2026-2027学年高二上学期人教A版数学2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式

2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式目

标

素

养1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,提升数学运算的核心素养.2.探索并掌握平面上两点间的距离公式,并能灵活运用,提升数学抽象的核心素养.3.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系,提升逻辑推理的核心素养.知

识

概

览课前·基础认知1.两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA(a,b)直线ll:Ax+By+C=0点A在直线l上

Aa+Bb+C=0

直线l1与l2的交点是A方程组微训练1直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是(

).A.(4,1) B.(1,4)答案:C(2)两条直线的位置关系

方程组一组解无数组解无解直线l1与l2的公共点一个

无数个

零个直线l1与l2的位置关系

相交

重合

平行

2.两点间的距离公式平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式微思考两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式是否可以写成微训练2已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则实数a的值为(

).A.1 B.-5C.1或-5 D.-1或5答案:C课堂·重难突破一

两条直线的交点问题典例剖析

1.(1)若三条直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0相交于一点,则实数k的值是(

).(2)若方程组

有且只有一组解,则实数k的取值范围是

.

答案:(1)B

(2){k|k≠2}此时方程组无解,又两条直线不重合,故当方程组有且只有一组解时,k≠2.规律总结1.三线共点求参数值时,一般是先求出其中两条直线的交点,再由该交点在第三条直线上,从而求得参数值.

2.两个直线方程组成的方程组的解的个数与两条直线的位置关系有关,方程组只有一个解时,两条直线相交.学以致用1.已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则实数a的取值范围是

.

二

求解直线方程问题典例剖析2.求过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.

学以致用2.(1)直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(

).A.2x+y=0 B.2x-y=0C.x+2y=0 D.x-2y=0(2)若将典例剖析2中“平行”改为“垂直”,又如何求解?(1)答案:B解析:设所求直线方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0.因为直线l过原点,所以λ=8.则所求直线l的方程为2x-y=0.(2)解:设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,由所求直线与直线3x+y-1=0垂直,得3(2+λ)+(λ-3)×1=0,得λ=-,故所求直线方程为5x-15y-18=0.三

两点间距离公式的应用典例剖析3.如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,∴△ABC是等腰直角三角形.∴kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB.∴|AC|=|AB|,∴△ABC是等腰直角三角形.即△ABC的面积为26.规律总结1.判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.

2.在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形的长度特征,主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.

3.利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点之间的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.学以致用3.已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.随堂训练1.已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交,则它们的交点是(

).答案:B2.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是(

).A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.以上都不是答案:C∵|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC为直角三角形.故选C.3.已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(2,3),则边BC上的中线长为

.

解析:由题意得,BC的中点坐标为(0,1),4.斜率为-2,且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为

.

答案:2x+y-4=0解析:设所求直线方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0,即(3+λ)x+(λ-1)y+4-4