别A字型相似时，关键在于寻找“公共角”和“平行边”这两个要素。一旦发现这两个条件，就可以尝试利用AA判定定理来证明三角形相似。二、典型例题精析例题1：如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC。若AD=3，DB=2，AE=4，求EC的长。分析与解答：首先，我们观察图形，DE平行于BC，且∠A是△ADE和△ABC的公共角。根据平行线的性质，∠ADE=∠B，∠AED=∠C。因此，△ADE∽△ABC（AA相似）。根据相似三角形对应边成比例的性质，我们有：AD/AB=AE/AC已知AD=3，DB=2，所以AB=AD+DB=3+2=5。设EC=x，则AC=AE+EC=4+x。代入比例式：3/5=4/(4+x)交叉相乘得：3(4+x)=5×412+3x=203x=8x=8/3所以，EC的长为8/3。例题2：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D。求证：△ABD∽△CBA。分析与解答：要证明△ABD∽△CBA。我们来找相等的角。已知∠BAC=90°，AD⊥BC，所以∠ADB=90°。因此，∠ADB=∠BAC（都是直角）。又因为∠B是△ABD和△CBA的公共角。根据AA相似判定定理，有两个角对应相等的三角形相似，所以△ABD∽△CBA。（思考：此图形也可看作是一个“反A字”型相似，即公共角∠B，∠BAD=∠BCA（同角的余角相等），同样可证相似。）三、专项练习题练习1：如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD:DB=2:3，BC=10，求DE的长。练习2：已知：如图，△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B。若AC=6，AB=9，求AD的长。练习3：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若AD=2cm，DB=3cm，求FC/BC的值。练习4：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高。若AB=10，AC=6，求AD的长。练习5：如图，点E是□ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于点F。求证：△BEF∽△CDF。（提示：平行四边形对边平行且相等）四、练习题提示与解答思路练习1提示：AD:DB=2:3，则AD:AB=2:(2+3)=2:5。因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，对应边成比例DE/BC=AD/AB。练习2提示：观察到∠ACD=∠B，且∠A是公共角，可证△ACD∽△ABC。利用相似三角形对应边成比例AC/AB=AD/AC。练习3提示：由DE∥BC可得AD/AB=AE/AC；由EF∥AB可得CF/BC=CE/AC。设AD=2k，DB=3k，则AB=5k，AE/AC=2/5，所以CE/AC=1-AE/AC=3/5，即FC/BC=3/5。练习4提示：此为“母子型”相似的典型应用。∠C=90°，CD⊥AB，可证△ACD∽△ABC。因此，AC²=AD·AB，代入数值即可求AD。练习5提示：在□ABCD中，AB∥CD，所以∠E=∠CDF（内错角相等）。又因为∠BFE=∠CFD（对顶角相等），根据AA相似判定定理可证△BEF∽△CDF。五、总结与反思A字型相似三角形的应用广泛，其核心在于对“公共角”和“平行关系”（或能推出等角的其他条件）的敏锐观察。同学们在解题时，应首先尝试从复杂图形中分离出基本的A字模型，然后运用相似三角形的判定定理进行证明，并利用其性质（对应边成比例、对应角相等）来解决线段长度计算或角的关系证明等问题。通过以上练习，希望同