第8章　第5讲　椭圆 第2课时

第二课时直线与椭圆的位置关系——自主练透若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m>1 B．m>0C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5[答案]D[解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.故选D.解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤0，))即m≥1，又m≠5，∴m≥1且m≠5.故选D.名师点拨：1．判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．其步骤为：2．对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．【变式训练】(2025·广东部分学校入学考试)已知直线l：y＝x－3与椭圆C：eq\f(y2,4m)＋eq\f(x2,m)＝1相交，则C的长轴长的取值范围是________.[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12\r(5),5)，＋∞))[解析]将y＝x－3代入eq\f(y2,4m)＋eq\f(x2,m)＝1，得5x2－6x＋9－4m＝0，则Δ＝36－20(9－4m)>0，解得m>eq\f(9,5).因为C的长轴长为2eq\r(4m)＝4eq\r(m)，所以C的长轴长的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12\r(5),5)，＋∞)).椭圆弦的问题——多维探究角度1弦长问题(2026·江苏泰州中学质检)已知椭圆C：x2＋2y2＝2b2(b>0)．(1)求椭圆C的离心率e；(2)若b＝1，斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(4,3)，求直线l的方程．[解析](1)椭圆C：x2＋2y2＝2b2(b>0)．化为标准方程：eq\f(x2,2b2)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，∴椭圆长半轴长为eq\r(2)b，短半轴长为b，∴e＝eq\r(1－\f(b2,\r(2)b2))＝eq\f(\r(2),2).(2)b＝1，斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，设斜率为1的直线l的方程为y＝x＋m，且A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵b＝1，∴椭圆C的方程为：x2＋2y2＝2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,x2＋2y2＝2，))消去y得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，解得－eq\r(3)<m<eq\r(3)，有x1＋x2＝eq\f(－4m,3)，x1·x2＝eq\f(2m2－2,3)，∴|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(\f(16m2,9)－\f(8m2－8,3))＝eq\f(4,3)eq\r(3－m2)＝eq\f(4,3)，解得：m2＝2，即m＝±eq\r(2)，∴直线l的方程为x－y±eq\r(2)＝0.名师点拨：直线被圆锥曲线截得弦长的求法1．当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．2．“设而不求”，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|(k≠0)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．过焦点的椭圆的弦中，垂直长轴的弦(通径)最短，为eq\f(2b2,a).角度2中点弦问题已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1.(1)若点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为____________.(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为____________.(3)过点M(2,1)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为____________.[答案](1)2x＋4y－3＝0(2)x＋4y＝0，y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))(3)x2－2x＋2y2－2y＝0(x＋y－1<0)[解析](1)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1.两式作差，得eq\f(x2－x1x2＋x1,2)＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝kAB，代入后求得kAB＝－eq\f(x0,2y0)＝－eq\f(1,2)，∴所求方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2x＋4y－3＝0.(2)解法一：由题意k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－eq\f(x0,2y0)＝2，即x0＋4y0＝0，∴所求轨迹方程为x＋4y＝0，y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4y2,2)＋y2<1⇔－\f(1,3)<y<\f(1,3)))解法二：设弦的方程为y＝2x＋b.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋b，,x2＋2y2－2＝0，))得9x2＋8bx＋2b2－2＝0，∴Δ＝(8b)2－36(2b2－2)>0，即－3<b<3，x＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(4b,9)，y＝2x＋b＝eq\f(b,9).∴所求轨迹方程为x＋4y＝0，y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))).(3)由eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－eq\f(x0,2y0)＝k＝eq\f(y0－1,x0－2)得所求轨迹方程为x2－2x＋2y2－2y＝0，(包含在椭圆内部的部分)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,x2－2x＋2y2－2y＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2y2＝2，,x＋y＝1，))故所求轨迹方程为x2－2x＋2y2－2y＝0(x＋y－1<0)．名师点拨：圆锥曲线“中点弦”问题的解法1．点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和直线l斜率的关系求得．2．根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．注意不要忽略对判别式的讨论．【变式训练】1．(角度1)(2026·福建百校联测)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(8,5)eq\r(2)，求直线l的方程．[解析](1)由题可知，2a＝4，a＝2，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，且a2＝b2＋c2，解得c＝eq\r(3)，b＝1，则椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)解法一：①当直线l斜率为0时，|AB|＝2a＝4，不符合题意．②当直线l斜率不为0时，设直线l方程为x＝ty＋1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1，,x2＋4y2－4＝0，))得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0，Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－\f(2t,t2＋4)，,y1y2＝－\f(3,t2＋4).))由题意|AB|＝eq\r(1＋t2)×eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(8,5)eq\r(2)，即eq\f(4,t2＋4)eq\r(1＋t2)×eq\r(t2＋3)＝eq\f(8,5)eq\r(2)，解得t＝±1.故直线l的方程为y＝x－1或y＝1－x.解法二：①当直线l斜率不存在时，|AB|＝eq\r(3)，不符合题意．②设直线l方程为y＝k(x－1)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＋4y2－4＝0，))得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(8k2,4k2＋1)，,x1x2＝\f(4k2－4,4k2＋1)，))由|AB|＝eq\f(8,5)eq\r(2)，得eq\r(1＋k2)×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(8,5)eq\r(2)，即eq\f(4,4k2＋1)·eq\r(1＋k2)·eq\r(3k2＋1)＝eq\f(8,5)eq\r(2)，解得k＝±1.故直线l的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.2．(角度2)(2026·江苏南通如皋中学测试)已知直线x－4y＋9＝0与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<4)相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是F1，F2，线段AB的中点为C(－1,2)，则△CF1F2的面积为()A．2eq\r(2) B．4eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4eq\r(3)[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可知eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,4)，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),16)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),16)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,16y1＋y2)，即eq\f(1,4)＝eq\f(2b2,4×16)，解得b2＝8，所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2eq\r(2)，所以S△CF1F2＝eq\f(1,2)×2c×2＝4eq\r(2)，故选B.直线与椭圆的综合问题(2026·江西部分学校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝eq\f(9,4)，过点B(0，－1)的一条直线与椭圆C相交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若S△ABM＝2S△ABN，试求直线MN的方程．[解析](1)根据题意作图如下：设F1(－c,0)，F2(c,0)，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以有eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4b2)＝1，eq\o(AF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－1，－\f(3,2)))，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－1，－\f(3,2)))，又eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝eq\f(9,4)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－1，－\f(3,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－1，－\f(3,2)))＝1－c2＋eq\f(9,4)＝eq\f(9,4)，所以c＝1，则a2－b2＝1，所以eq\f(1,b2＋1)＋eq\f(9,4b2)＝1，整理得(4b2＋3)(b2－3)＝0，因为b2>0，所以解得b2＝3，a2＝4，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)根据题意作图如下：若S△ABM＝2S△ABN，则|MB|＝2|BN|.当直线MN与x轴垂直时，其方程为x＝0，则|MB|＝eq\r(3)＋1，|BN|＝eq\r(3)－1，|MB|≠2|BN|，不满足题意．设直线MN的方程为y＝kx－1，代入椭圆方程整理得3x2＋4(kx－1)2＝12，即(3＋4k2)x2－8kx－8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8k,3＋4k2)①，x1x2＝eq\f(－8,3＋4k2)②.因为|MB|＝2|BN|，B在直线MN上，且M，N在B的两侧，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(BN,\s\up6(→))，则0－x1＝2(x2－0)，所以x1＋2x2＝0③.由①③解得x1＝eq\f(16k,3＋4k2)，x2＝－eq\f(8k,3＋4k2)，代入②，得eq\f(16k,3＋4k2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8k,3＋4k2)))＝eq\f(－8,3＋4k2)，解得k＝±eq\f(1,2)，所以直线MN的方程为y＝±eq\f(1,2)x－1，即x－2y－2＝0或x＋2y＋2＝0，综上，直线MN的方程是x－2y－2＝0或x＋2y＋2＝0.[引申]当S△OMN最大时，直线MN的方程为____________.[答案]y＝－1[解析]S△OMN＝S△OBM＋SOBN＝eq\f(1,2)|x1－x2|＝eq\f(1,2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k,3＋4k2)))2＋\f(32,3＋4k2))＝2eq\r(\f(62k2＋1,3＋4k22))，令2k2＋1＝t，则t≥1，从而S△OMN＝2eq\r(\f(6t,4t2＋4t＋1))＝2eq\r(\f(6,4t＋\f(1,t)＋4))，记f(t)＝4t＋eq\f(1,t)(t>1)，由f′(t)＝4－eq\f(1,t2)>0知f(t)为增函数，∴f(t)min＝5，∴当t＝1即k＝0时，S△OMN取最大值eq\f(2\r(6),3).此时MN的方程为y＝－1.名师点拨：题目给出直线l过定点P，一般设出直线l的方程，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线的距离公式求三角形AB边上的高，从而可求得三角形面积，建立函数模型求最值．注意到|OP|为定值，用“割补法”表示三角形面积可简化运算．【变式训练】(2026·浙江名校新高考研究联盟联考)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为e＝eq\f(1,2)，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，M为线段OA的中点，P为椭圆上动点，且△MPB面积的最大值为eq\f(3,2)eq\r(3).(1)求椭圆E的方程；(2)延长PM交椭圆于Q，若eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(BQ,\s\up6(→))＝6，求直线PQ的方程．[解析](1)由条件得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c，则OM＝eq\f(1,2)a＝c，(S△BMP)max＝eq\f(1,2)b(a＋c)＝eq\f(3\r(3),2)c2＝eq\f(3\r(3),2)，解得a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由题意可知：A(－2,0)，B(2,0)，则M(－1,0)，且直线PQ与椭圆必相交，①若直线PQ的斜率不存在，可知PQ：x＝－1，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))解得y＝±eq\f(3,2)，不妨取Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))，则eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))，可得eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(BQ,\s\up6(→))＝9－eq\f(9,4)＝eq\f(27,4)≠6，不合题意；②若直线PQ的斜率存在，设直线，PQ：y＝k(x＋1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(x2－2，y2)，与椭圆联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,3x2＋4y2＝12，))消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，可得x1＋x2＝－eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，则eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(x1－2)(x2－2)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2＝eq\f(1＋k24k2－12,3＋4k2)－eq\f(8k2k2－2,3＋4k2)＋4＋k2＝eq\f(27k2,3＋4k2)＝6，即k2＝6，解得k＝±eq\r(6)，所以直线PQ的方程为y＝±eq\r(6)(x＋1)；综上所述：直线PQ的方程为y＝±eq\r(6)(x＋1)．与椭圆相关的创新应用问题1．(2025·江西九校联考)如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)篮球的影子是椭圆，篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点，点P到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e＝________.[答案]eq\f(7,9)[解析]以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，|NQ|＝a＋c，|QR|＝a－c，由题意可得P(0,4)，R(－3,0)，则PR：4x－3y＋12＝0，kPR＝eq\f(4,3)，设M(n,1)，Q(n,0)，则M到PR的距离d＝eq\f(|4n－3＋12|,\r(42＋32))＝1，解得n＝－1(舍去)，n＝－eq\f(7,2)，则|QR|＝eq\f(7,2)－3＝eq\f(1,2)＝a－c，又设PN：kx－y＋4＝0，由d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)k－1＋4)),\r(k2＋1))＝1，得45k2－84k＋32＝0.∴kPR·kPN＝eq\f(32,45)，则kPN＝eq\f(8,15)，得xN＝－eq\f(15,2)，∴2a＝eq\f(15,2)－3＝eq\f(9,2)，则a＝eq\f(9,4)，故得c＝eq\f(7,4).∴椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(7,9).2．(2026·湖北部分高中协作体联考)已知点P(x，y)是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上任意一点，则点P到直线l：y＝x＋5的最大距离为()A．eq\f(5\r(2)＋\r(26),2) B．eq\f(5\r(2)－\r(26),2)C．5eq\r(2)＋eq\r(26) D．5eq\r(2)－eq\r(26)[答案]A[解析]解法一：设直线y＝x＋m与椭圆相切，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，,y＝x＋m))得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，∴Δ＝(18m)2－4×13(9m2－36)＝0，m＝±eq\r(13)，切线方程为y＝x＋eq\r(13)和y＝x－eq\r(13)，与l距离较远的是y＝x－eq\r(13)，∴所求最大距离为d＝eq\f(|－\r(13)－5|,\r(2))＝eq\f(5\r(2)＋\r(26),2).故选A．解法二：设P(3cosθ，2sinθ)，则P到直线l的距离d＝eq\f(|3cosθ－2sinθ＋5|,\r(2))＝eq\f(|\r(13)sinθ＋φ＋5|,\r(2))≤eq\f(5＋\r(13),\r(2))＝eq\f(5\r(2)＋\r(26),2)(其中sinφ＝eq\f(3,\r(13))，cosφ＝－eq\f(2,\r(13))，且当sin(θ＋φ)＝1时取等号)．故选A．名师点拨：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，可转化为切线问题，可用三角换元法求解，即令x＝acosθ，y＝bsinθ，将其化为三角函数最值问题求解．【变式训练】1．(2025·河南鹤壁高中月考)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2＝()A．eq\f(1,9) B．7－2eq\r(3)C．3－2eq\r(2) D．3eq\r(3)－5[答案]D[解析]因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长b＝2，如图，DH＝HC＝AH＝2，∴AD⊥DC，∴DC＝AD＝2eq\r(2)，又∠ABD＝60°，∴BD＝eq\f(AD,tan60°)＝eq\f(2\r(6),3)，∴2a＝BC＝2eq\r(2)＋eq\f(2\r(6),3)，∴a＝eq\r(2)＋eq\f(\r(6),3)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(2)＋\f(\r(6),3))))2＝3eq\r(3)－5.故选D.2．(2026·云南曲靖一中阶段测试)曲线eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上点到直线x－2y＋8＝0距离的最小值为________.[答案]eq\f(3\r(5),5)[解析]解法一：令x－2y＋m＝0与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1相切，联立整理可得25y2－16my＋4m2－36＝0，所以Δ＝256m2－400(m2－9)＝0，可得m＝±5，当x－2y＋5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为eq\f(|8－5|,\r(1＋4))＝eq\f(3\r(5),5)，当x－2y－5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为eq\f(|8＋5|,\r(1＋4))＝eq\f(13\r(5),5)，所以曲线到直线距离的最小值为eq\f(3\r(5),5).解法二：设x＝3cosθ，则y＝2sinθ，则曲线上的点到直线x－2y＋8＝0的距离d＝eq\f(|3cosθ－4sinθ＋8|,\r(5))＝eq\f(|5cosθ＋φ＋8|,\r(5))≥eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(4,3)，且cosθ＋φ＝－1时取等号))，即dmin＝eq\f(3\r(5),5).提能训练练案[52]A组基础巩固一、单选题1．(2025·福建泉州适应性练习)椭圆C：x2＋2y2＝1，其右焦点为F，若直线l过点F与C交于A，B，则|AB|最小值为()A．eq\f(\r(2),2) B．1C．eq\r(2) D．2[答案]B[解析]要使|AB|最小，即为l和焦点F在的轴垂直的直线截得的线段长．右焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，直线为x＝eq\f(\r(2),2)，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为±eq\f(1,2)，故|AB|最小值为1.故选B.2．(2026·福建三明一中月考)焦距为2eq\r(2)，并且截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是eq\f(2,7)的椭圆的标准方程为()A．x2＋eq\f(y2,3)＝1B．x2＋3y2＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,12)＝1D．x2＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(x2,3)＋y2＝1[答案]A[解析]设椭圆方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，m>0，n>0，m≠n，直线y＝2x－1与椭圆相交的两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知x1＋x2＝eq\f(4,7)，所以y1＋y2＝(2x1－1)＋(2x2－1)＝2(x1＋x2)－2＝2×eq\f(4,7)－2＝－eq\f(6,7)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),m)＋\f(y\o\al(2,1),n)＝1，,\f(x\o\al(2,2),m)＋\f(y\o\al(2,2),n)＝1，))两式相减得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),m)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),n)＝0，整理得eq\f(x1＋x2x1－x2,m)＝－eq\f(y1＋y2y1－y2,n)，所以2＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2n,3m)，即n＝3m.又c＝eq\r(n－m)＝eq\r(2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝m＋2，,n＝3m，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝3，,m＝1，))故椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,3)＝1.故选A．3．(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)直线2x－3y＋12＝0经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个顶点，则该椭圆的离心率e＝()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(\r(5),2) D．eq\f(\r(13),3)[答案]B[解析]因为直线2x－3y＋12＝0，令x＝0，则y＝4，所以b＝4，令y＝0，则x＝－6，所以a＝6，又因为c2＝a2－b2，所以c＝2eq\r(5)，则该椭圆的离心率e＝eq\f(2\r(5),6)＝eq\f(\r(5),3).故选B.4．斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2 B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(4\r(10),5) D．eq\f(8\r(10),5)[答案]C[解析]设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－t2)，当t＝0时，|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).故选C．5．(2024·安徽江淮十校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1，过左焦点F1作倾斜角为eq\f(π,6)的直线交椭圆于A，B两点，且eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2\r(2),3)[答案]C[解析]设F1(－c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点F1倾斜角为eq\f(π,6)的直线方程为x＝eq\r(3)y－c，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,x＝\r(3)y－c，))得(a2＋3b2)y2－2eq\r(3)b2cy－b4＝0，所以y1＋y2＝eq\f(2\r(3)b2c,a2＋3b2)，y1y2＝－eq\f(b4,a2＋3b2)①，因为eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))，所以y1＝－3y2②，由①②得eq\f(3c2,a2＋3b2)＝eq\f(1,3)，所以a2＋3b2＝9c2，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋3b2＝9c2，,a2＝b2＋c2，))得a2＝3c2，e2＝eq\f(1,3)⇒e＝eq\f(\r(3),3).故选C．6．(2024·贵州名校协作体联考)已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1的左右焦点分别为F1，F2，点M在直线l：x＋y－4＝0上运动，则eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))的最小值为()A．7 B．9C．13 D．15[答案]A[解析]由椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1可得F1(－1,0)，F2(1,0)，点M在直线l：x＋y－4＝0上运动，设M(x，－x＋4)，则eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－1－x，x－4)·(1－x，x－4)＝x2－1＋(x－4)2＝2x2－8x＋15＝2(x－2)2＋7，当x＝2时，2(x－2)2＋7取到最小值7，即eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))的最小值为7，故选A．7．(2026·江苏扬州高邮月考)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若M(1，－1)且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，则E的方程为()A．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1[答案]D[解析]因为右焦点F(3,0)，故a2＝b2＋9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))可知M是AB的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，且eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，两式相减得eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq\f(2b2,－2a2)＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(0＋1,3－1)＝kFM＝eq\f(1,2)，∴a2＝2b2＝b2＋9，∴b2＝9，a2＝18，故椭圆E方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1，故选D.8．(2025·江西抚州联考)已知椭圆T：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F且斜率为1的直线l与T交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x＋2y＝0上，则T的离心率为()A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(\r(3),5) D．eq\f(\r(2),2)[答案]D[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝x－c，由题意可知，线段AB的中点M是直线l与直线x＋2y＝0的交点，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－c，,x＋2y＝0，))解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)c，－\f(1,3)c))，另一方面．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝x－c，))得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0.易知Δ>0，由韦达定理得x1＋x2＝eq\f(2a2c,a2＋b2)＝eq\f(4,3)c，解得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)．故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).故选D.二、多选题9．(2026·广东大湾区调研)若某等腰直角三角形的其中两个顶点恰为椭圆C的两个焦点，另一个顶点在C上，则C的离心率可能为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2)－1 D．eq\f(\r(5)－1,2)[答案]BC[解析]在等腰直角△ABC中，在不影响离心率的情况下不妨设∠A＝eq\f(π,2)，AB＝AC＝k，k>0，且椭圆焦点位于x轴上，当椭圆以B，C为焦点时，根据椭圆和等腰直角三角形对称性知点A为椭圆上顶点，则2a＝2k，a＝k；2c＝eq\r(2)k，c＝eq\f(\r(2),2)k，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(\r(2),2)k,k)＝eq\f(\r(2),2).当椭圆以A，C或A，B为焦点时，2a＝k＋eq\r(2)k＝(1＋eq\r(2))k，a＝eq\f(1＋\r(2)k,2)，2c＝k，c＝eq\f(k,2)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(k,2),\f(1＋\r(2)k,2))＝eq\r(2)－1，综上，椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)或eq\r(2)－1.故选BC．10．如图所示，用一个与圆柱底面成θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝eq\f(π,3)，则下列说法正确的是()A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为eq\f(\r(3),2)C．椭圆的标准方程可以是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2eq\r(3)[答案]BCD[解析]设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝eq\f(π,3)得：2a＝eq\f(4,cosθ)＝8，解得a＝4，A不正确；显然b＝2，则c＝eq\r(a2－b2)＝2eq\r(3)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，B正确；当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2eq\r(3)，D正确．故选BCD.11．(2025·河北沧州联考)已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m2)＝1的焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))为线段MN的中点，则下列说法正确的是()A．m2＝6B．椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),3)C．直线l的方程为3x＋y－2＝0D．△F2MN的周长为4eq\r(2)[答案]AC[解析]根据题意，因为焦点在y轴上，所以m2－2＝4，则m2＝6，故选项A正确；椭圆C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，故选项B不正确；根据点差法的结论可得kl·kOP＝－eq\f(6,2)＝－3，所以kl＝－3，所以直线l的方程为y－eq\f(1,2)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即3x＋y－2＝0，故选项C正确；因为直线l过F1，所以△F2MN的周长为4a＝4eq\r(6)，故选项D不正确，故选AC．12．(2026·四川大数据精准教学联盟联考)已知椭圆E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2过点F1的直线与椭圆相交于P，Q两点，则()A．|F1F2|＝1B．|PQ|≤4C．当F2，P，Q不共线时，△F2PQ的周长为8D．设点P到直线x＝－4的距离为d，则d＝2|PF1|[答案]BCD[解析]由题意知：a＝2，b＝eq\r(3)，∴c＝eq\r(a2－b2)＝1，∴|F1F2|＝2c＝2，A错误；∵PQ为椭圆C的焦点弦，∴|PQ|≤2a＝4，B正确；∵|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，∴△F2PQ的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝8，C正确；作PM垂直于直线x＝－4，垂足为M，设P(x0，y0)，则d＝|PM|＝|x0＋4|，∵F1(－1,0)，∴|PF1|＝eq\r(x0＋12＋y\o\al(2,0))＝eq\r(x0＋12＋3－\f(3,4)x\o\al(2,0))＝eq\r(\f(1,4)x\o\al(2,0)＋2x0＋4)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x0＋2))2)＝|eq\f(1,2)x0＋2|，∴2|PF1|＝|x0＋4|，∴d＝2|PF1|，D正确．故选BCD.三、解答题13．(2026·云南昭通一中等三校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的右顶点为Q，过点T(－1,0)的直线与椭圆C相交于点M，N，若△QMN的面积是eq\f(12,5)，求直线MN的方程．[解析](1)由题意：S＝eq\f(1,2)·2a·2b＝4，所以ab＝2.又因为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝1，即椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)当直线MN的斜率为0时，M，N，Q三点共线，不符合题意；当直线MN的斜率不为0时，设直线方程为x＝ty－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty－1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(4＋t2)y2－2ty－3＝0，∴y1＋y2＝eq\f(2t,4＋t2)，y1y2＝－eq\f(3,4＋t2)，|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\f(4t2,4＋t22)－4·\f(－3,4＋t2))＝eq\f(4\r(t2＋3),4＋t2)，∴S△QMN＝eq\f(1,2)·|TQ|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×3×eq\f(4\r(t2＋3),4＋t2)＝eq\f(12,5)，∴t＝±1，∴直线MN的方程为y＝x＋1或y＝－x－1，即直线MN的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.14．(2025·四川巴中诊断)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆C上，且eq\o(MA1,\s\up6(→))·eq\o(MA2,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4).(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2，当k1＋k2＝0时，求△MPQ的面积．[解析](1)由题意知A1(－a,0)，A2(a,0)，又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，则eq\o(MA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a－1，－\f(3,2)))，eq\o(MA2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1，－\f(3,2)))，∴(－a－1)(a－1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＝－eq\f(3,4)，解得a＝2(负值舍去)，由Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆C上及a＝2得eq\f(1,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，解得b2＝3，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知，右焦点为F(1,0)，据题意设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，P(my1＋1，y1)，Q(my2＋1，y2)，则k1＝eq\f(y1－\f(3,2),my1)＝eq\f(2y1－3,2my1)，k2＝eq\f(y2－\f(3,2),my2)＝eq\f(2y2－3,2my2)，于是由k1＋k2＝0得eq\f(2y1－3,2my1)＋eq\f(2y2－3,2my2)＝0，化简得4y1y2＝3(y1＋y2)(*)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,3x2＋4y2－12＝0，))消去x整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)>0，y1＋y2＝－eq\f(6m,3m2＋4)，y1y2＝－eq\f(9,3m2＋4)，代入(*)式得－eq\f(18m,3m2＋4)＝－eq\f(36,3m2＋4)，解得m＝2，∴直线l的方程为x－2y－1＝0，解法一：Δ＝144(22＋1)＝720，y1＋y2＝－eq\f(3,4)，y1y2＝－eq\f(9,16)，|PQ|＝eq\r(1＋22)|y1－y2|＝eq\f(\r(5)\r(720),16)＝eq\f(15,4)，又点M到直线l的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－2×\f(3,2)－1)),\r(1＋－22))＝eq\f(3\r(5),5)，∴S△MPQ＝eq\f(1,2)|PQ|d＝eq\f(1,2)×eq\f(15,4)×eq\f(3\r(5),5)＝eq\f(9\r(5),8).解法二：由题意可知S△MPQ＝S△MPF＋S△MQF＝eq\f(1,2)|MF|(|xP|＋|xQ|)＝eq\f(3,4)(|xP|＋|xQ|)，将x－2y－1＝0代入3x2＋4y2－12＝0消去y得4x2－2x－11＝0，∴Δ＝(－2)2－4×4×(－11)＝180>0，xP＋xQ＝eq\f(1,2)，xPxQ＝－eq\f(11,4)<0，∴S△MPQ＝eq\f(3,4)(|xP|＋|xQ|)＝eq\f(3,4)|xP－xQ|＝eq\f(3,4)eq\r(xP＋xQ2－4xPxQ)＝eq\f(3,4)×eq\f(\r(180),4)＝eq\f(9\r(5),8).注：也可直接解出xP，xQ求解．B组能力提升1．(2026·河北邢台五校质检联盟期中)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A、B，P为C上异于A、B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于M、N两点，则|MN|的最小值为()A．eq\f(15,2) B．7C．eq\f(13,2) D．6[答案]D[解析]设P(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，易知A(－2，0)，B(2,0)，直线PA和直线PB的斜率之积kPA·kPB＝eq\f(y0,x0＋2)·eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4)，设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，则M(4,6k)，直线PB的方程为y＝－eq\f(3,4k)(x－2)，则Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(3,2k)))，所以|MN|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6k＋\f(3,2k)))≥2eq\r(6k·\f(3,2k))＝6.当且仅当k＝±eq\f(1,2)时，等号成立，故选D.2．(2026·江苏淮安淮阴中学期中)若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则eq\f(y,x－2)的最小值为()A．1 B．－1C．－eq\f(2\r(3),3) D．以上都不对[答案]C[解析]设直线y＝k(x－2)，代入椭圆方程消去y得(4＋k2)x2－4k2x＋4k2－4＝0，令Δ＝16k4－4(4＋k2)(4k2－4)＝0，解得k＝±eq\f(2\r(3),3)，由图可知，直线与椭圆相切时k取得最值，所以kmin＝－eq\f(2\r(3),3)，即eq\f(y,x－2)的最小值为－eq\f(2\r(3),3).故选C．3．(多选题)(2025·山西长治模拟)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1，则下列结论正确的是()A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2eq\r(2)B．若C与l有且仅有两个公共点，则|m|<2eq\r(2)C．若m＝3eq\r(2)，则C上到l的距离为5的点只有1个D．若m＝－eq\r(2)，则C上到l的距离为1的点只有3个[答案]BCD[解析]联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12(8－m2)．令Δ＝12(8－m2)≥0，则有－2eq\r(2)≤m≤2eq\r(2)，A错误；令Δ＝12(8－m2)>0，则有|m|<2eq\r(2)，B正确；令直线l与椭圆C相切，则Δ＝12(8－m2)＝0，即m＝±2eq\r(2)，直线y＝x＋3eq\r(2)与y＝x－2eq\r(2)的距离d＝eq\f(|3\r(2)－－2\r(2)|,\r(2))＝5，因此，C上到l的距离为5的点只有1个，C正确；如图，直线y＝x－eq\r(2)与y＝x－2eq\r(2)和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，D正确．故选BCD.4．(2026·安徽蚌埠调研)已知椭圆E：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线与E相交于A，B两点，则△ABF2的面积的最大值为________.[答案]2[解析]由题意可知，直线AB的斜率不为0，F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，故设AB：x＝my－eq\r(3)，A(x1，y1)，B