新人教版高中数学必修第一册 5.7　三角函数的应用 教案

(教师独具内容)课程标准：1.了解y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义.2.会用三角函数模型解决简单的实际问题.3.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．教学重点：用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题．教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型．核心素养：1.通过建立三角模型解决实际问题，提升学生数学建模素养.2.通过对实际问题的求解和分析，培养学生数学运算和逻辑推理素养.知识点一函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则知识点二三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中eq\x(\s\up1(01))周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画eq\x(\s\up1(02))周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．知识点三建立函数模型的一般步骤运用三角函数模型解决问题的几种类型(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．做一做(1)函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分别是()A．3π，eq\f(1,3)，eq\f(π,6) B．6π，3，eq\f(π,6)C．3π，3，－eq\f(π,6) D．6π，eq\f(1,3)，eq\f(π,6)(2)电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是()A.eq\f(1,50) B．50C．eq\f(1,100) D．100(3)如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过eq\f(1,2)周期后，乙的位置将传播至()A．甲 B．乙C．丙 D．丁(4)一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm.答案(1)B(2)A(3)C(4)eq\f(g,4π2)题型一三角函数在物理中的应用例1已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？[解]列表如下：t－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2t＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以小球开始振动时的位移是2eq\r(3)cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝eq\f(2π,ω)为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝eq\f(1,T)为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．[跟踪训练1]单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？解(1)列表如下：2πt＋eq\f(π,6)eq\f(π,6)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(13π,6)t0eq\f(1,6)eq\f(5,12)eq\f(2,3)eq\f(11,12)1s360－603描点、连线，再利用周期性将图象向右平移得t∈[0，＋∞)上的图象．(2)因为当t＝0时，s＝6sineq\f(π,6)＝3，所以此时离开平衡位置的距离是3cm.题型二三角函数模型的实际应用例2如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量．[解](1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－A＋b＝700，,A＋b＝900，))解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)，∴y＝100sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×6＋φ))＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－eq\f(π,2)，∴y＝100sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋800.(2)当t＝2时，y＝100sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×2－\f(π,2)))＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.解三角函数应用问题的基本步骤[跟踪训练2]据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件求f(x)的解析式．解由题可知eq\f(T,2)＝7－3＝4，所以T＝8，所以ω＝eq\f(π,4)，A＝eq\f(9－5,2)＝2，B＝eq\f(9＋5,2)＝7，即f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))＋7，(*)又图象过点(3,9)，代入(*)式得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝1，由eq\f(3π,4)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，且|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,4)，则f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*).题型三数据拟合问题例3已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动．[解](1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝eq\f(π,6).又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，∴振幅为eq\f(1,2)，函数解析式为y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(2)∵y>1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1，coseq\f(π,6)t>0,2kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，∴0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，∴在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t<15.[条件探究]若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？解由y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1.25，得coseq\f(π,6)t>eq\f(1,2)，∴2kπ－eq\f(π,3)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，即12k－2<t<12k＋2，k∈Z.又0≤t≤24，∴0≤t<2或10<t<14或22<t≤24，∴在规定时间内只有4个小时可供冲浪爱好者进行活动，即10<t<14.三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力．[跟踪训练3]某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10139.97101310.1710根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出y＝Asinωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?解(1)从拟合曲线可知，函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12，因此eq\f(2π,ω)＝12，ω＝eq\f(π,6).又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，∴b＝10，A＝13－10＝3，∴所求函数的表达式为y＝3sineq\f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．(2)由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y＝3sineq\f(π,6)t＋10≥11.5，可得sineq\f(π,6)t≥eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,6)t≤2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．取k＝0，则1≤t≤5；取k＝1，则13≤t≤17；取k＝2时，25≤t≤29(不符合题意，舍去)．∴当1≤t≤5与13≤t≤17时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.1．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cos2t确定，则当t＝eq\f(2π,3)s时，s1与s2的大小关系是()A．s1>s2 B．s1<s2C．s1＝s2 D．不能确定答案C解析当t＝eq\f(2π,3)时，s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝5sineq\f(3π,2)＝－5，s2＝10coseq\f(4π,3)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－5，故s1＝s2.2．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的()A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]答案C解析当10≤t≤15时，有eq\f(3π,2)<5≤eq\f(t,2)≤eq\f(15,2)<eq\f(5π,2)，此时F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)是增函数，即车流量在增加．故选C.3．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()A．该质点的运动周期为0.8sB．该质点的振幅为5cmC．该简谐运动可用x＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋\f(3π,4)))表示D．该质点在1s时位移约为3.5cm答案ABD解析由题图可知，该质点的振幅为5cm，运动周期为0.8s，故A，B正确；设x＝Asin(ωt＋φ)，则A＝5，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(5π,2)，所以x＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋φ)).因为图象经过点(0.3,0)且在附近下降，所以eq\f(5π,2)×0.3＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，故C错误；将t＝1代入，得x≈3.5，故D正确．4．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．答案0.8解析观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8s，所以这个简谐运动需要0.8s往返一次．5．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．解(1)当t＝0时，E＝110eq\r(3)(V)，即开始时的电压为110eq\r(3)V.(2)T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02s.(3)电压的最大值为220eq\r(3)V，当100πt＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即t＝eq\f(1,300)s时，第一次取得最大值．一、选择题1．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(心跳次数即求频率)为()A．60 B．70C．80 D．90答案C解析所求f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)＝eq\f(160π,2π)＝80.2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6C．8 D．10答案C解析根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.3.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,3)))，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为()A．2s B．1sC．eq\f(1,2)s D．eq\f(1,4)s答案C解析由题意，知周期T＝eq\f(2π,2π)＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为eq\f(1,2)s.4.(多选)如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则下列正确的是()A．ω＝eq\f(2π,15) B．ω＝eq\f(15,2π)C．A＝3 D．A＝5答案AC解析由题目可知最大值为5，所以5＝A×1＋2⇒A＝3.T＝15，则ω＝eq\f(2π,15).5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象如图所示，则当t＝eq\f(1,100)秒时，电流强度是()A．－5安 B．5安C．5eq\r(3)安 D．10安答案A解析由图知A＝10，T＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,300)－\f(1,300)))＝eq\f(1,50)＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝100π，则I＝10sin(100πt＋φ)．因为点(0,5)在图象上，所以10sinφ＝5，即sinφ＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6)，所以I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6))).当t＝eq\f(1,100)时，I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝10sineq\f(7π,6)＝－5.二、填空题6．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0答案y＝－4coseq\f(5π,2)t解析设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,0.8)＝eq\f(5π,2).又由4sinφ＝－4.0，可得sinφ＝－1，取φ＝－eq\f(π,2)，故y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t－\f(π,2)))，即y＝－4coseq\f(5π,2)t.7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.答案20.5解析依题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋A＝28，,a－A＝18，))则a＝eq\f(28＋18,2)＝23，A＝eq\f(28－18,2)＝5，则y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))，当x＝10时，y＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝20.5.8．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12s旋转一周．已知当t＝0时，点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数解析式为________，单调递增区间是________.答案y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))[0,1]，[7,12]解析由T＝12，所以ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，从而可设y关于t的函数为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))(t≥0)，又t＝0时，y＝eq\f(\r(3),2)，所以φ＝eq\f(π,3)，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，所以当－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即－5＋12k≤t≤1＋12k，k∈Z时，函数单调递增，因为0≤t≤12.所以增区间为[0,1]和[7,12]．三、解答题9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25解(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10℃.所以最大温差为30℃－10(2)令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq\f(1,2).而x∈[4,16]，所以x＝eq\f(26,3).令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq\f(1,2)，而x∈[4,16]，所以x＝eq\f(34,3).故该细菌的存活时间为eq\f(34,3)－eq\f(26,3)＝eq\f(8,3)小时．10．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝keq\r(x)(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，x∈[4,8])的图象，图象的最高点为Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(8\r(3),3)))，且DF⊥OC，垂足为点F.(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为eq\f(4,3)，点E在OC上，求儿童乐园的面积．解(1)由图象，可知A＝eq\f(8\r(3),3)，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,4×8－5)＝eq\f(π,6)，将Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(8\r(3),3)))代入y＝eq\f(8\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))中，得eq\f(5π,6)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)．因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，故y＝eq\f(8\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3))).(2)在y＝eq\f(8\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))中，令x＝4，得D(4,4)，从而得曲线OD的方程为y＝2eq\r(x)(0≤x≤4)，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4\r(3),3)))，所以矩形PMFE的面积为S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,3)))×eq\f(4\r(3),3)＝eq\f(32\r(3),9)，即儿童乐园的面积为eq\f(32\r(3),9).1．夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是()A．25℃ B．26C．27℃ D．答案C解析由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20，∵eq\f(T,2)＝14－6，∴T＝16，∵T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,8)，∴y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))＋20，∵图象经过点(14,30)，∴30＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×14＋φ))＋20，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×14＋φ))＝1，∴φ可以取eq\f(3π,4)，∴y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，当x＝12时，y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×12＋\f(3π,4)))＋20＝10×eq\f(\r(2),2)＋20≈27.07.2．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．答案10sineq\f(πt,60)解析秒针1s转eq\f(π,30)弧度，ts后秒针转了eq\f(π,30)t弧度，如图所示，sineq\f(πt,60)＝eq\f(\f(d,2),5)，所以d＝10sineq\f(πt,60).3.如图，一个大风车的半径是8米，每12分钟旋转一周，最低点离地面2米，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系是________.答案h(t)＝－8coseq\f(π,6)t＋10(t≥0)解析由题意，T＝12，∴ω＝eq\f(π,6)，设h(t)＝Acos(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ∈[0,2π))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋B＝18，,－A＋B＝2，))∴A＝8，B＝10，可得h(t)＝8coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋10，∵P的初始位置在最低点，∴t＝0时，得h(t)＝2，即8cosφ＋10＝2，解得φ＝2kπ＋π，k∈Z，∴φ＝π，∴h与t的函数关系为h(t)＝8coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋π))＋10＝－8coseq\f(π,6)t＋10(t≥0)．4．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m?解(1)依题意知T＝eq\f(2π,ω)＝12，故ω＝eq\f(π,6)，h＝eq\f(8.4＋16,2)＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co