新人教版高中数学必修第一册 1.2　集合间的基本关系 教案

(教师独具内容)课程标准：1.在具体情境中，了解空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．教学重点：1.子集、真子集、包含与相等的定义的理解.2.集合间关系的判定.3.能写出给定集合的子集、真子集．教学难点：1.集合间关系的判定.2.关系符号(⊆、、⊇、、∈、∉)的正确运用.3.在具体情境中了解空集及其应用．核心素养：1.通过对集合之间包含与相等的含义及子集、真子集概念的理解，提升学生的数学抽象素养.2.借助子集、真子集的求解及应用，培养数学运算素养.知识点一Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为eq\x(\s\up1(01))Venn图．因此，A⊆B可用eq\x(\s\up1(02))Venn图表示为.知识点二子集与真子集概念定义符号表示图形表示子集一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中eq\x(\s\up1(01))任意一个元素eq\x(\s\up1(02))都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集Aeq\x(\s\up1(03))⊆B(或Beq\x(\s\up1(04))⊇A)读作eq\x(\s\up1(05))A包含于B或eq\x(\s\up1(06))B包含A真子集如果集合Aeq\x(\s\up1(07))⊆B，但存在元素x∈B，且eq\x(\s\up1(08))x∉A，就称集合A是集合B的真子集Aeq\x(\s\up1(09))B(或Beq\x(\s\up1(10))A)读作eq\x(\s\up1(11))A真包含于B或eq\x(\s\up1(12))B真包含A知识点三集合相等自然语言一般地，如果集合A的eq\x(\s\up1(01))任何一个元素eq\x(\s\up1(02))都是集合B的元素，同时集合B的eq\x(\s\up1(03))任何一个元素eq\x(\s\up1(04))都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B符号语言若A⊆B，且B⊆A，则A＝B图形语言知识点四空集定义eq\x(\s\up1(01))不含任何元素的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的eq\x(\s\up1(02))子集，即∅⊆A特性(1)空集只有一个eq\x(\s\up1(03))子集，即它的本身，∅⊆∅(2)若A≠∅，则∅eq\x(\s\up1(04))A知识点五集合间关系的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.1．对子集、真子集有关概念的理解(1)理解真子集的概念时，需明确：AB，首先要满足A⊆B，其次要满足至少有一个元素x∈B且x∉A.如集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，则A⊆B，且集合B中有两个元素不属于集合A,3∉A,4∉A，满足至少有一个元素不属于集合A，故AB.(2)包含、真包含关系(“⊆”与“”)是集合与集合之间的关系，是集体与集体之间的关系；属于关系(“∈”)是元素与集合之间的关系，是个体与集体之间的关系．(3)注意符号“⊆”与“”的区别．若A⊆B，则A＝B或AB.若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确地表达集合A，B之间的关系．例如，若集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则集合A是集合B的子集，也是真子集，用A⊆B与AB均可，但用AB更准确．2．证明或判断集合相等的方法(1)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，若A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A均成立．(2)要判断两个集合是否相等，对于有限集且元素较少的集合，可用列举法将元素一一列举出来，看两集合中的元素是否完全一样；若是无限集或元素较多的有限集，则应根据“互为子集”从两个方向入手进行判断．3．集合子集的个数若一个集合中含有n个元素，则(1)子集的个数为2n.(2)真子集的个数为2n－1.(3)非空子集的个数为2n－1.(4)非空真子集的个数为2n－2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合至少有两个子集．()(2){1,2,3}⊆{3,2,1}．()(3)空集是任何集合的真子集．()(4)若A⊆B，且A≠B，则AB.()(5)若a∈A，则{a}⊆A.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．做一做(1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{2}，则下列关系正确的是()A．B∈A B．B∉AC．B⊇A D．B⊆A(2)下列四个集合中是空集的是()A．{0} B．{x|x>2，且x<－2}C．{x|x2－1＝0} D．{x|x>2}(3)已知集合A＝{－2,3,6m－6}，若{6}⊆A，则m＝________(4)若集合{2,4}＝{1－a,4}，则a＝________.答案(1)D(2)B(3)2(4)－1题型一集合间关系的判断例1指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；(5)M＝{x|x∈N*，x是4,6的公倍数}，N＝{x|x＝12n，n∈N*}．[解](1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7，9，…}，故NM.(5)4和6的公倍数可以表示为{x|x＝12m，m∈N*}，N＝{x|x＝12n，n∈N*}，∴M＝N判断集合之间的关系的基本方法是转化为判定元素和集合间的关系，首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是，则A⊆B，否则AB.其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A.若是，则B⊆A，否则BA.最后下结论：若A⊆B，B⊆A，则A＝B；若A⊆B，BA，则AB；若AB，B⊆A，则BA；若上述三种情况均不成立，则AB，BA.[跟踪训练1](1)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是()A．A⊆B B．A⊇BC．AB D．AB(2)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(2n＋1,3)，n∈Z))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(2n,3)＋1，n∈Z))，则集合A，B的关系为________.答案(1)D(2)A＝B解析(1)集合A中，x＝3k，k∈Z表示3的整数倍，集合B中，x＝6k＝3·2k，k∈Z表示3的偶数倍，故BA.(2)在集合A中，x＝eq\f(2n＋1,3)，n∈Z.集合A中的元素是所有的奇数除以3所得的数．在集合B中，x＝eq\f(2n,3)＋1＝eq\f(2n＋3,3)＝eq\f(2n＋1＋1,3).当n∈Z时，(n＋1)∈Z,2(n＋1)＋1为所有奇数，所以B中的元素是所有奇数除以3所得的数．故A＝B.题型二写出集合的子集例2设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．[解]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的集合A的子集：∅.由1个元素构成的集合A的子集：{－4}，{－1}，{4}．由2个元素构成的集合A的子集：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．由3个元素构成的集合A的子集：{－4，－1,4}．因此集合A的子集：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．集合A的真子集：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．在写含有多个元素的子集时，先从第1个元素开始，第1个元素与其后的每个元素搭配，然后不看第1个元素，再将第2个元素与其后的每个元素搭配，以此类推，以保证不重不漏．[跟踪训练2]已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出所有满足条件的集合M.解由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}．含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}．含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M有：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.题型三集合相等的应用例3已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且M＝N，求a，b[解]解法一：根据集合中元素的互异性，当M＝N时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))(舍去)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))(舍去)．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))解法二：因为两个集合相同，则其中的对应元素相同．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2a＋b2，,a·b＝2a·b2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋bb－1＝0，①,ab2b－1＝0，②))因为集合中的元素互异，所以a，b不能同时为零．当b≠0时，由②，得a＝0或b＝eq\f(1,2).当a＝0时，由①，得b＝1或b＝0(舍去)．当b＝eq\f(1,2)时，由①，得a＝eq\f(1,4).当b＝0时，a＝0(舍去)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))(1)求解含参数的集合相等问题，要注意验证所求参数是否满足集合中元素的互异性．(2)本题中的解法二利用了两集合相等的性质，即两集合相等时，两集合中所有元素的积相等，两集合中所有元素的和相等．[跟踪训练3]已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求实数x与y的值．解由已知，A＝B＝{0，|x|，y}，所以0∈A.若x＝0，则A＝{0,0，－y}，不满足元素的互异性；若y＝0，则B＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异性．所以只有x－y＝0，即y＝x.所以A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2,0}，所以B＝{0，|x|，x}．所以x2＝|x|，所以x＝0(舍去)或x＝1或x＝－1.当x＝1时，A＝B＝{1,1,0}，而集合中的元素具有互异性，故x≠1.当x＝－1时，A＝B＝{－1,1,0}满足题意．所以x＝y＝－1即为所求.题型四由集合间的关系求参数例4已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m[解](1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m(2)当B≠∅时，如图所示：∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．[条件探究1]若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围．解①当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m②当B≠∅时，如图所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－3，,m<3，,m≥2，))即2≤m<3.综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．[条件探究2]若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．解当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B.利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．[跟踪训练4]已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若BA，求实数a解①当2a>a＋3，即a>3时，B＝∅②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,a＋3<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,2a>4.))解得a<－4或2<a≤3.综上可得，实数a的取值范围是{a|a<－4或a>2}．1．在①1⊆{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④∅{0}四个关系中，错误的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析1∈{0,1,2}，所以①错误；{1}⊆{0,1,2}，所以②错误；③④正确．2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是()A．16 B．8C．7 D．4答案C解析易知集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，所以集合A的真子集有23－1＝7个．3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()答案B解析解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如B所示．4．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于________.答案2或－1解析∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解(1)若AB，由图可知a＞2.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.(3)由A＝B，可得a＝2.一、选择题1．若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，集合B＝{x∈R|x＋5>0}，则集合A与B的关系是()A．A∈B B．A⊆BC．B⊆A D．A＝B答案B解析∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x>－5}，∴AB.故选B.2．若集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)－\f(1,4)，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，k∈Z))，则()A．M＝N B．MNC．NM D．M∈N答案B解析∵x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)，k∈Z，∴当k＝2n，n∈Z时，x＝eq\f(n,2)＋eq\f(1,2)，n∈Z；当k＝2n－3，n∈Z时，x＝eq\f(n,2)－eq\f(1,4)，n∈Z，∴MN.3．满足{1}⊆A{1,2,3}的集合A的个数为()A．2 B．3C．8 D．4答案B解析由题意可得集合A中至少含有元素1，且最多含有2个元素．所以集合A可以为{1}，{1,2}，{1,3}，共3个．故选B.4．已知A＝{1，x，y}，B＝{1，x2,2y}，若A＝B，则x－y＝()A．2 B．1C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,2)答案C解析∵A＝B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x2，,y＝2y))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2y，,y＝x2.))根据集合元素的互异性，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(1,4).))∴x－y＝eq\f(1,4).5．(多选)已知集合A＝{1,2,4,8}，集合B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}，则下列四个选项正确的是()A．ABB．{1,4,16,64}⊆BC．集合B中元素的个数为8D．集合B的真子集的个数为27－1答案ABD解析∵集合A＝{1,2,4,8}，∴集合B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}＝{1,2,4,8,16,32,64}，∴AB，A正确；{1,4,16,64}⊆B，B正确；集合B中元素的个数为7，C错误；集合B的真子集的个数为27－1，D正确．故选ABD.二、填空题6．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，则实数a的取值范围是________.答案{a|a≥2}解析如图，因为AB，所以a≥2，即实数a的取值范围是{a|a≥2}．7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\f(y,x)＝1))，则A，B的关系是________.答案BA解析因为B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\f(y,x)＝1))＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.8．已知集合S，T，F之间的关系如图所示，则下列关系中错误的是________(只填序号)．①FT；②ST；③FS；④SF.答案①③④解析根据子集、真子集的概念，由Venn图的关系，可以看出ST正确，其余错误．三、解答题9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集．解因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以集合A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．10．已知集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值范围．解因为A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(a,4)))，A⊇B，所以－eq\f(a,4)≤－1，解得a≥4.所以实数a的取值范围是a≥4.1．若集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，a，\f(b,a)))＝{0，a2，a＋b}，则a2021＋b2020的值为()A．0 B．－1C．1 D．±1答案B解析∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，a，\f(b,a)))＝{0，a2，a＋b}，且a≠0，∴eq\f(b,a)＝0，即b＝0，{1，a,0}＝{0，a2，a}．∴a2＝1，∴a＝1或a＝－1.经检验可知，当a＝1时，与集合元素的互异性矛盾，故a＝－1，b＝0，