新人教版高中数学必修第一册 4.1　4.1.1　n次方根与分数指数幂 教案

4.1.1n次方根与分数指数幂(教师独具内容)课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系．教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别与联系．核心素养：1.通过n次方根和n次根式的概念的形成过程，发展数学抽象素养.2.通过正确运用根式的运算性质化简求值，发展数学运算素养.知识点一根式的定义(1)a的n次方根的定义：eq\x(\s\up1(01))一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示①当n是奇数时，eq\x(\s\up1(02))a的n次方根表示为eq\r(n,a)，a∈R；②当n是偶数时，eq\x(\s\up1(03))a的n次方根表示为±eq\r(n,a)，其中eq\r(n,a)表示a的正的n次方根，－eq\r(n,a)表示a的负的n次方根，a>0；③负数eq\x(\s\up1(04))没有偶次方根；④0的任何次方根都是eq\x(\s\up1(05))0，记作eq\x(\s\up1(06))eq\r(n,0)＝0.(3)根式：eq\x(\s\up1(07))式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.知识点二根式的性质(1)(eq\r(n,a))n＝eq\x(\s\up1(01))a.(2)eq\r(n,an)＝eq\x(\s\up1(02))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an为奇数，,|a|n为偶数.))知识点三分数指数幂的意义(1)a＝eq\x(\s\up1(01))eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)，a＝eq\f(1,a)＝eq\x(\s\up1(02))eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1).(2)0的正分数指数幂等于eq\x(\s\up1(03))0,0的负分数指数幂eq\x(\s\up1(04))没有意义.知识点四有理数指数幂的运算性质(1)aras＝eq\x(\s\up1(01))ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝eq\x(\s\up1(02))ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝eq\x(\s\up1(03))arbr(a>0，b>0，r∈Q)．1.eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别(1)eq\r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(2)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.2．分数指数幂的理解(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a不可理解为eq\f(m,n)个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．(2)把根式eq\r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq\f(m,n)进行约分．3．在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5)＝eq\r(3,－52)有意义，但(－5)＝eq\r(4,－53)就没有意义．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数a的奇次方根只有一个．()(2)eq\r(4－π2)＝4－π.()(3)当n∈N*时，(eq\r(n,－4))n＝－4.()(4)eq\r(m－n2)＝|m－n|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－nm≥n，,n－mm<n.))()答案(1)√(2)√(3)×(4)√2．做一做(1)eq\r(3,27)的运算结果为()A．3 B．－3C．±3 D．±eq\r(3)(2)若a为实数，则下列式子可能没有意义的是()A．eq\r(3,a) B．eq\r(3,－a)C．eq\r(4,a2) D．eq\r(6,a3)(3)当a<0时，a＋eq\f(\r(3,a3),a)＋eq\r(4,a4)＝________.(4)若x5＝－3，则x＝________.答案(1)A(2)D(3)1(4)－eq\r(5,3)题型一n次方根的概念问题例1(1)64的立方根是________；(2)已知x6＝2020，则x＝________；(3)若eq\r(4,x＋3)有意义，则实数x的取值范围为________.[解析](1)64的立方根是4.(2)因为x6＝2020，所以x＝±eq\r(6,2020).(3)要使eq\r(4,x＋3)有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．[答案](1)4(2)±eq\r(6,2020)(3)[－3，＋∞)n次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)根式eq\r(n,a)的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，eq\r(n,a)为非负实数；②当n为奇数时，eq\r(n,a)的符号与a的符号一致．[跟踪训练1](1)已知a∈R，n∈N*，给出下列四个式子：①eq\r(6,－32n)；②eq\r(5,a2)；③eq\r(6,－52n＋1)；④eq\r(9,－a2).其中无意义的有()A．1个 B．2个C．3个 D．0个(2)①16的平方根是________，－27的5次方根是________；②已知x3＝6，则x＝________.(3)若eq\r(4,x－2)有意义，求实数x的取值范围．答案(1)A(2)①±4eq\r(5,－27)②eq\r(3,6)(3)见解析解析(1)①中(－3)2n>0，所以eq\r(6,－32n)有意义；②中根指数为5，所以eq\r(5,a2)有意义；③中(－5)2n＋1<0，所以eq\r(6,－52n＋1)无意义；④中根指数为9，所以eq\r(9,－a2)有意义．选A．(2)①因为(±4)2＝16，所以16的平方根为±4.－27的5次方根为eq\r(5,－27).②因为x3＝6，所以x＝eq\r(3,6).(3)要使eq\r(4,x－2)有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞).题型二利用根式的性质化简求值例2化简下列各式：(1)eq\r(5,－35)＋(eq\r(5,－2))5；(2)eq\r(4,－34)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,a－34).[解](1)原式＝(－3)＋(－2)＝－5.(2)原式＝|－3|＋2＝3＋2＝5.(3)原式＝|a－3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3a≥3，,3－aa<3.))根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论．[跟踪训练2](1)求下列各式的值：①eq\r(3,－23)；②eq\r(－92)；③(eq\r(5,2))5；④eq\r(x2＋2xy＋y2).(2)若eq\r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求实数a的取值范围．解(1)①eq\r(3,－23)＝－2.②eq\r(－92)＝|－9|＝9.③(eq\r(5,2))5＝2.④eq\r(x2＋2xy＋y2)＝eq\r(x＋y2)＝|x＋y|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y，x＋y≥0，,－x－y，x＋y<0.))(2)∵eq\r(9a2－6a＋1)＝eq\r(3a－12)＝|3a－1|，由|3a－1|＝3a－1，可知3a∴a≥eq\f(1,3).故实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).题型三有限制条件的根式运算例3(1)若x<0，求x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)的值；(2)若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．[解](1)∵x<0，∴|x|＝－x，eq\r(x2)＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝x－x－1＝－1.(2)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))[条件探究1]在本例(1)条件不变的情况下，求eq\r(3,x3)＋eq\f(\r(x2),|x|).解eq\r(3,x3)＋eq\f(\r(x2),|x|)＝x＋eq\f(|x|,|x|)＝x＋1.[条件探究2]将本例(2)的条件“－3<x<3”改为“x≤－3解原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的式子可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法，当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的式子的正负．[跟踪训练3]若代数式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意义，化简eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,x－24).解由eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2－x≥0，))即eq\f(1,2)≤x≤2.故eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,x－24)＝eq\r(2x－12)＋2eq\r(4,x－24)＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.题型四根式与分数指数幂的互化例4用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式子中字母均是正数)：(1)eq\r(3,a)·eq\r(4,a)；(2)eq\r(a\r(a\r(a)))；(3)eq\r(3,a2)·eq\r(a3)；(4)(eq\r(3,a))2·eq\r(ab3).[解](1)eq\r(3,a)·eq\r(4,a)＝a·a＝a.(2)原式＝a·a·a＝a.(3)原式＝a·a＝a.(4)原式＝(a)2·a·b＝ab.根式与分数指数幂互化的依据(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝eq\r(n,am)和a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))，其中字母a要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．[跟踪训练4](1)用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)：①x；②x；③xy.(2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式：①eq\r(3,a)·eq\r(6,－a)(a<0)；②(eq\r(4,b))(b<0)；③eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x≠0)．解(1)①x＝eq\r(3,x2).②x＝eq\f(1,\r(5,x3)).③xy＝eq\f(\r(7,y4),\r(x)).(2)①原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a<0)．②原式＝(－b)×＝(－b)(b<0)．③原式＝eq\f(1,x·x×)＝eq\f(1,x)＝x.1．eq\r(3,－27)的值是()A．3 B．－3C．9 D．－9答案B解析eq\r(3,－27)＝eq\r(3,－33)＝－3.2．已知m10＝2，则m等于()A．eq\r(10,2) B．－eq\r(10,2)C．eq\r(210) D．±eq\r(10,2)答案D解析∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±eq\r(10,2).3．若n<m<0，则eq\r(m2＋2mn＋n2)－eq\r(m2－2mn＋n2)＝()A．2m B．2nC．－2m D．－2答案C解析原式＝eq\r(m＋n2)－eq\r(m－n2)＝|m＋n|－|m－n|，因为n<m<0，所以m＋n<0，m－n>0，所以原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.4．将eq\r(3,22)化成分数指数幂为________.答案2解析eq\r(3,22)＝2.5．求下列各式的值：(1)eq\r(n,2－πn)(n>1，且n∈N*)；(2)eq\r(2n,x－y2n)(n>1，且n∈N*)．解(1)当n为奇数时，eq\r(n,2－πn)＝2－π，当n为偶数时，eq\r(n,2－πn)＝π－2.(2)eq\r(2n,x－y2n)＝|x－y|，当x≥y时，eq\r(2n,x－y2n)＝x－y，当x<y时，eq\r(2n,x－y2n)＝y－x.一、选择题1．已知a>0，则a等于()A．eq\r(a3) B．eq\f(1,\r(3,a2))C．eq\f(1,\r(a3)) D．eq\r(－3,a2)答案B解析a＝eq\f(1,a))＝eq\f(1,\r(3,a2)).2．若eq\r(a－2)＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是()A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)答案B解析由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2≥0，,a－4≠0.))所以a≥2且a≠4.3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\f(1,4)))＝()A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(5,2)答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\f(1,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))－1＝eq\f(2,5).4．计算a＋eq\r(4,1－a4)的结果是()A．1 B．2aC．1或2a－1 D．答案C解析a＋eq\r(4,1－a4)＝a＋|1－a|，若1－a≥0，则a＋|1－a|＝a＋1－a＝1；若1－a<0，则a＋|1－a|＝a＋a－1＝2a－1，综上可知，计算的结果为1或2a－1.5．当eq\r(2－x)有意义时，化简eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2－6x＋9)的结果是()A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x答案C解析因为eq\r(2－x)有意义，所以2－x≥0，即x≤2，eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2－6x＋9)＝eq\r(x－22)－eq\r(x－32)＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1.故选C．二、填空题6.eq\r(3,－\f(8,125))的值为________.答案－eq\f(2,5)解析eq\r(3,－\f(8,125))＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))3)＝－eq\f(2,5).7．若eq\r(x－1)＋eq\r(4,x＋y)＝0，则x2020＋y2021＝________.答案0解析∵eq\r(x－1)≥0，eq\r(4,x＋y)≥0，且eq\r(x－1)＋eq\r(4,x＋y)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x＋y＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))∴x2020＋y2021＝1－1＝0.8．已知eq\r(4,a－14)＋1＝a，化简(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3)＝________.答案a－1解析由已知eq\r(4,a－14)＋1＝a，即|a－1|＝a－1，即a≥1.所以原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.三、解答题9．化简：(1)eq\r(n,x－πn)(x<π，n∈N*)；(2)eq\r(4a2－4a＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2))).解(1)因为x<π，所以x－π<0，当n为偶数时，eq\r(n,x－πn)＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，eq\r(n,x－πn)＝x－π.综上，eq\r(n,x－πn)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(π－x，n为偶数，n∈N*，,x－π，n为奇数，n∈N*.))(2)因为a≤eq\f(1,2)，所以1－2a≥0.所以eq\r(4a2－4a＋1)＝eq\r(2a－12)＝eq\r(1－2a2)＝1－2a.10．将下列根式化为分数指数幂的形式．(1)eq\r(3,\r(a\r(a)))(a>0)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,b)))(b>0)．解(1)原式＝eq\r(3,\r(a·a))＝eq\r(3,\r(a))＝eq\r(3,a)＝a.(2)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(2,3)))))＝b＝b.1．化简eq\r(4,m6)(m<0)为()A．meq\r(m) B．meq\r(－m)C．－meq\r(m) D．－meq\r(－m)答案D解析∵m<0，∴eq\r(4,m6)＝eq\r(－m3)＝－meq\r(－m).2．(多选)下列各式正