新人教版高中数学必修第一册 1.3　第1课时　并集与交集 教案

第1课时并集与交集(教师独具内容)课程标准：1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．教学重点：1.交集与并集的含义.2.求两个集合的并集与交集．教学难点：1.正确理解“或”和“且”的含义.2.并集与交集的运算性质及综合应用．核心素养：1.借助Venn图培养直观想象素养.2.通过并集与交集的运算提升数学运算素养．知识点一并集知识点二交集知识点三并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝eq\x(\s\up1(01))AA∩A＝eq\x(\s\up1(02))AA∪∅＝eq\x(\s\up1(03))AA∩∅＝eq\x(\s\up1(04))∅1．对并集含义的三点说明(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．(2)“或”字的意义：用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的．(3)求A∪B时，要注意集合的互异性，因为A与B可能有公共元素，公共元素只能算一个元素．2．并集的性质(1)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，A⊆A∪B，B⊆A∪B.(2)A⊆B⇔A∪B＝B；A∪B＝∅⇔A＝B＝∅.3．对交集概念的三点说明(1)A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分公共元素组成．如A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c，d，e}，则A∩B＝{b，c，d}，而不是A∩B＝{b，c}或{b，d}或{c，d}等．(2)“A∩B”包含两层含义：①A∩B中的元素都是两集合A，B的公共元素；②集合A与B中的所有公共元素都在A∩B中．(3)两集合A与B没有公共元素时，求这两个集合的交集时，不能说集合A与B没有交集，而是A∩B＝∅.4．交集的性质(1)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)A⊆B⇔A∩B＝A；A∩B＝A∪B⇔A＝B.(3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若A∪B＝∅，则A，B都是∅.()(2)若A∩B＝∅，则A，B至少有一个是∅.()(3)对于任意集合A，B，下列式子总成立：A∩B⊆A⊆A∪B.()(4)对于任意集合A，B，下列式子总成立：A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A.()(5)对于两个非空的有限集合A，B，A∪B中的元素一定多于A中的元素．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．做一做(1)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于()A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)下列关系：Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4(3)若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________.(4)设集合A＝{7，a}，B＝{－1}，A∩B＝B，则a＝________.答案(1)D(2)C(3){x|x>－3}(4)－1题型一并集的概念及简单应用例1(1)已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2<x≤5}，则A∪B＝()A．{x|2<x<3} B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1<x≤5}(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4[解析](1)结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}．(2)因为A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,a2＝16))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝16，,a2＝4.))解得a＝4.[答案](1)B(2)D求集合并集的两种方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解．(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．[跟踪训练1](1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}答案(1)D(2)A解析(1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．题型二交集的概念及简单应用例2(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}[解析](1)A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．由x2＋x－6＝0得x＝－3或x＝2.所以B＝{－3,2}，阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．(2)在数轴上表示出集合A和B，如图所示．由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．[答案](1)A(2)A求集合交集的两种方法(1)定义法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．(2)数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．[跟踪训练2](1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2(2)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝()A．{x|x>－1} B．{x|x<2}C．{x|－1<x<2} D．∅答案(1)D(2)C解析(1)集合A中的元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.所以A∩B＝{8,14}．故选D.(2)在数轴上表示出集合A，B，如图所示，故A∩B＝{x|－1<x<2}.题型三交集、并集中的参数问题例3(1)已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，求实数a(2)已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若A∪B＝B，求实数m[解](1)∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．∴a＝4.(2)因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1<m＋7，,2m＋1≤－2，,m＋7≥3，))解得－4≤m≤－eq\f(3,2)，故实数m的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|－4≤m≤－\f(3,2))).[条件探究1]若将本例(2)的条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝∅”，则实数m的取值范围为________.答案{m|m≤－9或m≥1}解析因为A∩B＝∅，所以2m＋1≥m＋7或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋7≤－2，,m＋7>2m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1≥3，,m＋7>2m＋1，))所以m≥6或m≤－9或1≤m<6.故实数m的取值范围为{m|m≤－9或m≥1}．[条件探究2]若将本例(2)的条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝B”，求实数m的取值范围．解因为A∩B＝B，所以B⊆A.当B＝∅时，即2m＋1≥m所以m≥6，满足A∩B＝B.当B≠∅时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1<m＋7，,2m＋1≥－2，,m＋7≤3，))无解．故m的取值范围是{m|m≥6}．求集合交集、并集中参数的思路(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．(2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集为怎样的范围．(3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围，解题时需注意两点：①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件；②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性．[跟踪训练3](1)已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，求实数m的值；(2)已知集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，非空集合B＝{x∈R|x2＋2(a－1)x＋a－1＝0}，且A∩B＝B，求实数a的值．解(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，故m＝3或m＝eq\r(m)，解得m＝0或m＝1或m＝3，又因为集合中元素的互异性，所以实数m的值为0或3.(2)由题意得，A＝{x∈R|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，由A∩B＝B，得B⊆A.已知B不为∅，①若B＝{0}，此时x2＋2(a－1)x＋a－1＝0有两重根0，由根与系数的关系知a＝1；②若B＝{－4}，此时x2＋2(a－1)x＋a－1＝0有两重根－4，由根与系数的关系知a不存在；③若B＝{0，－4}，同理知此时a不存在．综上，实数a的值为1.1．已知集合A＝{x|x2＝4}，B＝{x|x2－2x－8＝0}，则A∩B＝()A．{4} B．{2}C．{－2} D．∅答案C解析∵A＝{－2,2}，B＝{－2,4}，∴A∩B＝{－2}．2.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}答案D解析由Venn图可知阴影部分表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.3．已知集合A＝{－1,0}，B＝{0,1}，C＝{1,2}，则(A∩B)∪C等于()A．∅ B．{1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}答案C解析因为A∩B＝{0}，所以(A∩B)∪C＝{0}∪{1,2}＝{0,1,2}．4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________.答案{(3,1)}解析由题意，知A∩B＝{(x，y)|x＋y＝4且x－y＝2}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2))))，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))故A∩B＝{(3,1)}．5．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.解(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0,4＋6＋2b＝0，∴a＝－8，b＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．一、选择题1．如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，则阴影部分表示的集合为()A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1，或x≥2}D．{x|0≤x≤1，或x>2}答案B解析由图可知，阴影部分表示的集合是A∩B，因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．故选B.2．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1 B．3C．4 D．8答案C解析因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}．故选C.3．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则()A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3答案B解析∵A∩B＝{(2,5)}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝2a＋1，,5＝2＋b，))解得a＝2，b＝3，故选B.4．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{2，a，b}，若A∩B＝{1,3}，则a＋b的值为()A．4 B．7C．9 D．10答案A解析由题意可知a＝1，b＝3或a＝3，b＝1，所以a＋b＝4，故选A.5．(多选)若集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值可能为()A．1 B．－1C．0 D．2答案ABC解析由A∪B＝A⇒B⊆A，当B＝∅时，m＝0；当B＝{1}时，m＝1；当B＝{－1}时，m＝－1，故选ABC.二、填空题6．设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a可能取的值有________个．答案3解析由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±eq\r(2)或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±eq\r(2)，0，共3个．7．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________.答案a>－1解析利用数轴分析可知a>－1.8．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种；(2)这三天售出的商品最少有________种．答案(1)16(2)29解析设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知：(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种)．(2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y(种)．由于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－y≥0，,y≥0，,14－y≥0，))所以0≤y≤14.所以(43－y)min＝43－14＝29.三、解答题9．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x，y及A∪B.解由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C得7∈A,7∈B且－1∈B，所以在集合A中，有x2－x＋1＝7，解得x＝－2或x＝3.当x＝－2时，在集合B中，有x＋4＝2，又2∈A，故2∈A∩B＝C，但2∉C，故x＝－2不符合题意，舍去．当x＝3时，在集合B中，有x＋4＝7.故有2y＝－1，解得y＝－eq\f(1,2)，经检验满足A∩B＝C.综上可知，x＝3，y＝－eq\f(1,2).此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}．故A∪B＝{－4，－1,2,7}．10．已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3,4}，求实数a，b，c的值．解由A∩B＝{－3}，得－3∈A.∴(－3)2－3a－12＝0，解得a∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3,4}．又A∪B＝{－3,4}，A≠B，A∩B＝{－3}，∴B中只有一个元素－3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4c＝0，,－32－3b＋c＝0，))解得b＝6，c＝9.∴a＝－1，b＝6，c＝9.1．集合A，B中各有两个元素，A∩B中有一个元素，若集合C同时满足：①C⊆(A∪B)，②C⊇(A∩B)，则满足条件C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案D解析设A＝{a，b}，B＝{b，c}，由①知C⊆{a，b，c}，由②知{b}⊆C，所以C中必有元素b，故C的个数为22＝4.2．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，则A∪B等于()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3)，－4)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－4))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))答案A解析由A∩B＝eq\f(1,2)，知eq\f(1,2)∈A，eq\f(1,2)∈B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)p＋q＝0，,\f(3,2)＋\f(1,2)p＋2＋5＋q＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝－7，,q＝－4.))所以A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2))).B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3))).所以A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3)，－4)).故选A.3．定义集合{x|a≤x≤b}的“长度”是b－a.已知m，n∈R，集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|m≤x≤m＋\f(2,3)))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|n－\f(3,4)≤x≤n))，且集合M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.答案eq\f(5,12)解析因为集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|m≤x≤m＋\f(2,3)))，所以集合M的长度是eq\f(2,3)，因为集合N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|n－\f(3,4)≤x≤n))，所以集合N的长度是eq\f(3,4)，因为M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，所以m的最小值为1，n的最大值为2，此时集合M∩N的“长度”最小，为eq\f(5,12).4．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝∅，求实数a解因为A∩B＝∅，A＝{x|2a≤x≤a(1)若A＝∅，则有2a>a＋3，所以a(2)若A≠∅，如图所示：则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得－eq\