第8章　第3讲　圆的方程　直线与圆的位置关系

第三讲圆的方程直线与圆的位置关系知识梳理知识点一圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)知识点二点与圆的位置关系1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；(3)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内．2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)．(1)xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0⇔点在圆上；(2)xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0⇔点在圆外；(3)xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0⇔点在圆内．知识点三直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d_<__rΔ_>__0相切d_＝__rΔ_＝__0相离d_>__rΔ_<__0归纳拓展1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．2．圆心在任一弦的垂直平分线上．3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.注：几类特殊位置的圆的方程标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝04.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4F>0.))5．(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.(3)过圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0)的切线，则点P到切点的切线长为d＝eq\r(x0－a2＋y0－b2－r2)(d＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F))．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.()(3)若A(2,0)，B(0，－4)，则以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5.()(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()(5)已知方程x2＋y2－2mx＋4y＋5＝0表示圆，则m的取值范围是(1，＋∞)．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×(5)×题组二走进教材2．(选择性必修1P88T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为___________________________________．[答案](x－2)2＋y2＝10[解析]设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即eq\r(a＋12＋1)＝eq\r(a－12＋9)，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝eq\r(2＋12＋1)＝eq\r(10)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.3．(选择性必修1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9[答案]C[解析]因为圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝eq\f(|6＋4＋5|,5)＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故选C．题组三走向考场4．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________.[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝5[解析]解法一：∵点M在直线2x＋y－1＝0上，∴设点M为(a,1－2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴eq\r(a－32＋1－2a2)＝eq\r(a2＋－2a2)＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，∴M(1，－1)，R＝eq\r(5)，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.解法二：记A(3,0)，B(0,1)，则kAB＝－eq\f(1,3).从而可知AB中垂线的方程为3x－y－4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，,3x－y－4＝0))可求得M(1，－1)，又r2＝|MA|2＝5.∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.5．(2025·新课标Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是()A．(0,1) B．(1,3)C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)[答案]B[解析]由题意，在圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)中，圆心E(0，－2)，半径为r，到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离为1的点有且仅有2个，∵圆心E(0，－2)到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离为：d＝eq\f(|0×\r(3)－－2×1＋2|,\r(\r(3)2＋－12))＝2，故由图可知，当r＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有一个点(A点)到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离等于1；当r＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有三个点(B，C，D点)到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离等于1；当r的取值范围为(1,3)时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离等于1.故选B.圆的方程——自主练透1．(2026·云南玉溪一中月考)已知圆C与直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋5＝0都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为()A．x2＋(y＋3)2＝8 B．x2＋(y＋3)2＝2C．x2＋(y－3)2＝8 D．x2＋(y－3)2＝2[答案]D[解析]设所求圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则eq\f(|1－b|,\r(2))＝eq\f(|5－b|,\r(2))＝r，解得b＝3，r＝eq\r(2).所以圆的方程为x2＋(y－3)2＝2.故选D.2．(2022·高考全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________.[答案](x－2)2＋(y－3)2＝13或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝eq\f(65,9)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq\f(169,25)或(x－2)2＋(y－1)2＝5(写出其中一个即可)[解析]依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－4，,E＝－6，))所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；同理可求过(0,0)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；过(0,0)，(4,2)，(－1,1)的圆的方程为x2＋y2－eq\f(8,3)x－eq\f(14,3)y＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝eq\f(65,9)；过(－1,1)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为x2＋y2－eq\f(16,5)x－2y－eq\f(16,5)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq\f(169,25).3．(2026·湖北武汉部分学校调研)圆心在直线x＋y－1＝0上且与直线2x－y－1＝0相切于点(1,1)的圆的方程是________________.[答案](x＋1)2＋(y－2)2＝5[解析]依题意，过切点(1,1)的圆的半径所在直线方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x＋2y－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))因此所求圆的圆心为(－1,2)，半径r＝eq\r(－1－12＋2－12)＝eq\r(5)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.名师点拨：求圆的方程的两种方法1．直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．待定系数法根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般的，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．【变式训练】1．(2025·河南模拟预测)已知圆C的圆心在直线x＋3y－8＝0上，且圆C经过点(6,0)，(0，－2)，则圆C的方程是________.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝20[解析]点(6,0)和点(0，－2)的中点为(3，－1)，点(6,0)和点(0，－2)的斜率为eq\f(0－－2,6－0)＝eq\f(1,3)，则点(6,0)和点(0，－2)的垂直平分线的斜率为－3，可得点(6,0)和点(0，－2)的垂直平分线的方程为3x＋y－8＝0，设圆心为(x，y)，由题意联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝8，,3x＋y＝8，))解得x＝2，y＝2，半径r＝eq\r(6－22＋0－22)＝2eq\r(5)，圆方程(x－2)2＋(y－2)2＝20.2．(2026·河南安阳调研)过点(0,2)且与直线y＝x－2相切，圆心在x轴上的圆的方程为()A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x＋1)2＋y2＝5C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝8[答案]D[解析]设圆心坐标为(a,0)，则eq\r(a－02＋0－22)＝eq\f(|a－2|,\r(2))，解得a＝－2，又r2＝(－2－0)2＋(0－2)2＝8，故圆的方程为(x＋2)2＋y2＝8，故选D.直线与圆的位置关系——自主练透1．(2026·陕青宁晋金太阳联考)直线l：eq\r(5)x＋2y－4r－2＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)的位置关系为()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定[答案]C[解析]由C：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，可知：圆心(0,1)，半径为r，圆心(0,1)到直线l：eq\r(5)x＋2y－4r－2＝0的距离d＝eq\f(|－4r|,\r(9))＝eq\f(4r,3)>r，所以直线与圆的位置关系为相离，故选C．2．(2025·辽宁三校质检)若直线l：y＝kx＋3－k与曲线C：y＝eq\r(1－x2)恰有两个交点，则实数k的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2)))[答案]B[解析]由l：y－3＝k(x－1)知直线l过定点P(1,3)，曲线C：y＝eq\r(1－x2)两边平方得x2＋y2＝1(y≥0)，所以曲线C是以(0,0)为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆，当直线l过点A(－1,0)时，直线l与曲线C有两个不同的交点，此时0＝－k＋3－k⇒k＝eq\f(3,2)，当直线l与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(|3－k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，所以结合图形可知直线l与曲线C恰有两个交点，则eq\f(4,3)<k≤eq\f(3,2).故选B.3．(2025·湖北部分学校质检)若圆C：x2＋y2－2x－6y＋1＝0上恰有三点到直线l：y＝kx的距离为2，则k的值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,4)C．eq\f(4,3) D．2[答案]C[解析]由x2＋y2－2x－6y＋1＝0得(x－1)2＋(y－3)2＝9，所以圆心C(1,3)，半径r＝3，因为圆上恰有三点到直线y＝kx的距离为2，所以圆心C(1,3)到直线y＝kx的距离为1，即d＝eq\f(|k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，故选C．[引申1](1)本例2中若直线l与圆C只有一个公共点，则k的取值范围为____________；(2)本例3中，若圆C上到直线l距离为2的点只有两个，则k的取值范围为____________；若有四个，则k的取值范围为____________.[答案](1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(k>\f(3,2)或k＝\f(4,3)))))(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))[解析](1)由图显然．(2)若圆C上到直线l距离为2的点只有两个，则d＝eq\f(|k－3|,\r(k2＋1))>1，解得k<eq\f(4,3)；若有四个，则d＝eq\f(|k－3|,\r(k2＋1))<1，解得k>eq\f(4,3).[引申2]本例3中，若圆C上到直线m：x－2y＋c＝0的距离为2的点至少有三个，则c的取值范围为____________.[答案][5－eq\r(5)，5＋eq\r(5)][解析]由题意知圆心C(1,3)到直线m的距离d＝eq\f(|c－5|,\r(5))≤1，解得5－eq\r(5)≤c≤5＋eq\r(5).名师点拨：判断直线与圆的位置关系的常见方法1．几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系．2．代数法：利用直线方程与圆的方程联立得一元二次方程利用Δ判断．3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．4．判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小．【变式训练】1．(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切[答案]ABD[解析]∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq\f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＝r，∴直线与圆C相切，故A正确；∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq\f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＞r，∴直线与圆C相离，故B正确；∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq\f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＜r，∴直线与圆C相交，故C错误；∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝eq\f(|0×a＋0×b－r2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＝r，∴直线与圆C相切，故D正确．故选ABD.2．(2026·湖南永州一中模拟)直线l：y＝kx＋2与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－2，则k为()A．eq\r(3) B．±eq\r(3)C．eq\f(1,3) D．±1[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2,x2＋y2＝4))得，(k2＋1)x2＋4kx＝0，则x1＋x2＝－eq\f(4k,k2＋1)，x1x2＝0，y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝eq\f(4－4k2,k2＋1)，由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－2得，x1x2＋y1y2＝eq\f(4－4k2,k2＋1)＝－2⇒k＝±eq\r(3)，故选B.圆的切线——师生共研1．(2026·浙江强基联盟联考)过圆x2＋y2＝1上点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))的切线方程为____________.[答案]y＝x＋eq\r(2)[解析]由题知，kOP＝－1，则k切线＝1，所以切线方程为y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))))＋eq\f(\r(2),2)，即y＝x＋eq\r(2).2．(2026·四川达州外国语学校测试)已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，则过点P(1,3)与圆C相切的直线l的方程为____________.[答案]x＝1或3x＋4y－15＝0[解析]当过点P的直线斜率不存在时，其方程为x＝1，显然到圆心C(－1,2)的距离等于半径2，故是圆的一条切线；当过点P的直线斜率存在时，设其方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，由eq\f(|－k－2－k＋3|,\r(k2＋1))＝2得k＝－eq\f(3,4)，故切线的方程为3x＋4y－15＝0.[引申]本例2中过两切点的直线方程为____________.[答案]2x＋y－4＝0[解析]解法一：设两切点为A、B，由CA⊥PA，CB⊥PB知P、A、C、B四点共圆且其方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,2)))2＝eq\f(5,4)，两圆方程相减得AB方程为2x＋y－4＝0.解法二：kPC＝eq\f(1,2)，故可设过切点A、B的直线的方程为2x＋y＋c＝0，设AB交PC于H，由AC＝2，PC＝eq\r(5)知CH＝eq\f(AC2,PC)＝eq\f(4\r(5),5).即C到AB的距离eq\f(|c|,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得c＝－4或4(舍去)，故AB方程为2x＋y－4＝0.名师点拨：解决直线与圆相切问题的策略1．过圆C1(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程，利用“切线垂直于过切点的半径”求解．注：切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.2．过圆外一点或与定直线平行的切线方程，“利用”圆心到直线的距离等于半径求解，此时切线有两条，谨防丢解．注：若过点P(x0，y0)的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线的切点分别为A，B，则直线AB的方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【变式训练】(2025·河南郑州阶段测试)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0[答案]A[解析]设所求直线为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切得，eq\f(|c|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得c＝±5.所以直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.故选A．与圆有关的最值问题——多维探究角度1与距离相关的最值1．(2025·陕西铜川三模)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1经过点A(3,4)，则其圆心到原点的距离的最大值为()A．4 B．5C．6 D．7[答案]C[解析]由圆C：(x－a)2＋(x－b)2＝1经过点(3,4)，可得(3－a)2＋(4－b)2＝1，即(a－3)2＋(b－4)2＝1，故圆心(a，b)的轨迹是以A(3,4)为圆心，1为半径的圆，又|AO|＝eq\r(32＋42)＝5，所以圆心到原点的距离的最大值为5＋1＝6.故选C．2．(多选题)(2025·湖北武汉江夏一中、汉阳一中联考)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是()A．x2＋y2的最大值是eq\r(3)＋1B.eq\f(y＋1,x＋1)的最大值是2＋eq\r(6)C．|x－y＋3|的最小值是2eq\r(2)－eq\r(3)D．过点(0，eq\r(2))作曲线C的切线，则切线方程为x－eq\r(2)y＋2＝0[答案]BD[解析]由圆C：x2＋y2－2x－2＝0可化为(x－1)2＋y2＝3，可得圆心(1,0)，半径为r＝eq\r(3)，由x2＋y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方，所以它的最大值为[eq\r(1－02＋02)＋eq\r(3)]2＝4＋2eq\r(3)，所以A错误；(换元法：令eq\f(x－1,\r(3))＝cosθ，eq\f(y,\r(3))＝sinθ，即0≤θ<2π，则x2＋y2＝3cos2θ＋2eq\r(3)cosθ＋1＋3sin2θ＝2eq\r(3)cosθ＋4≤4＋2eq\r(3)，当θ＝0时取等号，即x2＋y2的最大值为4＋2eq\r(3).∴A错误)设eq\f(y＋1,x＋1)＝k，即y＋1＝k(x＋1)，由圆心(1,0)到直线的距离d＝eq\f(|2k－1|,\r(k2＋1))≤eq\r(3)，解得2－eq\r(6)≤k≤2＋eq\r(6)，所以eq\f(y＋1,x＋1)的最大值为2＋eq\r(6)，所以B正确；令x－y＝c，则由圆心C到直线x－y－c＝0的距离eq\f(|1－c|,\r(2))≤eq\r(3)，知1－eq\r(6)≤c≤1＋eq\r(6)，∴|x－y＋3|＝|c＋3|∈[4－eq\r(6)，4＋eq\r(6)]，即|x－y＋3|的最小值为4－eq\r(6)，所以C错误；(由|x－y＋3|表示圆上任意一点到直线x－y＋3＝0的距离的eq\r(2)倍，圆心到直线的距离d＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，所以其最小值为eq\r(2)(2eq\r(2)－eq\r(3))＝4－eq\r(6)，所以C错误；)因为点(0，eq\r(2))满足圆C的方程，即点(0，eq\r(2))在圆C上，则点C与圆心连线的斜率为k1＝－eq\r(2)，可得切线的斜率为k＝－eq\f(1,k1)＝eq\f(\r(2),2)，所以切线方程为y－eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)(x－0)，即x－eq\r(2)y＋2＝0，所以D正确．故选BD.角度2线段和、差的最值(2026·江苏镇江二模)已知⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝3，点A为直线l：y＝－1上的动点，过点A作直线与⊙C相切于点P，若Q(－2,0)，则|AP|＋|AQ|的最小值为____________.[答案]eq\r(15)[解析]Q关于直线l的对称点为M(－2，－2)，过M的直线与圆C切于N，交直线l于A′，则|AP|＋|AQ|≥|A′M|＋|A′N|＝|MN|＝eq\r(|MC|2－3)＝eq\r(－2－12＋－2－12－3)＝eq\r(15).角度3面积最值(2025·云南昆明一中双基检测)已知圆O：x2＋y2＝2，点Q为直线l：x＋y－4＝0上的一个动点，QE，QF是圆O的两条切线，E，F是切点，当四边形OEQF面积最小时，直线EF的方程为()A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0[答案]A[解析]由题意知SOEQF＝2S△OQE＝eq\r(2)EQ＝eq\r(2)eq\r(|OQ|2－2)，∴当|OQ|最小时SOEQF最小，此时OQ⊥l，又OQ⊥EF，∴EF∥l，∴kEF＝kl＝－1，又|OQ|＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，∴|OH|＝eq\f(|OE|2,|OQ|)＝eq\f(\r(2),2)，设EF：y＝－x＋C，则由eq\f(|C|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)知C＝1或－1(舍去)，故所求直线方程为x＋y－1＝0，故选A．注：①SOEQF最小⇔切线长|EQ|最小⇔∠EQF最大⇔|EF|最小，且SOEQF最小为2eq\r(3).②由OQ⊥l知kOQ＝1，∴OQ：y＝x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－4＝0，))知Q(2,2)，又OE⊥EQ，OF⊥FQ，∴O、E、Q、F四点共圆，其方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.由两圆方程相减得EF：x＋y－1＝0.故选A．名师点拨：与圆有关最值问题的解法1．形如eq\f(ax＋by＋c,dx＋ey＋f)(a、b、c、d、e、f为常数)的最值问题，可令其为k，转化为直线与圆(或圆弧)的位置关系问题，用圆心到直线的距离与半径的关系(或直线所经过的特殊点)解决．特别的：eq\f(y－b,x－a)可视为点A(x，y)与点B(a，b)连线的斜率，可利用其几何意义求得最值．2．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．3．圆上的点到定点(定直线)距离的最大值与最小值可转化为圆心到定点(定直线)距离与半径的和与差．外离两圆上两点间距离的最大(小)值为圆心距加(减)两圆半径的和．4．折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．【变式训练】1．(角度1)(2026·广东八校质检)P是圆(x－a)2＋(y－a2)2＝1上的动点，Q是直线y＝x－2上的动点，则|PQ|的最小值为()A．eq\r(2)－1 B．eq\r(2)C．eq\f(7\r(2),8)－1 D．eq\f(7\r(2),8)[答案]C[解析]由题意得，圆(x－a)2＋(y－a2)2＝1的圆心为(a，a2)，半径r＝1.因为(a，a2)到直线y＝x－2的距离d＝eq\f(|a－a2－2|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(7,4))),\r(2))≥eq\f(7\r(2),8)>1，当且仅当a＝eq\f(1,2)时等号成立，所以直线与该圆相离，所以|PQ|的最小值为d－r＝eq\f(7\r(2),8)－1.故选C．2．(角度1)(2025·贵州联考)若点P在曲线C：x2＋y2－2x－6y＋1＝0上运动，则eq\f(y,x＋3)的最大值为________.[答案]eq\f(24,7)[解析]曲线C方程化为(x－1)2＋(y－3)2＝9，是以(1,3)为圆心，3为半径的圆，设eq\f(y,x＋3)＝k，即直线l：kx－y＋3k＝0，又P在圆上运动，故直线与圆C有公共点，则eq\f(|k－3＋3k|,\r(k2＋1))≤3，化简得7k2－24k≤0，解得0≤k≤eq\f(24,7)，故eq\f(y,x＋3)的最大值为eq\f(24,7).3．(角度2)(2025·江苏徐州铜山区调研)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4，M，N分别是圆C1，C2上两个动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是()A．2eq\r(2)＋3 B．2eq\r(2)＋5C．2eq\r(10)＋3 D．2eq\r(10)＋5[答案]A[解析]由题意知，圆C1的圆心为C1(1,2)，半径r1＝1，圆C2的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，作C2(3，－4)关于x轴的对称点C3(3,4)，如图所示，|PN|－|PM|≤(|PC2|＋r2)－(|PC1|－r1)＝|PC2|－|PC1|＋r2＋r1＝|PC3|－|PC1|＋r2＋r1≤|C1C3|＋r2＋r1＝eq\r(22＋22)＋2＋1＝3＋2eq\r(2)，当P，C1，C3共线时等号成立，所以|PN|－|PM|的最大值为3＋2eq\r(2).故选A．4．(角度3)(2026·北京清华附中开学考试)已知⊙C：x2＋y2－4x＋4y＋6＝0，点A(1,1)，O是坐标原点．若点B在⊙C上，则△OAB面积的最大值为()A．3eq\r(2) B．3C．2eq\r(2) D．2[答案]B[解析]由⊙C：x2＋y2－4x＋4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆心C(2，－2)，半径为r＝eq\r(2)，因为A(1,1)，O(0,0)，则|OA|＝eq\r(2)，|OC|＝2eq\r(2)，又kOA＝eq\f(1－0,1－0)＝1，kOC＝eq\f(－2－0,2－0)＝－1，则kOA·kOC＝－1，即OA⊥OC，要使△OAB面积最大，则B在OC延长线上，且在圆上，如图，此时|OB|＝|OC|＋r＝3eq\r(2)，则△OAB面积的最大值为eq\f(1,2)×eq\r(2)×3eq\r(2)＝3.故选B.

圆系的方程(2025·河北保定部分学校月考)圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为____________.[分析]此题若求两圆交点坐标，运算繁琐，注意到两圆交点坐标满足方程x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，故只需根据题意求出λ，并判断其为圆的方程即可．[答案](x－3)2＋(y＋1)2＝16[解析]由题意设圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，整理得x2＋y2－eq\f(4,1＋λ)x－eq\f(4λ,1＋λ)y－6＝0，圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))，所以eq\f(2,1＋λ)－eq\f(2λ,1＋λ)－4＝0，解得λ＝－eq\f(1,3)，所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝16.名师点拨：两个圆系方程1．过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；2．过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．【变式训练】经过直线x－2y＝0与圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的交点，且过点(1,0)的圆的方程为____________.[答案]x2＋y2＋3x－12y－4＝0[解析]设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：x2＋y2－4x＋2y－4＋λ(x－2y)＝0，∵所求圆过点(1,0)，∴－7＋λ＝0，解得λ＝7，所以圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－4＋7(x－2y)＝0，即x2＋y2＋3x－12y－4＝0.提能训练练案[49]A组基础巩固一、单选题1．(2025·湖北云学名校联盟调研)如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是()A．P在圆外B．P在圆上C．P在圆内D．P与圆的位置关系不确定[答案]A[解析]由题意得eq\f(|－4|,\r(a2＋b2))<2，∴a2＋b2>4，所以点(a，b)在圆外，故选A．2．(2026·山西临汾模拟)已知直线l过圆x2－2x＋y2＝0的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为()A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0[答案]D[解析]由x2－2x＋y2＝0⇒(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，因为直线2x＋y－3＝0的斜率为－2，所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为eq\f(1,2)，所以l的方程为：y＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0，故选D.3．(2025·吉林长春三模)经过A(1,1)，B(－1,1)，C(0,2)三个点的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1[答案]C[解析]解法一：直接法：设经过A，B，C三个点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋1＋D＋E＋F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，,0＋4＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝－2，,F＝0，))且满足D2＋E2－4F＝4>0，所以经过A，B，C三个点的圆的方程为x2＋y2－2y＝0，即为x2＋(y－1)2＝1.故选C．解法二：排除法：将点A的坐标代入各选项方程，可排除A，B，D，故选C．4．已知直线3x＋4y－4＝0与圆C相切于点T(0,1)，圆心C在直线x－y＝0上，则圆C的方程为()A．(x－3)2＋(y－3)2＝13B．(x－3)2＋(y＋3)2＝25C．(x＋3)2＋(y－3)2＝13D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝25[答案]D[解析]由题意知，设C(a，a)(a≠0)，圆C的半径为r，∴kCT＝eq\f(a－1,a)＝eq\f(4,3)，解得a＝－3，所以圆心C(－3，－3)，半径r＝|CT|＝eq\r(－3－02＋－3－12)＝5，所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝25.故选D.5．(2025·湘豫名校联考)已知直线l：y＝2eq\r(2)x＋b与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝9相切，则实数b＝()A．8－2eq\r(2)或－10－2eq\r(2)B．－11或9C．11或－9D．－8＋2eq\r(2)或10＋2eq\r(2)[答案]A[解析]依题知圆心C(1，－1)，半径为3，则eq\f(|2\r(2)－－1＋b|,\r(2\r(2)2＋－12))＝3，解得b＝8－2eq\r(2)或b＝－10－2eq\r(2).故选A．6．(2026·云南德宏开学考试)过直线l：y＝kx＋4(k≠0)上一点P作圆M：(x－2)2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB的最大值为eq\f(π,3)，则k＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)[答案]C[解析]当MP⊥l时，圆心M(2,0)到直线l的距离最短，∠APB最大，因为∠APB的最大值为eq\f(π,3)，在Rt△MPA，Rt△MPB中，∠MPA＝∠MPB＝eq\f(π,6)，|MA|＝|MB|＝2，所以|MP|＝4，当∠APB最大时，圆心M到直线l的距离为4，即eq\f(|2k＋4|,\r(k2＋1))＝4，解得k＝0(舍)或k＝eq\f(4,3).故选C．7．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是()A．1＋eq\f(3\r(2),2) B．4C．1＋3eq\r(2) D．7[答案]C[解析]解法一：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝eq\f(|2－1－k|,\r(2))≤3，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2)，故选C．解法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cosθ＋2，y＝3sinθ＋1，其中θ∈[0,2π]，则x－y＝3cosθ－3sinθ＋1＝3eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＋1，∵θ∈[0,2π]，所以θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(9π,4)))，则θ＋eq\f(π,4)＝2π，即θ＝eq\f(7π,4)时，x－y取得最大值3eq\r(2)＋1.故选C．8．(2026·河南郑州外国语学校月考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)[答案]D[解析]圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3，2)，半径r＝1.如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得eq\f(|k－3－2－2k－3|,\r(1＋k2))＝1，即|5k＋5|＝eq\r(1＋k2)，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4)，故选D.9．(2025·湖北武汉江夏一中、汉阳一中联考)若圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq\r(2)，则直线l的斜率的取值范围是()A．[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)] B．[－2－eq\r(3)，－2＋eq\r(3)]C．[－2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)] D．[－2－eq\r(3)，2－eq\r(3)][答案]B[解析]根据题意，圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝18，其圆心为(－2,2)，半径r＝3eq\r(2)，若圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq\r(2)，则圆心(－2,2)到直线l的距离d≤3eq\r(2)－2eq\r(2)＝eq\r(2)，直线l：ax＋by＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)，∴直线l：kx－y＝0，则有eq\f(|2＋2k|,\r(1＋k2))≤eq\r(2)，解得－2－eq\r(3)≤k≤－2＋eq\r(3)，故选B.二、多选题10．(2025·贵州贵阳摸底)在同一平面直角坐标系中，直线mx－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的位置可能为()[答案]ABD[解析]直线mx－y＋1＝0过定点(0,1)，显然点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，因此直线mx－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2必相交，C错误；而直线mx－y＋1＝0表示平面内过点(0,1)的除直线x＝0外的任意直线，因此选项ABD都可能．故选ABD.11．(2026·湖南部分学校联考)已知直线l：(m＋1)x＋2y＋2m－2＝0与圆C：x2＋y2－2y－8＝0，则()A．直线l与圆C一定相交B．直线l过定点(－2,2)C．圆心C到直线l距离的最大值是2eq\r(2)D．使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有2条[答案]AB[解析]由题意可知直线l过定点A(－2,2)，圆心C的坐标为(0,1)，半径为3，则点A在圆C内，从而直线l与圆C一定相交，故A，B正确；设圆心C到直线l的距离为d，则d≤|AC|＝eq\r(5)，则C错误；因eq\f(|2m|,\r(m＋12＋4))＝2得m＝－eq\f(5,2)，所以使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有且仅有1条，则D错误．三、填空题12．(2026·广东摸底联考)已知直线l：4x－3y－4＝0，请写出一个满足以下条件的圆M的方程______________________．①圆M与x轴相切；②圆M与直线l相切；③圆M的半径为2.[答案]x2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－2)2＝4或(x－2)2＋(y＋2)2＝4或(x＋3)2＋(y＋2)2＝4(写出其中的一个即可)[解析]当圆心为M(a,2)时，圆M与直线l相切，即eq\f(|4a－10|,\r(42＋32))＝2，解得a＝0或a＝5.当圆心为M(a，－2)时，圆M与直线l相切，即eq\f(|4a＋2|,\r(42＋32))＝2，解得a＝2或a＝－3.所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－2)2＝4或(x－2)2＋(y＋2)2＝4或(x＋3)2＋(y＋2)2＝4.13．(2026·江西九江一中等“领军计划”联考)若半径为3的圆经过点(6,8)，则其圆心到原点的距离的最小值为________.[答案]7[解析]设圆心坐标为(x，y)，则eq\r(x－62＋y－82)＝3，即(x－6)2＋(y－8)2＝9，即圆心轨迹是以(6,8)为圆心，以3为半径的圆，(6,8)到原点距离为eq\r(62＋82)＝10，故圆(x－6)2＋(y－8)2＝9上的点到原点距离的最小值为10－3＝7，即半径为3的圆经过点(6,8)，则其圆心到原点的距离的最小值为7.14．(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，直线AB关于直线y＝a的对称直线为l，已知l与圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围为____________.[答案]eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,2)[解析]因为kAB＝eq\f(a－3,2)，所以直线AB关于直线y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0，由题意得eq\f(|3a－3＋4＋2a|,\r(4＋3－a2))≤1，整理解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,2).四、解答题15．(2026·河南许昌中学定位考试)已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．[解析](1)解法一：∵kMN＝1，∴MN中垂线的方程为y＋eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，即x＋y－1＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x＋2y＋1＝0，))得C(3，－2)，又r2＝|CM|2＝9，∴圆C的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝9，即x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.解法二：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)－E＋1＝0，,4－2E＋F＝0，,10＋3D＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝4，,F＝4，))所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.(2)不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.理由如下：假设符合条件的实数a存在．由(1)得圆心C为(3，－2)，因为直线l垂直平分弦AB，所以圆心C(3，－2)必在直线l上，所以直线l的斜率kPC＝－2.又kAB＝a＝－eq\f(1,kPC)，所以a＝eq\f(1,2).又圆C的半径r＝3，圆心C到直线eq\f(1,2)x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋2＋1)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1))＝eq\f(9\r(5),5)>3，所以不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.B组能力提升1．过A(0,1)、B(0,3)两点，且与直线y＝x－1相切的圆的方程可以是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2B．(x－2)2＋(y－2)2＝5C．(x－1)2＋(y－2)2＝2D．(x＋2)2＋(y－2)2＝5[答案]C[解析]因为A(0,1)，B(0,3)，则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y＝2，设圆心为C(t,2)，则圆C的半径为r＝eq\f(|t－2－1|,\r(2))＝eq\f(|t－3|,\r(2))，又因为r＝|AC|＝eq\r(t2＋2－12)＝eq\r(t2＋1)，所以eq\f(|t－3|,\r(2))＝eq\r(t2＋1)，整理可得t2＋6t－7＝0，解得t＝1或t＝－7，当t＝1时，r＝|AC|＝eq\r(2)，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2