新人教版高中数学必修第一册 3.2　3.2.1　第2课时　函数的最大(小)值 教案

第2课时函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：借助函数图象，会用符号语言表示函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．教学重点：1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值．教学难点：利用函数的最值解决有关的实际应用问题．核心素养：借助函数最值的求法培养直观想象和数学运算素养，通过利用函数的最值解决实际问题培养数学建模素养.知识点函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f(x)eq\x(\s\up1(01))≤Mf(x)eq\x(\s\up1(02))≥M∃x0∈I，使得eq\x(\s\up1(03))f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的eq\x(\s\up1(04))纵坐标f(x)图象上最低点的eq\x(\s\up1(05))纵坐标1．对函数最值的三点说明(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．2．函数最值与函数值域的关系函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值．3．利用单调性求最值的常用结论(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．()(2)函数f(x)在区间[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．()(3)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的．()(4)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数的最大值为f(b)．()(5)对于函数y＝f(x)，如果它的函数值都不小于3，那么该函数的最小值是3.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2．做一做(1)函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为()A．3,0 B．3,1C．3，无最小值 D．3，－2(2)设函数f(x)＝3x＋2(x≥0)，则f(x)()A．有最大值 B．有最小值C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值也无最小值(3)函数y＝eq\f(6,x)在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________.(4)函数y＝x2在[1,2]上的最大值与最小值之和为________.答案(1)C(2)B(3)32(4)5题型一利用图象求函数最值例1(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))求f(x)的最大值、最小值；(2)画出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)，x∈－∞，0，,x2＋2x－1，x∈[0，＋∞))的图象，并写出函数的单调区间、函数的最小值．[解](1)作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的图象如图所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.利用图象求函数最值方法的一般步骤(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；(3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值．[跟踪训练1]已知函数f(x)＝2|x－1|－3|x|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)根据函数的图象求其最值．解(1)当x≥1时，f(x)＝2(x－1)－3x＝－x－2；当0≤x<1时，f(x)＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；当x<0时，f(x)＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－2，x≥1，,－5x＋2，0≤x<1，,x＋2，x<0.))结合上述解析式作出图象，如图所示．(2)由图象可以看出，当x＝0时，f(x)取得最大值f(x)max＝2，函数没有最小值.题型二利用单调性求函数最值例2已知函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋2)，x∈[3,5]．(1)判断函数f(x)的单调性并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．[解](1)函数f(x)在[3,5]上为增函数．证明如下：任取x1，x2∈[3,5]，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1－1,x1＋2)－eq\f(x2－1,x2＋2)＝eq\f(x1－1x2＋2－x2－1x1＋2,x1＋2x2＋2)＝eq\f(x1x2＋2x1－x2－2－x1x2－2x2＋x1＋2,x1＋2x2＋2)＝eq\f(3x1－x2,x1＋2x2＋2)，因为x1，x2∈[3,5]，且x1<x2，所以x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋2)在[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值为f(3)＝eq\f(2,5)，当x＝5时，函数f(x)取得最大值为f(5)＝eq\f(4,7).[变式探究]本例中已知条件不变，若改为①f(x)≤a恒成立，②f(x)≥b恒成立，则a，b的取值范围分别是什么？解由例题知，当x∈[3,5]时，eq\f(2,5)≤f(x)≤eq\f(4,7).故当f(x)≤a恒成立时，a≥f(x)的最大值，即a≥eq\f(4,7).f(x)≥b恒成立时，b≤f(x)的最小值，即b≤eq\f(2,5).故a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)，＋∞))，b的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,5))).1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性；(2)利用函数的单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．[跟踪训练2]已知函数f(x)＝x＋eq\f(9,x).(1)判断并证明函数f(x)在(3，＋∞)上的单调性；(2)求函数f(x)在[6,9]上的最值．解(1)函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增，证明如下：设任意x1，x2∈(3，＋∞)，且x1>x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(9,x1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(9,x2)))＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,x1)－\f(9,x2)))＝(x1－x2)＋eq\f(9x2－x1,x1x2)＝eq\f(x1－x2x1x2－9,x1x2).因为x1>3，x2>3，所以x1x2>9，即x1x2－9>0，又因为x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在[6,9]上单调递增．故函数f(x)在[6,9]上的最小值为f(6)＝6＋eq\f(9,6)＝eq\f(15,2)，最大值为f(9)＝9＋eq\f(9,9)＝10.题型三求二次函数的最值[命题角度1]定轴定区间例3已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．[解]f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7恒成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值．(2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7.(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为f(－1)＝3×(－1－2)2－7＝20；在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝3×(1－2)2－7＝－4.[命题角度2]动轴定区间例4已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．[解]f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]．当a≥1时，函数f(x)的图象如图1中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，最小值为f(1)＝3－2a当－1<a<1时，函数f(x)的图象如图2中实线所示，函数f(x)在区间[－1，a)上单调递减，在区间(a,1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数f(x)的图象如图3中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增，最小值为f(－1)＝3＋2a综上所述，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a，a≥1，,2－a2，－1<a<1，,3＋2a，a≤－1.))[命题角度3]定轴动区间例5已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，求g(t)的函数表达式．[解]f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R.当t＋1<1，即t<0时，函数f(x)的图象如图1中实线所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数f(x)的图象如图2中实线所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数f(x)的图象如图3中实线所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可得，g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋1，t<0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t>1.))二次函数最值的求法(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内．(3)对某些函数，可通过换元，转化为二次函数，如函数f(x)＝x－2eq\r(x)－3.[跟踪训练3](1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)＝x－2aeq\r(x)＋3，x∈[0,1]，求函数f(x)的最小值．解(1)∵函数f(x)＝x2－2x－3图象的开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.(2)由(1)知对称轴x＝1，①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.②当eq\f(t＋t＋2,2)≤1<t＋2，即－1<t≤0时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.③当t≤1<eq\f(t＋t＋2,2)，即0<t≤1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.④当1<t，即t>1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t－3，t≤0，,t2＋2t－3，t>0，))φ(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋2t－3，t≤－1，,－4，－1<t≤1，,t2－2t－3，t>1.))(3)设eq\r(x)＝t，t∈[0,1]，则x－2aeq\r(x)＋3＝t2－2at＋3.f(t)＝t2－2at＋3的图象开口向上，且对称轴为直线t＝a.当a≥1时，函数图象如图①所示，函数f(t)在区间[0，1]上单调递减，最小值为f(1)＝4－2a当0＜a＜1时，函数图象如图②所示，函数f(t)在区间[0,1]上先单调递减后单调递增，最小值为f(a)＝3－a2；当a≤0时，函数图象如图③所示，函数f(t)在区间[0,1]上单调递增，最小值为f(0)＝3.综上所述，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－2a，a≥1，,3－a2，0<a<1，,3，a≤0.))题型四函数最值的实际应用例6一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x≥20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元(年利润＝年销售总收入－年总投资)．(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x>20.))(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)．(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．[跟踪训练4]某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－0.4x2＋4.2x，0≤x≤5，,11，x>5，))假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？解(1)由题意，得G(x)＝2.8＋x，所以f(x)＝R(x)－G(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－0.4x2＋3.2x－2.8，0≤x≤5，,8.2－x，x>5.))(2)当x>5时，因为函数f(x)单调递减，所以f(x)<f(5)＝3.2(万元)．当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．1．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是()A．－1,3 B．0,2C．－1,2 D．3,2答案C解析当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C．2．函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的最大值和最小值分别为()A．5，－4 B．3，－7C．无最大值和最小值 D．7，－4答案A解析f(x)＝(x－1)2－4的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，函数f(x)在区间[－2,1]上单调递减，在区间[1,4]上单调递增，所以函数的最小值为f(1)＝－4.又因为f(－2)＝5，f(4)＝5，所以函数的最大值为f(－2)＝f(4)＝5.故选A．3．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少eq\f(x,2)时，面积S最大，此时x的值为()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2答案B解析∵S＝(4＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)x2＋x＋12＝－eq\f(1,2)(x－1)2＋eq\f(25,2)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,3－\f(x,2)>0，))即0<x<6，∴当x＝1时，S取最大值eq\f(25,2).故选B．4．函数f(x)＝eq\f(1,1－x1－x)的最大值为________.答案eq\f(4,3)解析f(x)＝eq\f(1,1－x＋x2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，∴f(x)≤eq\f(4,3).故f(x)的最大值为eq\f(4,3).5．已知二次函数y＝x2－4x＋5，分别求下列条件下函数的最小值：(1)x∈[－1,0]；(2)x∈[a，a＋1]．解(1)∵二次函数y＝x2－4x＋5图象的对称轴为x＝2且开口向上，∴二次函数在[－1,0]上单调递减．∴ymin＝02－4×0＋5＝5.(2)当a≥2时，函数在[a，a＋1]上单调递增，ymin＝a2－4a当a＋1≤2，即a≤1时，函数在[a，a＋1]上单调递减，ymin＝(a＋1)2－4(a＋1)＋5＝a2－2a当a<2<a＋1，即1<a<2时，ymin＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a＋2，a≤1，,1，1<a<2，,a2－4a＋5，a≥2.))一、选择题1．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋6，x∈[1，2]，,x＋7，x∈[－1，1，))则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不对答案A解析当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7＜8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A．2．设a，b∈R，且a>0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b，在[－1,1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于()A．4 B．8C．10 D．16答案B解析因为a>0，所以g(x)＝ax＋b在[－1,1]上单调递增，又g(x)的最大值为2，所以a＋b＝2.所以f(2)＝4＋2a＋2b＝4＋2(a＋b3．设函数f(x)＝eq\f(2x,x－2)在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为a和b，则a2＋b2＝()A．50 B．52C．36 D．80答案B解析易知f(x)＝eq\f(2x,x－2)＝2＋eq\f(4,x－2).所以函数f(x)在[3,4]上单调递减．所以a＝f(3)＝2＋eq\f(4,3－2)＝6，b＝f(4)＝2＋eq\f(4,4－2)＝4，所以a2＋b2＝36＋16＝52.4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1 B．0C．1 D．2答案C解析因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.又因为函数图象开口向下，所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.5．(多选)函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值可能为()A．1 B．2C．3 D．4答案BCD解析f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由函数f(x)的最小值为1，知m≥2.又函数f(x)的最大值为5，f(0)＝5，f(4)＝5，所以2≤m≤4，故选BCD.二、填空题6．用长度为24m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.答案3解析设隔墙长度为xm，场地面积为Sm2，则S＝x·eq\f(24－4x,2)＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.所以当x＝3时，S有最大值18m2.7．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，－2≤x<1))的最大值为________，最小值为________.答案2－2解析当x≥1时，函数f(x)＝eq\f(1,x)单调递减，故当x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝1；当－2≤x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0时取得最大值，最大值为f(0)＝2，综上，函数f(x)的最大值为2.当x≥1时，0<f(x)＝eq\f(1,x)≤1；当－2≤x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝－2时取得最小值，最小值为f(－2)＝－2，综上，f(x)的最小值为－2.8．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋3－b(a>0)在区间[1,3]上有最大值5和最小值2，则2a＋b＝________答案eq\f(7,4)解析依题意，得函数f(x)图象的对称轴为x＝1，又a>0，所以函数f(x)在[1,3]上单调递增．故当x＝3时，该函数取得最大值，即f(x)max＝f(3)＝3a－b＋3＝5；当x＝1时，该函数取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝－a－b＋3＝2，联立方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－b＋3＝5，,－a－b＋3＝2.))解得a＝eq\f(3,4)，b＝eq\f(1,4).因此2a＋b＝eq\f(7,4).三、解答题9．(1)求函数y＝ax＋1(a≠0)在[0,2]上的最值；(2)若函数y＝ax＋1在[0,2]上的最大值与最小值之差为2，求a的值．解(1)当a>0时，y＝ax＋1在[0,2]上单调递增，在x＝0时取得最小值1，在x＝2时取得最大值2a当a<0时，y＝ax＋1在[0,2]上单调递减，在x＝0时取得最大值1，在x＝2时取得最小值2a(2)∵|f(0)－f(2)|＝2，∴|1－(2a∴a＝±1.10．已知二次函数y＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)若a＝－1，写出函数的单调递增区间和单调递减区间；(2)若a＝－2，求函数的最大值和最小值；(3)若函数在[－4,6]上是单调函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝－1时，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，因为x∈[－4,6]，所以函数的单调递增区间为[1,6]，单调递减区间为[－4,1)．(2)当a＝－2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，因为x∈[－4，6]，所以函数的单调递增区间为[2,6]，单调递减区间为[－4,2)，所以函数的最大值为f(－4)＝35，最小值为f(2)＝－1.(3)由y＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2可得函数图象的对称轴为直线x＝－a，因为函数在[－4,6]上是单调函数，所以a≤－6或a≥4.1．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案C解析令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为()A．每个95元 B．每个100元C．每个105元 D．每个110元答案A解析设售价为x元，利润为y元，则y＝[400－20(x－90)](x－80)＝－20(x－95)2＋4500(80≤x≤110)，所以当x＝95时，y有最大值4500.3．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________.答案6解析在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点坐标为(4,6)．由图象可知，函数f(x)的最大值为6.4．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．解(1)函数f(x)在R上单调递减；证明：∀x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0.又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)<f(x1)．所以函数f(x)在R上单调递减．(2)由(1)可知f(x)在R上单调递减，所以f(x)在[－3,3]上也单调递减，所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－2.所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.5．近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每座城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足P＝4eq\r(2a)－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120<a≤160.))设甲城市的投入资金为x(单位：万元)，两城市的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？解(1)当x＝128时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元，所以总收益f(128)＝4eq\r(2×128)－6＋eq\f(1,4)×112＋2＝88(万元)．(2)设甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥80，,240－x≥80，))解得80≤x≤160.当80≤x<120时，120<240－x≤160，f(x)＝4eq\r(2x)－6＋32＝4eq\r(2x)＋26<26＋16eq\r(15).当120≤x≤160时，80≤240－x≤120，f(x)＝4eq\r(2x)－6＋eq\f(1,4)(240－x)＋2＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋56.令t＝eq\r(x)，则t∈[2eq\r(30)，4eq\r(10)]，所