第2章　第1讲　函数的概念及其表示

第一讲函数的概念及其表示知识梳理知识点一函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}知识点二同一个函数1．前提条件：(1)定义域相同；(2)对应关系相同.2．结论：这两个函数为同一个函数．知识点三函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．知识点四分段函数1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．2．分段函数表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.归纳拓展1．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))；当a<0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.[延伸](6)y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的值域为(－∞，－2eq\r(a)]∪[2eq\r(a)，＋∞)．(7)y＝x－eq\f(a,x)(a>0)的值域为(－∞，＋∞)．(8)y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(a≠0，ad－bc≠0)的值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(c,a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)，＋∞)).2．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．3．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)＝eq\r(x－3)＋eq\r(2－x)是一个函数．()(2)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数．()(3)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．()(4)函数y＝eq\f(x,\r(x－1))定义域为x>1.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×题组二走进教材2．(必修1习题3.1T2改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是()A．y＝(eq\r(x))2 B．u＝eq\r(3,v3)C．y＝eq\r(x2) D．m＝eq\f(n2,n)[答案]B[解析]函数y＝(eq\r(x))2与函数m＝eq\f(n2,n)和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝eq\r(x2)＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B．3．(多选题)(必修1P72T1改编)下列所给图象是函数图象的是()[答案]CD[解析]由函数概念知，题图A、B均不是函数图象，C、D是函数图象．4．(多选题)(必修1习题3.1T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，则以下描述正确的是()A．函数f(x)的定义域为[－4，4)B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应[答案]BD[解析]由图象得此函数定义域为[－4，0]∪[1，4)，值域为[0，＋∞)，在定义域内不具备单调性，当y∈(5，＋∞)时都有唯一的x与之对应．因此，A、C不正确．故选BD．题组三走向考场5．(2022·北京卷)函数f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\r(1－x)的定义域是________.[答案](－∞，0)∪(0，1][解析]因为f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\r(1－x)，所以x≠0且1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0，1]．6．(2025·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,ex＋lnx＋1，x≥0，))则f[f(－1)]＝()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]将x＝－1代入，得到f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0，所以f[f(－1)]＝f(0)，将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln1＝1.因此，f[f(－1)]＝f(0)＝1.故选B．求函数的定义域——多维探究角度1求具体函数的定义域(2026·重庆质检)函数f(x)＝eq\f(3x,\r(4－x))＋eq\r(2x－2)的定义域是()A．[1，4] B．[1，4)C．[1，＋∞) D．[2，4)[答案]B[解析]由题意知，函数f(x)＝eq\f(3x,\r(4－x))＋eq\r(2x－2)有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x>0，,2x－2≥0，))解得1≤x<4，故f(x)＝eq\f(3x,\r(4－x))＋eq\r(2x－2)的定义域为[1，4)．角度2求抽象函数的定义域1．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1，1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))C．(－1，0) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))[答案]B[解析]由函数f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1<x<－eq\f(1,2)，即所求函数的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).2．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－eq\r(3)，eq\r(3)]，则函数y＝f(x)的定义域为()A．[0，2] B．[－1，2]C．[－eq\r(3)，eq\r(3)] D．[－eq\r(3)，2][答案]B[解析]因为y＝f(x2－1)的定义域为[－eq\r(3)，eq\r(3)]，所以x∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．故选B．[答案]D[解析]∵函数f(2x－1)的定义域是[0，1)，∴－1≤2x－1<1，∴函数f(x)的定义域是[－1，1)，则－1≤1－3x<1，0<x≤eq\f(2,3)，即函数f(1－3x)的定义域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).故选D．名师点拨：函数定义域的求解策略1．已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．3．抽象函数(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【变式训练】1．(2026·烟台调考)函数y＝eq\f(\r(4－x2),lnx＋1)的定义域为()A．[－2，2] B．(－1，2]C．(－1，0)∪(0，2] D．(－1，1)∪(1，2][答案]C[解析]由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,x＋1>0，,lnx＋1≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤2，,x>－1，,x≠0，))因此，函数y＝eq\f(\r(4－x2),lnx＋1)的定义域为(－1，0)∪(0，2]．故选C．2．已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域为________.[答案][0，2][解析]由f(x)的定义域为[－1，1]，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤\f(x,2)≤1，,－1≤x－1≤1，))解得0≤x≤2，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域为[0，2]．3．(2025·四川南充阆中开学考)已知函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]，则y＝eq\f(f2x＋1,\r(x－1))的定义域为()A．[－5，5] B．(1，5]C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－5，\f(3,2)))[答案]C[解析]由函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]得f(x)的定义域为[－1，4]，在函数y＝eq\f(f2x＋1,\r(x－1))中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤2x＋1≤4，,x－1>0，))解得1<x≤eq\f(3,2)，故选C．求函数的解析式——师生共研已知f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式．(1)f(1－sinx)＝cos2x；(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq\f(1,x4)；(3)已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8；(4)f(x)满足2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x－1.[解析](1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]．即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．(2)(配凑法)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq\f(1,x4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2－2，又x2＋eq\f(1,x2)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＝2，当且仅当x2＝eq\f(1,x2)，即x＝±1时等号成立．设t＝x2＋eq\f(1,x2)，则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，∴f(x)＝x2－2(x≥2)．(3)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f[f(x)]＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8，))所以f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(4)(构造法)已知2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x－1，①以eq\f(1,x)代替①中的x(x≠0)，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x)－1，②①×2－②，得3f(x)＝6x－eq\f(3,x)－1，故f(x)＝2x－eq\f(1,x)－eq\f(1,3)(x≠0)．名师点拨：求函数解析式的四种方法已知关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)，如本例(4)．【变式训练】1．若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则f(x)＝________.[答案]eq\f(1,x－1)(x≠0且x≠1)[解析]f(x)＝eq\f(\f(1,x),1－\f(1,x))＝eq\f(1,x－1)(x≠0且x≠1)．2．已知一次函数f(x)满足f[f(x)－2x]＝3，则f(x)＝________.[答案]2x＋1[解析]设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)－2x]＝f(kx＋b－2x)＝k(kx＋b－2x)＋b＝(k2－2k)x＋kb＋b＝3，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－2k＝0，,kb＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝1，))所以f(x)＝2x＋1.3．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝[答案]－x＋eq\f(1,4)[解析]由已知得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋3f－x＝2x＋1，,f－x＋3fx＝－2x＋1，))得f(x)＝－x＋eq\f(1,4).分段函数及应用——多维探究角度1分段函数求值问题若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x－2，x>0,gx，x<0))为奇函数，则f[g(－3)]＝()A．－3 B．－2C．－1 D．0[答案]B[解析]因为f(x)为奇函数，g(－3)＝－g(3)＝－(log33－2)＝1，∴f[g(－3)]＝－2.故选B．角度2分段函数与方程(2025·江西上饶一模)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,3x－1，x≥1，))若f(m)＝f(m＋1)，则m＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,16)[答案]C[解析]由题意可知m>0，当0<m<1时，m＋1>1，所以由f(m)＝f(m＋1)得eq\r(m)＝3m⇒m＝eq\f(1,9)；当m≥1时，m＋1>1，所以由f(m)＝f(m＋1)得3(m－1)＝3m，无解．综上，m＝eq\f(1,9).故选C．角度3分段函数与不等式(2026·河北部分地区开学考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))则不等式f(x)≥0的解集为()A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)[答案]B[解析]因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))所以不等式f(x)≥0等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋2x≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,lnx＋1≥0，))解得x≤－2或x＝0或x>0.所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)．故选B．名师点拨：分段函数问题的求解策略1．分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．2．分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．【变式训练】1．(角度1)(2025·湖北武汉武昌区质量检测)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0≤x≤1，,2fx－1，x>1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))＝()A．2 B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(3,2) D．1[答案]D[解析]分段函数求值问题．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0≤x≤1，,2fx－1，x>1，))所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝2×eq\r(\f(1,4))＝1.故选D．2．(角度2)(2026·长春模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]A[解析]∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3．(角度3)(2026·内蒙古包头调研)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤1，,log3x＋3a，x>1，))若f[f(1)]>4，则实数a的取值范围为________.[答案](1，＋∞)[解析]因为函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤1，,log3x＋3a，x>1，))所以f(1)＝21＋1＝3，所以f[f(1)]＝f(3)＝log33＋3a＝1＋3a，因为f[f(1)]>4，所以1＋3a>4，即3a>3，解得a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)函数值域的求法求函数值域的一般方法：(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．求下列函数的值域．(1)y＝eq\f(1－|x|,1＋|x|)；(2)y＝eq\r(－2x2＋x＋3)；(3)y＝eq\f(x2＋x＋1,x)；(4)y＝x－eq\r(1－2x)；(5)y＝x＋eq\r(1－x2)；(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.[解析](1)解法一：分离常数法y＝eq\f(1－|x|,1＋|x|)＝－1＋eq\f(2,1＋|x|)，∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<eq\f(2,|x|＋1)≤2.∴－1<－1＋eq\f(2,1＋|x|)≤1.即函数值域为(－1，1]．解法二：反解法由y＝eq\f(1－|x|,1＋|x|)，得|x|＝eq\f(1－y,1＋y).∵|x|≥0，∴eq\f(1－y,1＋y)≥0，∴－1<y≤1，即函数值域为(－1，1]．(2)解法一：配方法y＝eq\r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2＋\f(25,8))，∴0≤y≤eq\f(5\r(2),4)，∴值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5\r(2),4))).解法二：复合函数法y＝eq\r(t)，t＝－2x2＋x＋3，由t＝－2x2＋x＋3，解得t≤eq\f(25,8)，又∵y＝eq\r(t)有意义，∴0≤t≤eq\f(25,8)，∴0≤y≤eq\f(5\r(2),4)，∴值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5\r(2),4))).(3)y＝eq\f(x2＋x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)＋1.解法一：基本不等式法由y＝x＋eq\f(1,x)＋1(x≠0)，得y－1＝x＋eq\f(1,x).∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝|x|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))≥2eq\r(\a\vs4\al(|x|·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))＝2，∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．解法二：判别式法由y＝eq\f(x2＋x＋1,x)，得x2＋(1－y)x＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2.得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．解法三：导数法(单调性法)令y′＝1－eq\f(1,x2)＝eq\f(x＋1x－1,x2)<0，得－1<x<0或0<x<1.∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1.∴y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(4)解法一：换元法设eq\r(1－2x)＝t(t≥0)，得x＝eq\f(1－t2,2)，∴y＝eq\f(1－t2,2)－t＝－eq\f(1,2)(t＋1)2＋1≤eq\f(1,2)(t≥0)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).即函数的值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).解法二：单调性法∵1－2x≥0，∴x≤eq\f(1,2)，∴定义域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).又∵函数y＝x，y＝－eq\r(1－2x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上均单调递增，∴y≤eq\f(1,2)－eq\r(1－2×\f(1,2))＝eq\f(1,2)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).(5)三角换元法设x＝sinθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，y＝sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，∴y∈[－1，eq\r(2)]．(6)解法一：绝对值不等式法由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以函数值域为[3，＋∞)．解法二：数形结合法y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋1x<－1，,3－1≤x≤2，,2x－1x>2.))画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．名师点拨：求函数值域的一般方法1．分离常数法：形如y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(a≠0)的函数；如例(1)．2．反解法：形如y＝eq\f(cfx＋d,afx＋b)(a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例(1)．3．配方法：形如y＝af2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例(2)．4．不等式法：如例(3)．5．单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域；如例(4)．6．换元法：形如y＝ax＋b±eq\r(cx＋d)(a≠0，c≠0)的函数；如例(4)；形如y＝ax＋b±eq\r(c2－x2)(a≠0，c≠0)的函数采用三角换元法，如例(5)．7．数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例(6)．8．导数法：如例(3)．【变式训练】求下列函数的值域：(1)y＝x－eq\r(2x)；(2)y＝eq\f(1,－x2＋x＋2)；(3)y＝ln(－x2＋2x)；(4)y＝eq\f(x2－x＋2,x－1)(x>1)．[解析](1)令eq\r(2x)＝t(t≥0)，则y＝eq\f(1,2)t2－t(t≥0)，所以y＝eq\f(1,2)(t－1)2－eq\f(1,2)在[0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1，即x＝eq\f(1,2)时，函数f(x)取得最小值，为－eq\f(1,2).故该函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).(2)根据题意得－x2＋x＋2≠0，解得x≠－1且x≠2.因为－x2＋x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(9,4)≤eq\f(9,4)，且－x2＋x＋2≠0.所以函数f(x)的值域为(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，＋∞)).(3)由－x2＋2x>0，解得0<x<2，所以f(x)的定义域是(0，2)．设t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则0<t≤1，所以y＝lnt，t∈(0，1]，由对数函数的图象和性质可知y∈(－∞，0]，即函数f(x)的值域为(－∞，0]．(4)令t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1，∴y＝eq\f(t＋12－t＋1＋2,t)＝eq\f(t2＋t＋2,t)＝t＋eq\f(2,t)＋1≥2eq\r(2)＋1，当且仅当t＝eq\f(2,t)即t＝eq\r(2)时取等号，∴函数的值域为[2eq\r(2)＋1，＋∞)．

提能训练练案[6]A组基础巩固一、单选题1．(2025·广东一模)函数f(x)＝eq\f(\r(x－4),x－5)的定义域为()A．[4，＋∞) B．[4，5)∪(5，＋∞)C．(4，5)∪(5，＋∞) D．(－∞，－5)∪(4，5][答案]B[解析]要使函数f(x)＝eq\f(\r(x－4),x－5)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4≥0，,x－5≠0，))解得x≥4且x≠5，故函数f(x)的定义域为[4，5)∪(5，＋∞)．故选B．2．(2026·山西吕梁调研)下面四组函数中，表示相同函数的一组是()A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝(x－1)2，g(x)＝(x－2)2C．f(x)＝eq\r(x2)，g(t)＝|t|D．f(x)＝eq\r(3,x)，g(x)＝eq\f(x2,x)[答案]C[解析]判断相同函数．对于A，因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，g(x)的定义域为R，两函数定义域不相同，所以不是相同函数，故A错误；对于B，因为f(x)和g(x)的对应关系不一致，所以不是相同函数，故B错误；对于C，因为f(x)和g(t)的定义域都为R，且f(x)＝eq\r(x2)＝|x|，g(t)＝|t|，对应关系一致，所以是相同函数，故C正确；对于D，因为f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，两函数定义域不相同，所以不是相同函数，故D错误．故选C．3．(2025·湖北黄冈二模)已知函数f(x)＝x2的定义域A⊆R，值域B＝{9}，则满足条件的f(x)有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]C[解析]令f(x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的f(x)有f(x)＝x2，x∈{3}；f(x)＝x2，x∈{－3}；f(x)＝x2，x∈{－3，3}，故满足条件的f(x)有3个．故选C．4．(2026·新疆吐鲁番)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤0，,－x2，x>0，))则f[f(3)]＝()A．1 B．6C．8 D．9[答案]D[解析]因为已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤0，,－x2，x>0，))所以f(3)＝－32＝－9，则f[f(3)]＝f(－9)＝|－9|＝9，故选D．5．(2026·山东潍坊阶段练习)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()[答案]C[解析]函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函数的定义域和值域；C图象满足题目要求；D图象不是函数的图象．故选C．6．(2026·四川成都阶段练习)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝eq\f(fx,\r(x＋2))的定义域是()A．(－2，5] B．(－2，3]C．[－1，3] D．[0，2][答案]A[解析]因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，所以x∈[－1，3]，2x－1∈[－3，5]，所以y＝f(x)的定义域为[－3，5]，又因为x＋2>0，即x>－2，所以－2<x≤5，所以函数y＝eq\f(fx,\r(x＋2))的定义域为(－2，5]．故选A．7．(2026·江西模拟)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(fx,2)，fx为偶数，,3fx＋1，fx为奇数.))若f(1)＝3，则f(2024)＝()A．1 B．4C．5 D．2024[答案]A[解析]因为f(1)＝3，所以f(2)＝10，f(3)＝5，f(4)＝16，f(5)＝8，f(6)＝4，f(7)＝2，f(8)＝1，f(9)＝4，f(10)＝2，f(11)＝1，f(12)＝4，f(13)＝2，f(14)＝1，f(15)＝4，f(16)＝2，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，2024－5＝2019，为3的倍数，则f(2024)＝1.故选A．8．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0，))实数a满足f(a)<f(－a)，则a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(0，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2，0)∪(0，2)D．(－2，0)∪(2，＋∞)[答案]D[解析]由题意可知，a≠0.当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a，即a2＋2a<0，解得－2<a<0，当a>0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得－a2＋2a<a2－2a，即a2－2a>0，解得a>2，所以a的取值范围是(二、多选题9．下列说法正确的是()A．函数f(x)＝eq\r(\f(x－3,x＋2))的定义域为(－∞，－2)∪[3，＋∞)B．f(x)＝eq\f(x2,x)和g(x)＝x表示同一个函数C．函数f(x)＝eq\f(1,x2＋3)的值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D．函数f(x)满足f(x)－2f(－x)＝x－1，则f(x)＝eq\f(2,3)x＋1[答案]AC[解析]根据函数的相关定义和运算规则逐项分析．由eq\f(x－3,x＋2)≥0且x＋2≠0解得x≥3或x<－2，所以函数f(x)＝eq\r(\f(x－3,x＋2))的定义域为(－∞，－2)∪[3，＋∞)，故A正确；f(x)＝eq\f(x2,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)＝x的定义为(－∞，＋∞)，定义域不相同，所以f(x)＝eq\f(x2,x)和g(x)＝x不是同一个函数，故B错误；∵x2≥0，∵x2＋3≥3，∴0<eq\f(1,x2＋3)≤eq\f(1,3)，故C正确；因为函数f(x)满足f(x)－2f(－x)＝x－1，所以f(－x)－2f(x)＝－x－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－2f－x＝x－1，,f－x－2fx＝－x－1，))解得f(x)＝eq\f(1,3)x＋1，故D错误．故选AC．10．记无理数π＝3.1415926…0288…小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作b＝f(a)，定义域为A，值域为B，下列说法正确的是()A．值域B是定义域A的子集B．函数图象f(a)是一群孤立的点C．f(6)＝2D．a也是b的函数，记作a＝f(b)[答案]BC[解析]对于A，根据题意可知定义域为A＝{a∈N*|a≥1}，B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，因为0∈B，0∉A，所以值域B不是定义域A的子集，所以A错误；对于B、C，由题意可知数位a对应的数字依次为1，4，1，5，9，2，6，…，则函数图象f(a)是一群孤立的点，f(6)＝2，所以B、C正确；对于D，因为b＝1时，a＝1和3，不符合函数的定义，所以D错误．故选BC．11．(2026·新疆喀什模拟)已知函数f(x)＝eq\f(2,x2＋1)，则()A．f(x)＋f(－x)＝0B．f(x)≤2C．f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2D．f(3)＋f(2)＋f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝5[答案]BCD[解析]f(x)＋f(－x)＝eq\f(2,x2＋1)＋eq\f(2,－x2＋1)＝eq\f(4,x2＋1)≠0，故A错误；由f(x)＝eq\f(2,x2＋1)≤eq\f(2,1)＝2，故B正确；f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(2,x2＋1)＋eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2＋1)＝eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝2，故C正确；由选项C知f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2，且f(1)＝1，∴f(3)＋f(2)＋f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝2＋2＋1＝5，故D正确．故选BCD．三、填空题12．函数y＝eq\r(16－4x)的定义域为________；值域为________.[答案](－∞，2][0，4)[解析]16－4x≥0，4x≤16，∴x≤2，定义域是(－∞，2]．∵0≤16－4x<16，∴0≤eq\r(16－4x)<4.13．若f(eq\r(x)＋1)＝x－1，则f(x)＝________.[答案]x2－2x(x≥1)[解析]令eq\r(x)＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)⇒f(x)＝x2－2x(x≥1)．14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2，x≥1，))则feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝________；若f(a)>a，则a的取值范围是________.[答案]4(－1，1)∪(1，＋∞)[解析]因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)＋1＝2，所以feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(2)＝22＝4.当a≥1时，f(a)>a⇔a2>a，解得a>1；当a<1时，f(a)>a⇔2a＋1>a，解得－1<a<1，所以不等式的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)．15．(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝________.[答案]eq\r(2)[解析]作出函数f(x)的图象，如图所示．因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋2>0，))即－2<a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝eq\r(a＋2)，所以a＝eq\r(a＋2)，a>0，解得a＝2，则f(a)＝eq\r(2).B组能力提升1．(2026·福建厦门期中)已知函数y＝f(x＋1)的定义域为[－1，4]，则y＝eq\f(f2x＋1,\r(x－1)\r())的定义域为()A．(1，2] B．[－1，9]C．(1，9] D．[－1，2][答案]A[解析]对于函数y＝f(x＋1)，有－1≤x≤4，则0≤x＋1≤5，所以，函数f(x)的定义域为[0，5]，对于函数y＝eq\f(f2x＋1,\r(x－1))，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2x＋1≤5，,x－1>0，))解得1<x≤2，因此，函数y＝eq\f(f2x＋1,\r(x－1))的定义域为(1，2]．故选A．2．(2025·江西萍乡三模)已知定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x，y均有f(xy)＝yf(x)，且2f(2)＝f(1)＋6，则f(2025)＝(A．675 B．1350C．2025 D．4050[答案]D[解析]用x替换y，y替换x可得f(xy)＝yf(x)＝xf(y)，当x≠0，y≠0时，可知eq\f(fx,x)是常函数，于是知当x≠0时，f(x)＝cx，其中c为常数，故4c＝c＋6，解得c＝2，于是f(2025)＝2×2025＝4050.故选D．3．(多选题)下列函数中值域为R的有()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2)C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，0≤x≤2，,2x，x>2)) D．f(x)＝x3－1[答案]ABD[解析]A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件；B项，由x2－2>0得x>eq\r(2)或x<－eq\r(2)，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；C项，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，0≤x≤2，,2x，x>2，))当x>2时，f(x)＝2x>4，当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0，4]，所以f(x)≥0，即函数的值域