华东师大版八年级数学上册专题训练：等腰三角形

华东师大版八年级数学上册专题训练：等腰三角形一、知识梳理与要点解析（一）等腰三角形的定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。特别地，三边都相等的三角形叫做等边三角形，它是等腰三角形的特殊形式。（二）等腰三角形的性质等腰三角形的性质是解决与等腰三角形相关问题的理论依据，主要包括：1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。*这是等腰三角形最基本也是最重要的性质。已知三角形两边相等，即可推出它们所对的角相等。*应用时需注意“等边”与“等角”的对应关系，避免混淆顶角与底角。2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。*这是等腰三角形所独有的性质，深刻揭示了等腰三角形的轴对称性。*“三线合一”意味着只要知道其中一条线，就可以得出它也是另外两条线。在证明线段相等、角相等或垂直关系时，这一性质往往能起到关键作用。3.等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在的直线，或底边上的中线所在的直线，或底边上的高所在的直线）。*利用轴对称性，可以帮助我们找到相等的线段和角，为解题提供思路。（三）等腰三角形的判定判定一个三角形是否为等腰三角形，主要依据以下定理：1.有两边相等的三角形是等腰三角形（定义法）。*这是最直接的判定方法，只要证明三角形中有两条边相等即可。2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。*这是从角的关系来判定边相等，是证明线段相等的重要途径。*在应用时，要注意区分“等边对等角”（性质）与“等角对等边”（判定）的条件与结论。（四）等边三角形的性质与判定等边三角形作为特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形的所有性质外，还具有自身特有的性质：*性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。*判定：1.三条边都相等的三角形是等边三角形。2.三个角都相等的三角形是等边三角形。3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。二、解题思路与方法指导在解决与等腰三角形相关的问题时，以下思路与方法值得同学们关注：1.“三线合一”的灵活运用：当题目中出现等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线或底边上的高其中之一时，应立即联想到“三线合一”，这往往是解题的突破口。通过作辅助线（如作底边上的高）构造“三线合一”的基本图形，是常用技巧。2.分类讨论思想：等腰三角形的边（腰与底边）、角（顶角与底角）在未明确指明的情况下，常常需要进行分类讨论，以避免漏解。例如，已知等腰三角形的一个角，求其他角的度数时，需考虑这个角是顶角还是底角两种情况（注意：底角不能为直角或钝角）。3.方程思想：在涉及等腰三角形边长或角度的计算时，若直接求解困难，可设未知数，根据等腰三角形的性质（如两底角相等、三角形内角和定理）建立方程，通过解方程求出未知量。4.全等三角形的辅助作用：虽然等腰三角形本身具有很多性质，但在一些复杂问题中，仍需借助全等三角形来证明线段或角的相等关系。构造全等三角形时，可结合等腰三角形的轴对称性。5.转化思想：将等腰三角形问题转化为我们熟悉的、更简单的问题来解决。例如，利用“三线合一”将等腰三角形分割成两个全等的直角三角形，从而将问题转化为直角三角形的问题。三、典型例题精析例题1：已知等腰三角形的一个内角为70°，求其他两个内角的度数。分析：题目中只给出了一个内角的度数，并未说明是顶角还是底角，因此需要分情况讨论。解答：情况一：当70°角为顶角时，则两个底角的度数和为180°-70°=110°。因为等腰三角形两底角相等，所以每个底角的度数为110°÷2=55°。此时，其他两个内角分别为55°，55°。情况二：当70°角为底角时，则另一个底角也为70°，顶角的度数为180°-70°-70°=40°。此时，其他两个内角分别为70°，40°。综上所述，其他两个内角的度数为55°，55°或70°，40°。点评：本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，体现了分类讨论思想的重要性。在进行分类讨论时，要注意三角形内角和的限制，确保所求出的角度能构成三角形。例题2：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：DE=DF。分析：要证DE=DF，可考虑证明它们所在的三角形全等，或者利用角平分线的性质（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。由于AB=AC，D是BC中点，根据“三线合一”可知AD是∠BAC的平分线，再由角平分线的性质即可得证DE=DF。证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的中线与顶角平分线互相重合）。∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。点评：本题巧妙运用了等腰三角形“三线合一”的性质，将线段相等的证明转化为角平分线性质的应用，使问题简化。这体现了“三线合一”在证明线段相等、角相等以及垂直关系中的强大作用。例题3：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：DE∥BC。分析：要证DE∥BC，可考虑证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。已知∠B=∠C，AD=AE，可先利用“等边对等角”得到∠ADE=∠AED，再结合三角形内角和定理及等量代换，证明∠ADE=∠B，从而得出DE∥BC。证明：∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）。∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED（等边对等角）。在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。∴∠ADE+∠AED=∠B+∠C。∵∠ADE=∠AED，∠B=∠C，∴2∠ADE=2∠B，即∠ADE=∠B。∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）。点评：本题综合运用了等腰三角形的性质与判定，以及平行线的判定方法。通过角之间的关系转化，最终实现了线线平行的证明，体现了几何证明中“由角定边”和“由边定角”的相互转化。四、巩固练习与拓展思考基础巩固：1.等腰三角形的两边长分别为5和6，则其周长为多少？2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数是多少？3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若BC=8cm，则BD的长度是多少？能力提升：4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各内角的度数。5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE交CD于点F。求证：△CEF是等腰三角形。拓展思考：6.已知一个等腰三角形的周长为18，且一边长为4，求其他两边的长。在解决此类问题时，需要特别注意什么？7.尝试利用等腰三角形的性质，设计一种测量池塘宽度的方案