2026年中考数学专题突破六：最短路径-造桥选址问题

2026年中考数学专题突破六：最短路径——造桥选址问题在中考数学的几何应用题中，“最短路径”问题始终是考查的热点与难点，而“造桥选址”作为其中一类极具代表性的题型，不仅要求同学们具备扎实的几何基础知识，更考验其转化与建模的能力。本文将深入剖析此类问题的本质，梳理解题思路，并通过典型例题的精讲，帮助同学们掌握破解“造桥选址”问题的核心方法，实现专题突破。一、问题引入与模型构建“造桥选址”问题通常以现实生活中的交通建设为背景，例如：在一条河流的两岸有两个村庄，现要在河上造一座桥（桥身与河岸垂直），使得从一个村庄经过桥到另一个村庄的总路程最短。如何确定桥的位置？基本模型：如图1，直线l1、l2表示两条平行的河岸（l1为左岸，l2为右岸），A点表示左岸村庄，B点表示右岸村庄。现要在l1、l2之间造一座垂直于河岸的桥MN（M在l1上，N在l2上），使得从A到B的路径A→M→N→B最短。![图1：造桥选址基本模型示意图]（此处为示意图位置，实际写作时可省略或提示学生自行绘制）二、难点剖析与核心思路同学们在初次接触这类问题时，往往会直接连接A、B两点，认为与河岸的交点就是桥的位置。但这种思路忽略了“桥”本身的长度，以及桥必须垂直于河岸这一限定条件。因此，直接连接A、B得到的路径，其总长度并非A→M→N→B的真实长度，因为MN的长度是固定的（河宽），且必须包含在路径之中。核心思路：“平移法”化折为直，剔除固定长度干扰既然桥的长度（河宽d）是固定的，且方向垂直于河岸，那么我们可以考虑将路径中“桥”的这一段进行平移，从而将问题转化为我们熟悉的“两点之间线段最短”的基本模型。具体而言，就是将点A（或点B）沿着垂直于河岸的方向，向对岸平移一个河宽的距离，得到一个新的点A'（或B'）。此时，连接A'与B（或A与B'）的线段，其长度就等价于原路径中除去桥长后的剩余部分（即AM+NB）。根据“两点之间线段最短”，这条线段与对岸（l2或l1）的交点，就是我们要找的桥的端点N（或M）。三、具体解法步骤与原理阐释以基本模型为例（A在l1，B在l2，桥MN⊥l1、l2，M在l1，N在l2）：1.平移点A：过点A作AC⊥l1，垂足为C，在AC的延长线上截取CA'=d（河宽），得到点A'。此时，AA'=d且AA'⊥l1（也⊥l2）。2.连接新点与目标点：连接A'B，交l2于点N。3.确定桥的位置：过点N作NM⊥l2交l1于点M，则MN即为所求建桥的位置。4.验证最短路径：此时的最短路径为A→M→N→B。原理阐释：由于AA'平行且等于MN（均垂直于河岸且长度为d），所以四边形AA'NM是平行四边形，因此AM=A'N。原路径总长度AM+MN+NB=A'N+MN+NB=(A'N+NB)+MN=A'B+MN。因为MN是固定的河宽，所以要使总路径最短，只需A'B最短。而A'、B为两个定点，故线段A'B即为A'到B的最短距离。因此，按上述方法确定的M、N点，能保证A→M→N→B路径最短。四、典型例题精讲与变式拓展例题1（基本型：单河单桥）已知：如图，直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为d（即河宽），A、B分别是l1、l2同侧（或异侧？此处应为异侧，若同侧问题类似但平移方向需注意）的两个定点。请在l1、l2上分别确定点M、N，使MN⊥l1（即MN为桥），且AM+MN+NB的值最小。解答：（1）若A、B在l1、l2异侧（如图1模型）：过A作l1的垂线，在垂线上向下（朝向l2方向）截取AA'=d，得A'。连接A'B交l2于N。过N作l2的垂线（即MN）交l1于M。则M、N即为所求，路径A→M→N→B最短。（2）若A、B在l1、l2同侧（例如均在l1上方，但被l1、l2两条平行线隔开，即l1为靠近A、B的河岸，l2为远离的河岸）：此时，仍可采用平移法。过A作l1的垂线，在垂线上向下（朝向l2方向）截取AA'=d，得A'（此时A'在l1、l2之间或l2另一侧，视具体情况而定，核心是平移一个河宽）。连接A'B交l2于N。过N作MN⊥l2交l1于M。则路径A→M→N→B最短。（请同学们自行画图验证，并思考为何平移方向如此选择）例题2（变式型：双河双桥）如图，有两条平行的河流（即三条平行线l1、l2、l3，l1与l2之间距离为d1，l2与l3之间距离为d2）。村庄A在l1外侧，村庄B在l3外侧。现要在两条河流上各造一座垂直于河岸的桥MN和PQ（M在l1，N在l2；P在l2，Q在l3），使得从A到B的路径A→M→N→P→Q→B最短。如何确定两座桥的位置？思路分析：此问题是基本模型的拓展，涉及两条河，需要造两座桥。核心思想依然是“平移法”，但需要进行两次平移，以剔除两座桥的固定长度d1和d2。解答概要：1.将点A沿垂直于河岸方向（设为向上）平移d1（第一条河宽）至A1。2.再将点A1沿同样方向平移d2（第二条河宽）至A2。此时，AA2=d1+d2，且AA2垂直于河岸。3.连接A2B，交l3于点Q。4.过Q作QP⊥l3交l2于点P。5.连接A1P，交l2于点N（此处A1P实际是A2B平移d2后的线段，与l2交于N）。6.过N作NM⊥l2交l1于点M。7.则路径A→M→N→P→Q→B即为最短路径。（请同学们仔细画图，并仿照单桥问题，分析此时路径长度为何最短）五、规律总结与技巧点拨1.“平移”是灵魂：解决“造桥选址”问题的关键在于“平移”。通过平移点（通常是将一个点沿着桥的方向平移一个桥长），将含固定桥长的折线路径转化为不含桥长的直线距离问题。2.平移方向与距离：平移方向必须与桥的方向一致（即垂直于河岸），平移距离必须等于桥的长度（即河宽）。平移哪个点？一般平移位于“出发侧”的点，或根据图形对称性选择。3.“两点之间线段最短”是依据：平移后，连接新点与另一个原始点，所得线段与对岸（或中间河岸）的交点，就是桥的端点。4.多桥问题，多次平移：遇到多条平行河流（即需要造多座桥）时，只需将出发点（或目标点）沿着桥的方向，依次平移各条河的宽度，累计平移总距离，再连接最终平移点与目标点（或出发点）即可。5.画图是关键：此类问题具有较强的几何直观性，务必认真画出示意图，标注已知条件和所求点，辅助分析。六、专题突破练习建议1.夯实基础：先从单条河流、两个点在两岸的最基本模型练起，熟练掌握“平移—连接—找点—确定桥位”的四步法。2.变式训练：尝试练习点在河岸同侧、含岛屿（即河流非单一直线，但桥仍需垂直于指定方向）、多条非平行河流（需注意桥的方向可能不同，平移方向也要相应改变）等变式题目。3.错题反思：对于做错的题目，要仔细分析错误原因，是平移方向搞错了？还是平移距离不对？或是交点找错了河岸？4.模型提炼：在练习过程中，不断总结不同情境下“造桥选址”问题的共性与差异，深化对“平移法”本质的