1.1 二次函数的意义 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

1.1二次函数的意义内容导航内容导航题型1二次函数的定义考点演练考点演练题型1二次函数的定义解｜题｜知｜识（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．【典例1】已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？【变式1】已知关于x的函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1）．（1）当m为何值时，此函数是二次函数？（2）当m为何值时，此函数是一次函数？【变式2】若y=−(m+1)xm2（1）求m的值及函数表达式．（2）写出二次项系数、一次项系数及常数项．【变式3】已知关于x的函数y=(m（1）若该函数为二次函数，求m的值；（2）若该函数为一次函数，求m的值．过关验收过关验收1．下列函数中是二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x（x﹣3） C．y=−1x2 D．y＝（x﹣2）22．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2+3．下列函数中，y是x的二次函数的为（）A．y＝﹣3x2 B．y＝2x C．y＝x+1 D．y＝x34．函数y=(m+2)xm2A．2或﹣2 B．2 C．−2或2 D．5．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝2x B．y＝x2﹣2 C．y=1x D．y＝﹣26．下列函数属于二次函数的是（）A．y=24x B．y＝（x﹣1）2﹣xC．y＝x（x﹣3） D．y＝﹣2x+17．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（a+2）x2+1 B．y=1C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x8．若函数y＝axa2−2a−6A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或39．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x﹣3 B．y=1x2 C．y＝x2+2x﹣110．下列函数中是二次函数的有（）①y=3−3②y=2③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x）+4x2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x2﹣5x B．y＝6x+1 C．y=1x 12．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B．x2+y﹣2＝0 C．y2﹣ax＝﹣2 D．x2﹣y2+1＝013．二次函数y＝2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣414．下列函数中，一定是二次函数是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（﹣x+1） C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y=15．对于二次函数y＝﹣x2﹣1的二次项系数a，一次项系数b，常数项c描述正确的是（）A．a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝1 C．a＝﹣1，b＝0，c＝﹣1 D．a＝1，b＝0，c＝﹣116．下列函数：y＝x（8﹣x），y＝1−12x2，y=x2−4，y＝xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．已知二次函数y＝1﹣3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（）A．a＝1，b＝﹣3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5 C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝﹣3，c＝118．关于x的函数y=(m−1)xm2A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．019．关于x的函数y＝（a﹣3）x2+1是二次函数的条件是（）A．a≠0 B．a＞3 C．a≠﹣3 D．a≠320．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝x B．y=3x C．y＝x2 D．y＝21．下列函数中是二次函数的是（）A．y＝﹣3x2+1 B．y＝8x+1 C．y=−1x 22．如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以2cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与xA．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数23．如图为二次函数．y＝ax2+bx+c（a≠0）．则下列结论正确的有①abc＜0②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个24．下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x2+2 D．y=25．若y=(m−3)xm2−7是y关于x的二次函数，则26．若y＝（m﹣2）x|m|+2x+3是关于x的二次函数，则m的值是．27．当m＝时，函数y＝（m﹣1）x|m|+1是二次函数．28．二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是．29．如果y=(m−1)xm2+1的图象是抛物线，那么30．当m＝时，函数y=(m+1)x31．已知函数y＝（m﹣3）x2﹣x+5是二次函数，则常数m的取值范围是．32．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是关于x的二次函数，则a的取值范围是．33．如果函数y＝（k﹣3）xk2−3k+2+kx+1是二次函数，那么34．函数y=(m−1)xm2+1−2mx+135．如果y=(m2−1)xm36．函数y＝x（2x﹣1）二次函数．（填“是”或者“不是”）答案解析考点演练考点演练题型1二次函数的定义【典例1】已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，∴m2+2m＝0，m≠0，解得：m＝﹣2；（2）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，∴m2+2m≠0，解得：m≠﹣2且m≠0．【变式1】已知关于x的函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1）．（1）当m为何值时，此函数是二次函数？（2）当m为何值时，此函数是一次函数？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由二次函数的概念可得m2﹣m≠0，m（m﹣1）≠0，解得m≠0且m≠1；（2）由一次函数的概念可得m2解得m＝1．【变式2】若y=−(m+1)xm2（1）求m的值及函数表达式．（2）写出二次项系数、一次项系数及常数项．【答案】（1）m＝2，y＝﹣3x2+5x；（2）二次项系数是﹣3，一次项系数是5，常数项是0．【解答】解：（1）由题意得m2由①得m1＝2，m2＝﹣1，由②得m≠﹣1，∴m＝2，y＝﹣3x2+5x．（2）二次项系数是﹣3，一次项系数是5，常数项是0．【变式3】已知关于x的函数y=(m（1）若该函数为二次函数，求m的值；（2）若该函数为一次函数，求m的值．【答案】（1）m＝2；（2）m＝1或m＝0或﹣1．【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，m2﹣2m+2＝1且m2+m+2≠0或m2+m＝0．解得m＝1或m＝0或﹣1．故m＝1或m＝0或﹣1．过关验收过关验收1．下列函数中是二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x（x﹣3） C．y=−1x2 D．y＝（x﹣2）2【答案】B【解答】解：根据二次函数定义逐项分析判断如下：A、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项A不符合题意；B、y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x，是二次函数，故选项B符合题意；C、不是二次函数，故选项C不符合题意；D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4，不是二次函数，故选项D不符合题意；故选：B．2．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2+【答案】C【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项错误；C、是二次函数，故此选项正确；D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．3．下列函数中，y是x的二次函数的为（）A．y＝﹣3x2 B．y＝2x C．y＝x+1 D．y＝x3【答案】A【解答】解：A、是二次函数，故此选项正确；B、是一次函数，故此选项错误；C、是一次函数，故此选项错误；D、是三次函数，故此选项错误；故选：A．4．函数y=(m+2)xm2A．2或﹣2 B．2 C．−2或2 D．【答案】B【解答】解：函数y=(m+2)x则m2﹣2＝2且m+2≠0，解得：m＝2，故选：B．5．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝2x B．y＝x2﹣2 C．y=1x D．y＝﹣2【答案】B【解答】解：A、y＝2x，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；B、y＝x2﹣2，y是x的二次函数，故此选项符合题意；C、y=1x，y是D、y＝﹣2x+1，y是x的一次函数，故此选项不符合题意；故选：B．6．下列函数属于二次函数的是（）A．y=24x B．y＝（x﹣1）2﹣xC．y＝x（x﹣3） D．y＝﹣2x+1【答案】C【解答】解：A、y=24B、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；C、y＝x（x﹣3）＝x2﹣3x，是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝﹣2x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：C．7．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（a+2）x2+1 B．y=1C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x【答案】D【解答】解：A、y＝（a+2）x2+1，当a≠﹣2时，是二次函数，不符合题意；B、y=1C、y＝（x+2）（x+1）﹣x2＝3x+2，是一次函数，不符合题意；D、y＝2x2+3x，是二次函数，符合题意．故选：D．8．若函数y＝axa2−2a−6A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3【答案】B【解答】解：∵函数y＝axa∴a2﹣2a﹣6＝2，且a＞0，解得a＝4．故选：B．9．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x﹣3 B．y=1x2 C．y＝x2+2x﹣1【答案】C【解答】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下：A、y＝2x﹣3中，x的指数是1，故是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B、y=1C、y＝x2+2x﹣1中，x的是高次数是2，x2+2x﹣1是整式，故是二次函数，符合题意；D、y=x2+5故选：C．10．下列函数中是二次函数的有（）①y=3−3②y=2③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x）+4x2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①y＝3−3x2；③y＝x故选：B．11．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x2﹣5x B．y＝6x+1 C．y=1x 【答案】A【解答】解：A、是二次函数，故此选项符合题意；B、是一次函数，故此选项不符合题意；C、是反比例函数，故此选项不符合题意；D、是正比例函数，故此选项不符合题意；故选：A．12．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B．x2+y﹣2＝0 C．y2﹣ax＝﹣2 D．x2﹣y2+1＝0【答案】B【解答】解：A、y＝ax2+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；B、x2+y﹣2＝0可变为y＝﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确；C、y2﹣ax＝﹣2不是二次函数，故此选项错误；D、x2﹣y2+1＝0不是二次函数，故此选项错误；故选：B．13．二次函数y＝2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4【答案】D【解答】解：y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x．所以二次项系数与一次项系数的和＝2+（﹣6）＝﹣4．故选：D．14．下列函数中，一定是二次函数是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（﹣x+1） C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y=【答案】B【解答】解：A、当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；B、y＝x（﹣x+1）＝﹣x2+x，符合二次函数的定义，是二次函数，故本选项符合题意；C、化简后不含二次项，不是二次函数，故本选项不符合题意；D、右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B．15．对于二次函数y＝﹣x2﹣1的二次项系数a，一次项系数b，常数项c描述正确的是（）A．a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝1 C．a＝﹣1，b＝0，c＝﹣1 D．a＝1，b＝0，c＝﹣1【答案】C【解答】解：对于二次函数y＝﹣x2﹣1的二次项系数a＝﹣1，一次项系数b＝0，常数项c＝﹣1，故选：C．16．下列函数：y＝x（8﹣x），y＝1−12x2，y=x2−4，y＝xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：y＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x，y＝1−12xy=x2−4y＝x2−6x，分母上有自变量x，不是以综上所述，其中以x为自变量的二次函数有2个．故选：B．17．已知二次函数y＝1﹣3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（）A．a＝1，b＝﹣3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5 C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝﹣3，c＝1【答案】D【解答】解：∵函数y＝1﹣3x+5x2是二次函数，∴a＝5，b＝﹣3，c＝1．故选：D．18．关于x的函数y=(m−1)xm2A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【答案】B【解答】解：∵函数y=(m−1)x∴m2+1＝2且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故选：B．19．关于x的函数y＝（a﹣3）x2+1是二次函数的条件是（）A．a≠0 B．a＞3 C．a≠﹣3 D．a≠3【答案】D【解答】解：关于x的函数y＝（a﹣3）x2+1是二次函数的条件是a﹣3≠0，即a≠3，故选：D．20．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝x B．y=3x C．y＝x2 D．y＝【答案】C【解答】解：A、y＝x，是正比例函数，故本选项不符合题意；B、y=3C、y＝x2，符合定义，故本选项符合题意；D、y＝x﹣2，是一次函数，故本选项不符合题意；故选C．21．下列函数中是二次函数的是（）A．y＝﹣3x2+1 B．y＝8x+1 C．y=−1x 【答案】A【解答】解：A、是二次函数，故正确；B、是一次函数，故错误；C、是反比例函数，故错误；D、不是二次函数，故错误．故选：A．22．如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以2cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与xA．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝2cm，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∴AC=2AD=2AB=22cm，OC＝当点P在OA上运动时，由题意得CQ＝x，CP＝OC+OP=2+作PG⊥CD于点G，∵∠PCG＝45°，∴CG=PG=CP2=x+1当点P在AB上运动时，由题意得CQ＝x，∴y=S故选：D．23．如图为二次函数．y＝ax2+bx+c（a≠0）．则下列结论正确的有①abc＜0②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，所以abc＜0．故①错误；②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最小值为：a+b+c，∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b），即a+b+c＜am2+bm+c，故③正确；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确；⑤∵ax∴ax12+bx1﹣ax∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=−b∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②③④⑤，共4个；故选：C．24．下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x2+2 D．y=【答案】C【解答】解：A．y＝2x+1是一次函数，不符合题意；B．y＝ax2+bx+c，当a＝0时是一次函数，不符合题意；C．y＝x2+2是二次函数，符合题意；D．y=1故选：C．25．若y=(m−3)xm2−7是y关于x的二次函数，则【答案】﹣3．【解答】解：由题意得：m2﹣7＝2且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3，故答案为：﹣3．26．若y＝（m﹣2）x|m|+2x+3是关于x的二次函数，则m的值是．【答案】﹣2．【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m|+2x+3是关于x的二次函数，∴m﹣2≠0，|m|＝2，即m≠2，m＝±2，∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．27．当m＝时，函数y＝（m﹣1）x|m|+1是二次函数．【答案】﹣1