3.2 圆心角 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

3.2圆心角内容导航内容导航题型1圆心角、弧、弦的关系考点演练考点演练题型1圆心角、弧、弦的关系解｜题｜知｜识（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．【典例1】如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点（1）求证：AD＝BE．（2）若AD＝DO，r＝3，求CD长．【变式1】如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．【变式2】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E，已知∠BOC＝45°．（1）求∠AED的度数；（2）若BE＝2，求OE的长．【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．【变式4】如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：∠1＝∠2．过关验收过关验收1．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（）A．42° B．44° C．46° D．48°2．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AC＝BD 3．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画AE分别交AC，BC于点D，E，若CD＝AB，∠B＝87°，则DE的度数为（）A．30° B．31° C．32° D．33°4．如图，△ABC内接于直径为10的圆O，AC=AD，AC+BD=180°A．2425 B．45 C．1055．如图1，已知AB，CD是⊙O中位于圆心上下两侧的两条弦，且AB+CD=180°，设弦AB＝x，CD2＝y，y关于x的函数图象如图2所示，当CD＝2ABA．355 B．5 C．656．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连接BD，AD．已知BD＝AD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．7 B．8 C．9 D．107．如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，若∠A．75° B．65° C．55° D．45°8．如图所示，已知在⊙O中，BC是直径，AB=A．∠AOB＝∠COD B．OA＝OB＝AB C．AB＝CD D．O到AB、CD的距离相等9．如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥ED，则（）A．AC＝AE B．AC＞AE C．AC＜AE D．AC与AE的大小关系无法确定10．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，分别交AB、BO于C、D．若∠B＝40°，则CD的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°11．如图，在⊙O中，AB=CD，有下列结论：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③12．下列说法中，正确的是（）A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心13．如图，AB是⊙O的直径．若BC=CD=DE，∠A．51° B．54° C．68° D．78°14．如图，在⊙O中，半径OC交弦AB于点D，点C为AB中点，若AB＝8，OC＝5，则OD的长为（）A．8 B．5 C．4 D．315．如图，在⊙O中，直径MN＝20，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝（）A．4 B．25 C．2616．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．如图是同一个任多进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（）A．当x1＜x2时，d（x1）＜d（x2） B．当d（x1）＜d（x2）时，x1＜x2 C．当x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） D．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2）17．已知⊙O中，AB=3CD，则弦AB和3CDA．AB＞3CD B．AB＝3CD C．AB＜3CD D．不能确定18．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6 B．7 C．8 D．919．如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④A．1 B．2 C．3 D．420．如图，AB是⊙O的直径，AD=CD，∠COB＝38°，则∠AOD的度数是21．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么AC所对的圆心角度数是．22．如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠AOE＝54°，则∠23．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD=22，则⊙O的半径为24．如图，点A，B，C都在⊙O上，B是AC的中点，∠OBC＝50°，则∠AOB等于°．25．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝．26．在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则∠AOB的度数．27．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径AB所在的直线上找一点P，连接CP交⊙O于点Q（异于点P），使PQ＝OQ，则∠CPO＝．28．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠EOB的度数为．已知AB，CD是同圆的两段弧，且CD=2AB，则弦CD与2AB之间的数量关系为CD2AB．（填“＞”，“＝”，“＜”）30．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：AC=31．如图，AB是圆O的弦，C、D是AB上两点，AC＝BD，求证：AF=32．将一个圆分成4个扇形，已知扇形AOB、AOD、BOD的圆心角的度数之比为2：3：4，OC为∠BOD的角平分线，求这4个扇形的圆心角度数．33．如图，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧为圆的13，⊙O的半径为R，求弦AB34．如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立以BC所在直线为x轴，OE所在直线为y轴的直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式；（2）该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高4.5米、宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，E为弧AD的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由．35．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD．（1）求证：BD=（2）若AC的度数为58°，求∠AOD的度数．36．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若AB＝45，BC＝8，求半径OA的长．37．如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结AB，CD，AC＝BD．设AC，BD交于点E．（1）求证：AE＝DE．（2）若AD=100°，AB＝ED，求AB38．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，连结AC，BD，求证：AC＝BD．40．如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8．（1）求证：AC=（2）若E为AC的中点，求BE的长．答案解析题型1圆心角、弧、弦的关系【典例1】如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点（1）求证：AD＝BE．（2）若AD＝DO，r＝3，求CD长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OC，∵AC=∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE，在△COD和△COE中，∠COD=∠COE∠CDO=∠CEO∴OD＝OE，∵OA＝OB，∴AD＝BE；（2）解：∵AD＝DO，r＝3，∴AD＝DO=3∵CD⊥OA，∴CD=O【变式1】如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AD＝BC，∴AD=∴AD+即CD=∴DC＝AB．【变式2】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E，已知∠BOC＝45°．（1）求∠AED的度数；（2）若BE＝2，求OE的长．【答案】（1）67.5°；（2）2．【解答】解：（1）∵BD是⊙O的直径，点A在⊙O上，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AD，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠BOC＝45°，∴∠BAC=12∠∴∠AED＝∠BAC+∠B＝45°+22.5°＝67.5°；（2）设OE＝x，则OB＝OC＝x+2，∴BD＝2x+4，∴AB=2x+22∵∠ABC＝∠BOC＝45°，∴AB∥OC，∴△COE∽△ABE，∴OCAB即x+22∴x=2∴OE=2【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴∠DEA=∠ADE=1（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵12•AF•BC=12•AC∴AF=1∴CF=3∵AC＝AD，AF⊥CD，∴CD=2CF=18【变式4】如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：∠1＝∠2．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OB、OC．∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠1＝∠2．过关验收过关验收1．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（）A．42° B．44° C．46° D．48°【答案】D【解答】解：如图，连接OA，∵AB＝CD，∴AB=∴AB−∴AC=∴∠AOC＝∠BOD＝84°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO=12（180°﹣∠AOC）故选：D．2．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AC＝BD 【答案】D【解答】解：∵AB＝CD，∴AB=∴AB−即AC=∴AC＝BD，∵AD和BD无法确定相等，∴无法判断AD＝BD，故选：D．3．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画AE分别交AC，BC于点D，E，若CD＝AB，∠B＝87°，则DE的度数为（）A．30° B．31° C．32° D．33°【答案】B【解答】解：连接BD，由题意得，AB＝BD，∴∠DAB＝∠ADB，∵CD＝AB，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠C，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠DAB＝∠ADB＝2∠DBC＝2∠C，∵∠ABC＝87°，∠BAC+∠C+∠ABC＝180°，∴3∠DBC＝93°，∴∠DBC＝31°，∴DE的度数为31°．故选：B．4．如图，△ABC内接于直径为10的圆O，AC=AD，AC+BD=180°A．2425 B．45 C．105【答案】A【解答】解：过A，O作圆的直径AF，连接DF，CD，∴∠ADF＝90°，∵AC=AD，直径为∴∠B＝∠AFD，AD＝AC＝3，根据勾股定理得DF=10−9∵AC+BD=180°，∠B∴∠AEB＝90°，∠ADF＝∠AEB＝90°，∴△AEB∽△ADF，∴AEAD∴AE＝3BE，设BE＝x，则AE＝3x，DE＝3﹣3x，∵BD=∴∠BAD＝∠BCD，又∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴AECE=BE∴EC＝9﹣9x，在Rt△AEC中，根据勾股定理得，9x2+（9﹣9x）2＝9，解得x1=45，∴BE=45，AE∴△ABE的面积为12故选：A．5．如图1，已知AB，CD是⊙O中位于圆心上下两侧的两条弦，且AB+CD=180°，设弦AB＝x，CD2＝y，y关于x的函数图象如图2所示，当CD＝2ABA．355 B．5 C．65【答案】C【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥CD于点E，OF⊥AB于点F，则AF=12AB，DE=12由条件可知∠AOB+∠COD＝180°，∴∠AOF+∠DOE=1∵∠AOF+∠FAO＝90°，∴∠DOE＝∠FAO，∵∠DEO＝∠AFO＝90°，OD＝OA，∴△OED≌△AFO（AAS），∴OE=AF=1∵CD＝2AB，∴OE=1由函数图象可知，当x＝0时，y＝9，此时CD为直径，∴⊙O的直径为9=3∴OD=3设OE＝x，则DE＝2x，由勾股定理得OD=O∴x=3∴CD=4OE=4x=4×3故选：C．6．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连接BD，AD．已知BD＝AD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解答】解：连接AC，由圆周角定理知，∠C＝∠B，∵AD＝BD∴∠B＝∠DAB，∴∠DAP＝∠C∴△DAP∽△DCA，∴AD：CD＝DP：AD，得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8．故选：B．7．如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，若∠A．75° B．65° C．55° D．45°【答案】A【解答】解：∵BC=CD=∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．故选：A．8．如图所示，已知在⊙O中，BC是直径，AB=A．∠AOB＝∠COD B．OA＝OB＝AB C．AB＝CD D．O到AB、CD的距离相等【答案】B【解答】解：对于选项A，∵AB=∴∠AOB＝∠COD，故选项A一定成立，不合题意；对于选项B，∵BC是⊙O的直径，弧AB＝弧DC，∴OA＝OB，∴当∠AOB＝∠COD＝60°时，OA＝OB＝AB，根据题意可知∠AOB与∠COD不一定等于60°，∴OA＝OB＝AB不一定成立，故选项B不一定成立，合题意；对于选项C，∵BC是⊙O的直径，AB=∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠COD，在△OAB和△ODC中，OB=OC∠AOB=∠COD∴△OAB≌△ODC（SAS），∴AB＝CD，故选项C一定成立，不合题意；对于选项D，∵△OAB≌△ODC，∴S△OAB＝S△ODC，又∵AB＝CD，∴点O到AB、CD的距离相等，故选项D一定成立，不合题意，故选：B．9．如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥ED，则（）A．AC＝AE B．AC＞AE C．AC＜AE D．AC与AE的大小关系无法确定【答案】A【解答】解：连接OE，如图，∵OE＝OD，∴∠1＝∠D，∵AB∥DE，∴∠COA＝∠D，∠1＝∠AOE，∴∠COA＝∠AOE，∴AC＝AE．故选：A．10．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，分别交AB、BO于C、D．若∠B＝40°，则CD的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【解答】解：如图所示，连接OC，由条件可知∠A＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝50°，∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠COD＝10°，∴CD的度数是10°；故选：A．11．如图，在⊙O中，AB=CD，有下列结论：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③【答案】B【解答】解：∵在⊙O中，AB=∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴AC=∴AC＝BD，∠AOC＝∠BOD，故②③④正确，∴正确的有①②③④．故选：B．12．下列说法中，正确的是（）A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心【答案】B【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．B、正确，本选项符合题意．C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．故选：B．13．如图，AB是⊙O的直径．若BC=CD=DE，∠A．51° B．54° C．68° D．78°【答案】D【解答】解：∵BC=∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝180°﹣∠BOC﹣∠COD﹣∠DOE＝78°．故选：D．14．如图，在⊙O中，半径OC交弦AB于点D，点C为AB中点，若AB＝8，OC＝5，则OD的长为（）A．8 B．5 C．4 D．3【答案】D【解答】解：连接OA，OB，∵点C为AB中点，∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，∴OC⊥AB，BD=12∵AB＝8，∴BD＝4，∵OB＝OC＝5，∴OD=O故选：D．15．如图，在⊙O中，直径MN＝20，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝（）A．4 B．25 C．26【答案】B【解答】解：连接OA，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠DCO＝180°﹣∠BCD＝180°﹣90°＝90°，∵∠POM＝45°，∴∠CDO＝90°﹣∠POM＝90°﹣45°＝45°，∴∠CDO＝∠POM，∴CO＝CD，∵MN＝20，∴OA=1设AB＝BC＝CD＝CO＝x，则BO＝BC+CO＝2x，∵AB2+BO2＝OA2，即x2+（2x）2＝102，解得x=25或x=−2∴AB=25故选：B．16．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．如图是同一个任多进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（）A．当x1＜x2时，d（x1）＜d（x2） B．当d（x1）＜d（x2）时，x1＜x2 C．当x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） D．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2）【答案】D【解答】解：当x1＝20%，x2＝80%时，d（x1）＝d（x2），故A错误；当x1＝80%，x2＝50%时，满足d（x1）＜d（x2），但x1＞x2，故B错误；当x1＝100%，x2＝50%时，满足x1＝2x2，但d（x1）＝0，d（x2）＝直径，d（x1）≠2d（x2），故C错误；当x1+x2＝1时，此时线段MN的长度是一样的，故d（x1）＝d（x2），故D正确．故选：D．17．已知⊙O中，AB=3CD，则弦AB和3CDA．AB＞3CD B．AB＝3CD C．AB＜3CD D．不能确定【答案】C【解答】解：∵⊙O中，AB=3CD∴设弧AE＝弧EF＝弧BF＝弧CD，连接AE、EF、BF，∴CD＝AE＝EF＝BF，∵AB＜AE+EF+BF，∴AB＜3CD，故选：C．18．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解答】解：连接AC，由圆周角定理知，∠C＝∠B，∵AD＝BD∴∠B＝∠DAB，∴∠DAP＝∠C∴△DAP∽△DCA，∴AD：CD＝DP：AD，得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8．故选：C．19．如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵在⊙O中，AB=∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∵弧AC＝弧BD，故④正确；∴AC＝BD，故②正确；∴③∠AOC＝∠BOD，故③正确．故选：D．20．如图，AB是⊙O的直径，AD=CD，∠COB＝38°，则∠AOD的度数是【答案】71°．【解答】解：∵∠COB＝38°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝142°，∵AD⌢∴∠AOD＝∠COD，∴∠AOD=1故答案为：71°．21．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么AC所对的圆心角度数是．【答案】90°．【解答】解：如图，作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接AQ，CQ，AC，由图可得圆心为点Q，∵AQ2＝12+22＝5，QC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AQ2+QC2＝AC2，∴△AQC为等腰直角三角形，∴AC所对的圆心角度数90°，故答案为：90°．22．如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠AOE＝54°，则∠【答案】42°．【解答】解：∵BC=∴OC＝∠COD＝∠EOD，∴∠COD=1∵∠AOE＝54°，∴∠EOB＝180°﹣54°＝126°，∠COD=1故答案为：42°．23．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD=22，则⊙O的半径为【答案】10【解答】解：如图，作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于点F，连接BE，∵∠DOC＝90°，∠AOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2，∵OD＝OE，OD＝OB，∴∠ODE=12×（180°﹣∠DOE），∠ODB=∴∠BDE＝180°−1∴∠BDF＝45°，∴DF＝BF=22∴EF＝4，由勾股定理得：BE=EF2∴OB＝OE=22BE故答案为：10．24．如图，点A，B，C都在⊙O上，B是AC的中点，∠OBC＝50°，则∠AOB等于°．【答案】80．【解答】解：∵OB＝OC，∴∠B＝∠C＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵B是AC的中点，∴∠AOB＝∠BOC＝80°．故答案为：80．25．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝．【答案】20°．【解答】解：如图，连接AO，BO，∴OA＝OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∠OAB＝∠OBA，∵AB＝BC，∴∠BOC＝∠AOB，∴∠OBA=12（180°﹣∠AOB）=12（180°﹣∠∵∠ABC＝40°，OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝20°．故答案为：20°．26．在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则∠AOB的度数．【答案】60°或300°．【解答】解：∵⊙O的半径为1，∴OA＝OB＝1，∵弦AB的长为1，∴OA＝OB＝AB＝1，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°或∠AOB＝360°﹣60°＝300°，\故答案为：60°或300°．27．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径AB所在的直线上找一点P，连接CP交⊙O于点Q（异于点P），使PQ＝OQ，则∠CPO＝．【答案】15°或30°或45°或105°【解答】解：当P在直线AB延长线上时，如图所示：连接OC，设∠CPO＝x°，∵PQ＝OQ，∴∠QOP＝∠CPO＝x°，∴∠CQO＝2x°，∵OQ＝OC，∴∠OCQ＝∠CQO＝2x°，∵点C为半圆上的四等分点，∴∠AOC＝45°或∠AOC＝90°（此时点C亦为半圆的二等分点），∴x+2x＝45或x+2x＝90，∴x＝15或x＝30，∴∠CPO＝15°或∠CPO＝30°，当P在直线BA延长线上，PC是切线时，点C与点Q重合，此时∠CPO＝45°．同理可得，当P在线段AB上时，∠CPO＝105°．故答案为：15°或30°或45°或105°．28．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠EOB的度数为．【答案】75°【解答】解：∵CD＝OE，OE＝OD，∴CD＝OD，∵∠C＝25°，∴∠DOC＝∠C＝25°，∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝50°，∴∠DOE＝180°﹣∠E﹣∠EDO＝80°，∵∠DOC＝25°，∴∠EOB＝180°﹣∠DOC﹣∠DOE＝180°﹣25°﹣80°＝75°，故答案为：75°．已知AB，CD是同圆的两段弧，且CD=2AB，则弦CD与2AB之间的数量关系为CD2AB．（填“＞”，“＝”，“＜”）【答案】＜．【解答】解：如图，取CD⌢的中点E，连接CE，DE则CE⌢∴CE＝DE，CD⌢∵CD⌢=2AB∴AB＝CE，∵CD＜CE+DE＝2CE，∴CD＜2AB．故答案为：＜．30．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：AC=【答案】见试题解答内容【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．∵OE＝OF，OG⊥EF于点G，∴∠EOG＝∠FOG，∴CH=又∵OG⊥AB于点G，∴AH=∴AH−即AC=31．如图，AB是圆O的弦，C、D是AB上两点，AC＝BD，求证：AF=【答案】见试题解答内容【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，在△OAC和△OBD中，OA=OB∠A=∠B∴△OAC≌△OBD，∴∠AOE＝∠BOF，∴AE=∴AF=32．将一个圆分成4个扇形，已知扇形AOB、AOD、BOD的圆心角的度数之比为2：3：4，OC为∠BOD的角平分线，求这4个扇形的圆心角度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵OC为∠BOD的角平分线，∴CD=∵扇形AOB、AOD、BOD的圆心角的度数之比为2：3：4，∴∠AOB：∠AOD：∠COD：∠BOC＝2：3：2：2，∵∠AOB+∠AOD+∠COD+∠BOC＝360°，∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝80°，∠AOD＝120°．33．如图，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧为圆的13，⊙O的半径为R，求弦AB【答案】3R．【解答】解：过O作OC⊥AB于点C，∴AB＝2AC，∵弦AB所对的劣弧为圆的13∴AB的度数为=1∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝30°，∴OC=12OA=∴AC=3OC=3∴AB=3R34．如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立以BC所在直线为x轴，OE所在直线为y轴的直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式；（2）该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高4.5米、宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，E为弧AD的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由．【答案】（1）抛物线的函数表达式为：y=−325x（2）这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由：当x＝3时，y=−325×32∴这辆货运卡车能顺利通过隧道；（3）这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由：设圆弧所在圆的圆心为点O′，则点O′在OE上，连接O′A，作MN⊥OE于点N，设MN＝3，圆弧所在圆的半径为r，连接O′M，由题意得：∠AFO′＝90°，AF＝5，EF＝6﹣3＝3，∴AF2+O′F2＝O′A2，∴52+（r﹣3）2＝r2，解得：r=17∴OO′＝6−17∴O′N=O'M∴ON=1∴这辆货运卡车能顺利通过隧道．【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为：y＝ax2+k，由题意得：点A坐标为（﹣5，3），点E的坐标为（0，6），∴25a+k=3k=6解得：a=−3∴抛物线的函数表达式为：y=−325x（2）这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由：当x＝3时，y=−325×32∴这辆货运卡车能顺利通过隧道；（3）这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由：设圆弧所在圆的圆心为点O′，则点O′在OE上，连接O′A，作MN⊥OE于点N，设MN＝3，圆弧所在圆的半径为r，连接O′M，由题意得：∠AFO′＝90°，AF＝5，EF＝6﹣3＝3，∴AF2+O′F2＝O′A2，∴52+（r﹣3）2＝r2，解得：r=17∴OO′＝6−17∴O′N=O'M∴ON=1∴这辆货运卡车能顺利通过隧道．35．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD．（1）求证：