新人教版高中数学必修第一册 1.4　1.4.1　充分条件与必要条件 教案

1.4.1充分条件与必要条件(教师独具内容)课程标准：1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．教学重点：掌握充分条件、必要条件的概念，理解充分条件、必要条件的意义，会判断条件与结论之间的充分性、必要性．教学难点：充分性与必要性的判断．核心素养：1.通过充分性、必要性的判断，提升逻辑推理素养.2.借助充分条件、必要条件的应用，提升数学运算素养.知识点一命题的概念及结构(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做eq\x(\s\up1(01))命题.判断为真的语句是eq\x(\s\up1(02))真命题，判断为假的语句是eq\x(\s\up1(03))假命题.(2)当命题表示为“若p，则q”时，eq\x(\s\up1(04))p是命题的条件，eq\x(\s\up1(05))q是命题的结论．知识点二充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为eq\x(\s\up1(01))真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作eq\x(\s\up1(02))p⇒q，并且说，p是q的eq\x(\s\up1(03))充分条件(sufficientcondition)，q是p的eq\x(\s\up1(04))必要条件(necessarycondition)．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作eq\x(\s\up1(05))pq.此时，我们就说p不是q的eq\x(\s\up1(06))充分条件，q不是p的eq\x(\s\up1(07))必要条件.1．p⇒q的含义(1)“若p，则q”形式的命题为真命题．(2)由条件p可以得到结论q.(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q.(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的．(5)为得到结论q，具备条件p就可以推出．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．2．对充分条件、必要条件的理解(1)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．(2)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分条件．必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．3．充分条件、必要条件与集合的关系对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．()(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．()(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．()(4)“x>1”是“x>3”的充分条件．()(5)“x＝2”是“x2＝2x”答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×2．做一做(1)若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件．(2)已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的________条件．(3)若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________.(4)“a>0，b>0”是“ab>0”的________答案(1)充分(2)必要(3)a≤1(4)充分题型一充分条件的判断例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若a∈Q，则a∈R；(2)若a<b，则eq\f(a,b)<1；(3)若x>1，则x2>1；(4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；(5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC；(6)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.[解](1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．(2)由于a<b，当b<0时，eq\f(a,b)>1；当b>0时，eq\f(a,b)<1，因此pq，所以p不是q的充分条件．(3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此pq，所以p不是q的充分条件．(5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件．(6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2＋b2＝0可推出a＝b＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件．充分条件的两种判断方法(1)定义法(2)命题判断方法如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．[跟踪训练1]给出下列四组命题：(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0；(4)p：a>b，q：ac>bc.试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？解(1)因为相似的三角形不一定全等，所以pq，所以p不是q的充分条件．(2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q.所以p是q的充分条件．(3)因为由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)因为由a>bac>bc，所以p不是q的充分条件.题型二必要条件的判断例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若|x|＝|y|，则x＝y；(2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；(3)若x＝1，则x－1＝eq\r(x－1)；(4)若a是自然数，则a是正整数．[解](1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此pq，所以q不是p的必要条件．(2)直角三角形不一定是等腰三角形，因此pq，所以q不是p的必要条件．(3)当x＝1时，x－1＝eq\r(x－1)＝0，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．(4)因为0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，所以q不是p的必要条件．必要条件的两种判断方法(1)定义法(2)命题判断方法如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．[跟踪训练2]下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若－2≤x≤5，则－1≤x≤5；(2)若△ABC为等边三角形，则△ABC是等腰三角形；(3)若x－2＝0，则(x－2)(x－3)＝0.解(1)当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件．(2)因为等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．(3)因为(x－2)＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，所以p⇒q，q是p的必要条件.题型三利用充分条件、必要条件求参数的取值范围例3(1)已知p：关于x的不等式eq\f(3－m,2)<x<eq\f(3＋m,2)，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m[解](1)记A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(3－m,2)<x<\f(3＋m,2)))，B＝{x|0<x<3}，若p是q的充分条件，则A⊆B.注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论：①若A＝∅，即eq\f(3－m,2)≥eq\f(3＋m,2)，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意；②若A≠∅，即eq\f(3－m,2)<eq\f(3＋m,2)，解得m>0，要使A⊆B，应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)≥0，,\f(3＋m,2)≤3，解得0<m≤3.,m>0，))综上可得，实数m的取值范围是m≤3.(2)由已知可得A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－\f(5,4)，x∈R))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≥－\f(5,4)))，B＝{x|x≥－2m因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以－2m≤－eq\f(5,4)，所以m≥eq\f(5,8)，即实数m的取值范围是m≥eq\f(5,8).利用充分条件或必要条件求参数的思路根据充分条件或必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．[跟踪训练3](1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；(2)已知集合M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，命题p：x∈M，命题q：x∈N.若q是p的必要条件，求a的取值范围．解(1)解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，解mx＋1＝0得x＝－eq\f(1,m)，令A＝{2，－3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，因为q是p的充分条件，所以B⊆A.当－eq\f(1,m)＝2时，m＝－eq\f(1,2)；当－eq\f(1,m)＝－3时，m＝eq\f(1,3).所以m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3).(2)因为q是p的必要条件，所以M⊆N.于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))从而可得－2≤a≤7.故a的取值范围为－2≤a≤7.1．若M，N是两个集合，则下列命题中真命题是()A．如果M⊆N，那么M∩N＝MB．如果M∩N＝N，那么M⊆NC．如果M⊆N，那么M∪N＝MD．如果M∪N＝N，那么N⊆M答案A解析用集合的相关定义理解、分析可知A为真命题，B，C，D为假命题．2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断答案A解析当a＝1时，|a|＝1成立．因此“a＝1”是“|a|＝1”3．命题p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案B解析因为(a＋b)(a－b)＝0a＝b，所以pq．又因为a＝b⇒(a＋b)(a－b)＝0，即q⇒p，所以p是q的必要条件．4．“m<－2”是“x2－x－m＝0无实根”的________答案充分解析∵方程x2－x－m＝0无实根，∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4解得m<－eq\f(1,4).∵m<－2⇒m<－eq\f(1,4)，∴“m<－2”是“x2－x－m＝0无实根”5．下列各题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？为什么？(1)p：|a|＝|b|，q：a＝b；(2)p：内错角相等，q：两直线平行；(3)p：整数a能被4整除，q：a的个位数字为偶数；(4)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0.解(1)因为由|a|＝|b|a＝b，所以p不是q的充分条件，又因为由a＝b⇒|a|＝|b|，所以p是q的必要条件．(2)因为p⇒q，所以p是q的充分条件，又因为q⇒p，所以p是q的必要条件．(3)若整数a能被4整除，则a为偶数，所以a的个位数字为偶数，即p⇒q，所以p是q的充分条件．因为qp，所以p不是q的必要条件．(4)由a2＋b2＝0得a＝0，b＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的充分条件．由a＋b＝0a2＋b2＝0，所以p不是q的必要条件．一、选择题1．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件答案B解析因为ac>bca>b，ac<bca<b，a>bac>bc，a<bac<bc，故A，C为假命题．ac＝bca＝b，a＝b⇒ac＝bc，故B为真命题，D为假命题．2．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案A解析因为a和b都是奇数⇒a＋b是偶数，a＋b是偶数a和b都是奇数，所以A正确．3．a<0，b<0的一个必要条件是()A．a＋b<0 B．a－b>0C．eq\f(a,b)>1 D．eq\f(a,b)<－1答案A解析因为a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0，故选A.4．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是()A．a>1 B．a>0C．a<－1 D．a<1答案C解析因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1x2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－4a>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0.选项中只有a<－1⇒a<0，故选C.5．(多选)有以下说法，其中正确的是()A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3D．“x>3”是“x2>4”的充分条件答案ACD解析m是有理数⇒m是实数，故A正确；x∈Ax∈(A∩B)，故B不正确；x＝3⇒x2－2x－3＝0，故C正确；x>3⇒x2>4，故D正确．二、填空题6．已知△ABC，△A1B1C1，这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的答案必要解析由这两个三角形的对应角相等△ABC≌△A1B1C1，反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.所以这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C7．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”或“必要”答案充分解析当m＝2时，A＝{1,4}，A∩B＝{4}，若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝2或m＝－2.所以m＝2⇒A∩B＝{4}，而A∩B＝{4}m＝2.8．已知p：x≥a，q：x≤1或x≥2.若p是q的充分条件，则实数a的取值范围为________.答案a≥2解析因为p是q的充分条件，所以p⇒q.所以a≥2.三、解答题9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.解(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立，即p⇒q，qp，所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．(2)因为x2>1⇒x>1或x<－1，所以p⇒q，且qp.所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．(3)△ABC中，有两个角相等时是等腰三角形，不一定是正三角形，即pq，但q⇒p，所以p不是q的充分条件，但p是q的必要条件．(4)画出Venn图，如图，结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA，反之也成立．所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件．10．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．解记A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m>0)．∵p是q的充分条件，∴p⇒q，∴A⊆B.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤2，,1＋m≥10，))解得m≥9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．1．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则()A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件答案B解析x∈A⇒x∈C，但由x∈Cx∈A，所以B正确．2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案A解析如图所示，显然丙⇒乙⇒甲，但甲丙，所以丙是甲的充分条件，但不是必要条件．3．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出解