第2章　第7讲　函数的图象

第七讲函数的图象知识梳理知识点函数的图象1．利用描点法作函数图象的流程2．平移变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up9(a>0，右移a个单位),\s\do7(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up9(b>0，上移b个单位),\s\do7(b<0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b.3．伸缩变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(0<ω<1，图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的eq\f(1,ω)倍),\s\do15(ω>1，图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,ω)倍))y＝f(ωx)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up9(A>1，图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍),\s\do7(0<A<1，图象上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍))y＝Af(x)．4．对称变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x).5．翻折变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象),\s\do5(将y轴右边的图象翻折到左边))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(留下x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.归纳拓展1．函数对称的重要结论(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图象关于直线x＝m对称．(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，对任意x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．(4)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq\f(b－a,2)对称．(5)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a(6)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(2x＋1)由y＝f(2x)左移1个单位得到．()(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()(3)函数y＝|f(x)|是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋2)是偶函数，则有f(x＋2)＝f(－x－2)．()(5)若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)√题组二走进教材2．(必修1习题4.4第6题变式)如图是一鱼缸的轴截面，已知该鱼缸装满水时储水量为V，缸高为H，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()[答案]B[解析]由题意知v＝f(h)是增函数，其增长率是先慢慢变大，再慢慢变小．故选B．3．(必修1P115T1改编)已知图甲中的图象对应的函数y＝f(x)，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)[答案]C[解析]由图可知当x≤0时，y＝f(x)，故选C．题组三走向考场4．(2025·北京卷)为了得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上所有点的()A．横坐标变为原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)B．横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)C．纵坐标变为原来的eq\f(1,3)倍(横坐标不变)D．纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)[答案]A[解析]因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象，故选A．5．(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝eq\f(x,1－|x|) B．f(x)＝eq\f(x,|x|－1)C．f(x)＝eq\f(|x|,1－x2) D．f(x)＝eq\f(|x|,x2－1)[答案]D[解析]解法一：由图象可知函数y＝f(x)是偶函数，而函数y＝eq\f(x,1－|x|)，y＝eq\f(x,|x|－1)是奇函数，故A、B错误；当x>1时，由题图知f(x)>0，且此时x2>1，即x2－1>0，1－x2<0，所以当x>1时，y＝eq\f(|x|,1－x2)<0，y＝eq\f(|x|,x2－1)>0，故C错误，D正确．故选D．解法二：当x＝2时，由题图知f(x)>0，对于A，f(2)＝eq\f(2,1－|x|)<0，故A错误；对于B，f(2)＝eq\f(2,2－1)>0；对于C，f(2)＝eq\f(2,1－4)<0，故C错误；对于D，f(2)＝eq\f(2,4－1)>0.当x＝－2时，由题图知，f(x)>0，对于B，f(－2)＝eq\f(－2,2－1)<0，故B错误；对于D，f(－2)＝eq\f(2,4－1)>0，故D正确，故选D．6．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8，2.8]的图象大致为()[答案]B[解析]f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx＝f(x)，又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A、C，又f(1)＝－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e－\f(1,e)))sin1>－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e－\f(1,e)))sineq\f(π,6)＝eq\f(e,2)－1－eq\f(1,2e)>eq\f(1,4)－eq\f(1,2e)>0，故可排除D．故选B．函数的图象考向1利用图象变换作图——自主练透作出下列各函数的图象：(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(2)y＝|x2－4x－5|；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|－1.[解析](1)y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，先作出y＝eq\f(1,x)的图象，向右移动一个单位后再向上移动两个单位，即可得到y＝eq\f(2x－1,x－1)的图象．如图所示．(2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示．(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|－1，其图象可看作由函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≥0，,2x，x<0，))其图象可由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|－1的图象如图所示．名师点拨：函数图象的画法1．直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．2．转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．3．图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出．易错提醒：1.画函数的图象一定要注意定义域．2．利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．考向2识图与辨图——师生共研角度1知式选图(2026·湖南长沙雅礼中学测试)函数f(x)＝cosx·ln(2x＋2－x)在区间[－3π，3π]上的图象可能是()[答案]D[解析]因为f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝cos(－x)·ln(2－x＋2x)＝cosx·ln(2－x＋2x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A，C；因为f(0)＝ln2>0，故排除B．故选D．角度2知图选式(2025·湖南长沙联考)已知函数f(x)的大致图象如图所示，则其解析式可能为()A．f(x)＝eq\f(2,ex＋e－x) B．f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)C．f(x)＝eq\f(2,ex－e－x) D．f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)[答案]A[解析]由图象关于y轴对称可知，函数f(x)为偶函数．因为f(x)＝eq\f(2,ex－e－x)与f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)为奇函数，所以排除C、D；又f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)≥eq\r(ex·e－x)＝1，当且仅当x＝0时，等号成立，所以f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)在x＝0时取得最小值1，由题图可知f(x)在x＝0时取得最大值，故排除B．故选A．角度3知图选图(2026·四川成都石室中学月考)若函数y＝f(x)的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是()A．y＝f(1－2x) B．y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x))C．y＝－f(1－2x) D．y＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x))[答案]A[解析]由y＝f(x)的定义域为(－1，＋∞)知，y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x))中1－eq\f(1,2)x>－1，x<4，不符合图2，故排除B，D；对于C，当x＝eq\f(1,2)时，y＝－f(0)>0，不满足图2，故C错误；将函数y＝f(x)的图象关于y轴对称变换，得到y＝f(－x)的图象，向右平移1个单位得到y＝f(1－x)的图象，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数y＝f(1－2x)的图象可能为图2.故选A．名师点拨：函数图象的识辨可从以下几方面入手1．从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．2．从函数的单调性，判断图象的变化趋势．3．从函数的奇偶性，判断图象的对称性．4．从函数的周期性，判断图象的循环往复．5．从函数的特征点，排除不合要求的图象．【变式训练】1．(角度1)(2026·河南林州一中月考)函数f(x)＝eq\f(ex2x－1,x－1)的大致图象是()[答案]D[解析]解法一：f(x)＝eq\f(ex2x－1,x－1)，定义域为{x|x≠1}，∴f′(x)＝eq\f([ex2x－1＋2ex]x－1－ex2x－1,x－12)＝eq\f(ex2x2－3x,x－12)，令f′(x)>0，得x∈(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))，令f′(x)<0，得x∈(0，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以f(x)在(－∞，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增，在(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上单调递减，排除A、C；当x<0时，2x－1<0，x－1<0，ex>0，所以f(x)>0，排除B，只有D中图象符合题意．故选D．解法二：特值法：当x＝0时，f(0)＝1；当x＝－1时，f(－1)＝eq\f(3,2e)<1＝f(0)，故排除A、C；排除B选项的方法同上．故选D．2．(角度2)(2026·四川宜宾月考)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝－eq\f(2x2,|x|－1) B．f(x)＝－eq\f(2x2,|x|＋1)C．f(x)＝－eq\f(2x,|x|－1) D．f(x)＝－eq\f(2|x|,x2－1)[答案]A[解析]由题图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由题图可知，函数的定义域不是实数集，排除B；由题图可知，当x→＋∞时，y→－∞，而对于D选项，当x→＋∞时，y→0，排除D．故选A．3．(角度3)(2025·荆州质检)若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则函数y＝f(2－x)的曲线是()[答案]C[解析]解法一：先关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图象，再向右平移两个单位，即可得到y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)的图象．所以答案为C．(注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式子变化)．解法二：由f(0)＝0知y＝f(2－x)的图象过点(2，0)，排除B、D．又f(1)＝f(2－1)>0即y＝f(2－x)在x＝1处的函数值大于0，排除A，故选C．考向3函数图象的应用——多维探究角度1利用图象探究函数性质(多选题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x，则下列结论正确的是()A．2是函数f(x)的周期B．函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增C．函数f(x)的最大值是1，最小值是0D．当x∈(3，4)时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3[答案]ABD[解析]由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋x，画出函数y＝f(x)的部分图象如图所示．由图象知B正确，C不正确；当3<x<4时，－1<x－4<0，f(x)＝f(x－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3，D正确．名师点拨：根据图象判断函数性质的基本方法首先根据函数解析式画出函数图象，然后借助图象分析函数的性质：(1)从图象的最高点、最低点分析函数的极值、最值；(2)从图象的对称性分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性．角度2利用图象解不等式已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(A．(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)D．(－2，－eq\r(2))∪(0，eq\r(2))∪(2，＋∞)[答案]C[解析]根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2>0，,fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2<0，,fx<0，))解得x<－2或eq\r(2)<x<2或－eq\r(2)<x<0，故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)．名师点拨：利用函数图象解不等式的基本思路当不等式问题不能用代数法求解但与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．角度3利用图象求参数(2026·北京模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤1，,lnx－1，x>1.))若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是________.[答案][－4，0][解析]因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤1，,lnx－1，x>1，))令g(x)＝|f(x)|，作出y＝g(x)的图象，如图所示，令h(x)＝ax，由图知，要使对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立，则必有a≤0，当x≤0时，y＝x2－4x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－4x，,y＝ax，))消y得到x2－(4＋a)x＝0，由Δ＝0，得到(4＋a)2＝0，即a＝－4，由图可知－4≤a≤0.名师点拨：利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数的取值范围．【变式训练】1．(角度2)已知函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为()A．(1，3) B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)[答案]C[解析]作出函数f(x)的图象如图所示，当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈[0，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)，所以x∈(－1，0)∪(1，3)．2．(角度1)(多选题)定义一种运算：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b，))设f(x)＝(5＋2x－x2)⊗|x－1|，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称B．函数f(x)的图象与直线y＝5有三个公共点C．函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1，3]D．函数f(x)的最小值是2[答案]ACD[解析]由题意，f(x)＝(5＋2x－x2)⊗|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋2x－x2，－1≤x≤3，,|x－1|，x<－1或x>3，))作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；函数f(x)的图象与直线y＝5有四个公共点，故B错误；函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1，3]，故C正确；函数f(x)的最小值是2，故D正确．3．(角度3)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥a，,－x2＋2x，x<a.))若存在x∈R且x≠0，使得f(1＋x)＝f(1－x)成立，则实数a的取值范围为________.[答案](1，＋∞)[解析]因为存在x∈R且x≠0，使得f(1＋x)＝f(1－x)成立，所以f(x)的图象上存在两个关于直线x＝1对称的点(两点均不在直线x＝1上)．作出y＝x，y＝－x2＋2x的图象，如图所示，由图可知a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)．利用数形结合思想解题[答案]B[解析]解法一：由f(－x)＝2－f(x)可知f(x)的图象关于点(0，1)对称，又易知y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)的图象关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0，1)对称，∴eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝0×eq\f(m,2)＋2×eq\f(m,2)＝m.故选B．解法二：特例：令f(x)＝x＋1，则m＝2，又y1＋y2＝2，∴选B．名师点拨：求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：eq\x(一画图)—eq\x(通过作图法或函数图象变换法画出有关函数的图象)↓eq\x(二分析)—eq\x(准确分析函数图象的特征，定性分析、定量分析)↓eq\x(三转化)—eq\x(借助函数图象，把原问题转化为数量关系比较明确的问题)↓eq\x(四结论)—eq\x(解决问题，并回归题目的要求，得出正确结论)【变式训练】函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．3 B．6C．4 D．2[答案]B[解析]由图象变换的法则可知，y＝lnx的图象关于y轴对称后的图象和原来的一起构成y＝ln|x|的图象，向右平移1个单位长度得到y＝ln|x－1|的图象；y＝－2cosπx的周期T＝2.如图所示，两函数的图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6.提能训练练案[12]A组基础巩固一、单选题1．(2026·万州模拟)将函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为()A．y＝2(x－2)2＋6 B．y＝2x2＋6C．y＝2x2 D．y＝2(x－2)2[答案]C[解析]函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度得到y＝2x2＋3的图象，再向下平移3个单位长度得到y＝2x2的图象．2．(2026·宁德模拟)已知函数y＝f(2x－1)的图象关于点(1，－1)对称，则下列函数是奇函数的是()A．y＝f(2x)＋1 B．y＝f(2x＋1)＋1C．y＝f(2x)－1 D．y＝f(2x＋1)－1[答案]B[解析]因为函数y＝f(2x－1)的图象关于点(1，－1)对称，所以将函数图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到函数y＝f(2(x＋1)－1)＋1＝f(2x＋1)＋1的图象关于原点对称，即y＝f(2x＋1)＋1为奇函数．3．(2026·河北模拟)函数y＝cosx＋lnx的部分图象大致为()[答案]C[解析]因为2<eq\f(2π,3)，由余弦函数性质可知cos2>coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，又2>eq\r(e)，且函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，得ln2>lneq\r(e)＝eq\f(1,2).所以当x＝2时，cos2＋ln2>－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0，B、D错误；又x＝3时，ln3>1，得cos3＋ln3>0，A错误．故选C．4．(2025·天津武清模拟)已知函数f(x)＝3|x|，g(x)＝sinx，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是()A．y＝f(x)＋g(x) B．y＝f(x)－g(x)C．y＝f(x)g(x) D．y＝eq\f(gx,fx)[答案]C[解析]令h(x)＝f(x)＋g(x)＝3|x|＋sinx，由h(－x)＝3|x|－sinx，则h(－x)≠h(x)，h(－x)≠－h(x)，所以y＝f(x)＋g(x)是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误；令φ(x)＝f(x)－g(x)＝3|x|－sinx，由φ(－x)＝3|x|＋sinx，则φ(－x)≠φ(x)，φ(－x)≠－φ(x)，所以y＝f(x)－g(x)是非奇非偶函数，与图象不符，故B错误；y＝eq\f(gx,fx)＝eq\f(sinx,3|x|)，当x＝2时，y＝eq\f(sin2,9)∈(0，1)，与图象不符，排除D，故C正确．故选C．5．(2026·天津二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是()A．f(x)＝eq\f(x,2|x|) B．f(x)＝2|x|－2C．f(x)＝2|x|－x2 D．f(x)＝e|x|－|x|[答案]C[解析]对于A：f(x)＝eq\f(x,2|x|)，当x<0时，f(x)<0，故排除A；对于B：当x≥0时，函数y＝2x－2为增函数，当x<0时，函数y＝2－x－2为减函数，故排除B；对于D，当x>0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故排除D；对于C，f(x)＝2|x|－x2为偶函数，由f(x)＝0可得x＝±2，±4，满足图象，故C正确．故选C．6．(2025·内蒙古呼和浩特二模)如图，梯形OABC是上底为eq\r(2)，下底为3eq\r(2)，高为eq\r(2)的等腰梯形，记梯形OABC位于直线x＝t(t>0)左侧的阴影部分的面积为f(t)，则y＝f(t)的大致图象是()[答案]A[解析]根据题意可知在梯形OABC中，∠AOC＝∠OCB＝45°；当0<t≤eq\r(2)时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为f(t)＝eq\f(1,2)t2；当eq\r(2)<t<2eq\r(2)时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，其面积为f(t)＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＋eq\r(2)(t－eq\r(2))＝eq\r(2)t－1；当t≥2eq\r(2)时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，即f(t)＝eq\f(1,2)(eq\r(2)＋3eq\r(2))×eq\r(2)－eq\f(1,2)(3eq\r(2)－t)2＝－eq\f(1,2)t2＋3eq\r(2)t－5；所以可得f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t2，0<t≤\r(2)，,\r(2)t－1，\r(2)<t<2\r(2)，,－\f(1,2)t2＋3\r(2)t－5，2\r(2)≤t≤3\r(2).))根据函数类型对比图象可得A正确．故选A．7．(2026·安徽淮北二模)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则()A．a<0 B．b<0C．c<0 D．d<0[答案]B[解析]观察图象知，f(0)＝d>0，函数f(x)有3个零点，设3个零点为x1，x2，x3(x1<x2<x3)，于是f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)，当x>x3时，f(x)>0，而此时(x－x1)(x－x2)(x－x3)>0，因此a>0，又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，函数f(x)有两个极值点α1，α2，且α2>α1>0，即f′(x)＝0有两个不等实根，－eq\f(2b,3a)＝α1＋α2>0，eq\f(c,3a)＝α1α2>0，因此b<0，c>0，所以a>0，b<0，c>0，d>0.故选B．8．(2026·陕西西安期中)函数f(x)的大致图象如图所示，设f(x)的导函数为f′(x)，则f′(x)f(x)>0的解集为()A．(－∞，0)∪(1，3)B．(1，3)C．(0，1)∪(3，＋∞)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案]C[解析]由函数f(x)的图象可知，当x∈(－∞，0)和x∈(3，＋∞)时，f(x)<0；当x∈(0，3)时，f(x)>0；又由图可知当x∈(－∞，1)时，函数f(x)单调递增，则f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递减，则f′(x)<0，所以f′(x)f(x)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞)．故选C．二、多选题9．已知函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是()[答案]ABD[解析]由图可得a1＝2，即a＝2，y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x单调递减且图象过点(－1，2)，故A正确；y＝x－a＝x－2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B正确；y＝a|x|＝2|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,2－x，x<0))为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；y＝|logax|＝|log2x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确．故选ABD．10．关于函数f(x)＝eq\f(4x－1,2x)的图象，下列说法正确的是()A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称C．是增函数 D．是减函数[答案]AC[解析]由题意可知，函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝eq\f(4x－1,2x)＝2x－2－x，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又因为y＝2x是增函数，y＝2－x是减函数，∴f(x)为增函数．故选AC．11．(2025·潍坊模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是()A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)[答案]AC[解析]f3(x)＝log2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除选项B、D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位长度得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位长度可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，可知选项A是“同形”函数；将f1(x)＝log2(x＋1)的图象沿着x轴向右平移一个单位长度得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位长度可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，可知选项C是“同形”函数，故选AC．三、填空题12．(2026·石家庄模拟)若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点____________.[答案](3，1)[解析]由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1)．13．已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为______________.[答案](－2，－1)∪(1，2)[解析]∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，由于f(x)为奇函数，补齐函数f(x)的图象如图．当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f(x)<0，∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2)．14．不等式2－x≤log2(x＋1)的解集是____________.[答案]{x|x≥1}[解析]画出y＝2－x，y＝log2(x＋1)的图象如图所示，由图可知，解集为{x|x≥1}．B组能力提升1．(2026·江西三模)函数f(x)＝x＋(ex－e－x)cosx的部分图象大致为()[答案]A[解析]因为f(－x)＝－x＋(e－x－ex)cosx＝－f(x)，所以该函数为奇函数，可排除C、D；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，ex－e－x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除B．故选A．2．(2026·天津二模)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝eq\f(ex－e－x,cosx) B．f(x)＝eq\f(ex＋e－x,cosx)C．f(x)＝eq\f(ex－e－x,sinx) D．f(x)＝eq\f(ex＋e－x,sinx)[答案]A[解析]根据图象可以看出，函数的定义域不包括±eq\f(π,2)，这说明函数在这两个点上无意义，而选项C、D的定义域包括±eq\f(π,2)，所以排除C、D；由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中，因为f(－x)＝eq\f(e－x＋ex,cosx)＝f(x)，说明选项B中的函数为偶函数，不符