4.5 相似三角形的性质及其应用 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

4.5相似三角形的性质及其应用内容导航内容导航题型1相似三角形的判定与性质题型2相似三角形的应用题型3三角形的重心题型4相似形综合题题型5三角形综合_基本型题型6三角形综合_运动型题型7三角形综合_变换型题型8三角形综合_存在型题型9三角形综合_存在型_特殊三角形题型10三角形综合_最值型题型11三角形综合_创新型考点演练考点演练题型1相似三角形的判定与性质解｜题｜知｜识（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．【典例1】如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论错误的是（）A．DEAE=EGEB B．GCAB=【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E为此三角形的重心，连接BE并延长交AC于点D，过点E作EF⊥AB于点F，则EF的长为（）A．85 B．65 C．8【变式3】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①BFBN+NGCNA．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误题型2相似三角形的应用解｜题｜知｜识（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【典例1】如图，小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E．C，E，A三点在同一直线上，B，C相距20米，D，C相距40米，乙楼的高BE为15米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高AD为（）A．40米 B．20米 C．15米 D．30米【变式1】手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型CD，手AB的长度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米．此时CD的长度是厘米．【变式2】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．【变式3】小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC，DC⊥AC，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高BE＝1.5米，且AB＝3米，CB的长度为9米．（1）求旗杆CD的高度；（2）小明在测量时发现通过地面BC直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离BF的长．题型3三角形的重心解｜题｜知｜识（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）【典例1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板ABC放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【变式1】如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（）A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行 B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行 C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行 D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行【变式2】一个三角形的重心是该三角形（）A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．以上都是【变式3】如图，点P是等边三角形ABC的重心，AB＝3，Q是BC边上一点，当PQ⊥BP时，则BQ的长为（）A．1 B．32 C．3 题型4相似形综合题解｜题｜知｜识主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．【典例1】【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF=12∠BAD，AE＝2，DF＝5，则菱形ABCD的边长为【变式1】【感知】新定义：如图1，在四边形ABCD中，若在四边形内部存在一点O，连接OA，OB，OC，OD，满足∠AOD+∠BOC＝180°，且OAOD=OBOC=k，则称四边形ABCD（1）如图2，正方形ABCD（填“是”或“否”）“蝴蝶四边形”，蝶比为．【探究】（2）如图3，在四边形ABCD中，∠AOD+∠BOC＝180°，取线段AB中点为点M，延长MO交线段CD于点N，若满足∠CNO＝∠COB，请判断四边形ABCD是否是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？并说明理由．【拓展】（3）如图4，四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中∠AOD＝∠BOC＝90°，∠OAD＝∠OBC＝α，过点O作OM⊥AB交AB于点M，延长MO交CD于点N．①“蝴蝶四边形”ABCD的蝶比为．（用含a的代数式表示）②求证：点N是线段CD的中点．③请直接写出ABON的值为．（用含a【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值．题型5三角形综合_基本型【典例1】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）如图1，联结CE，求证：CE＝BE；（2）如图2，如果cot∠ABC=247，求（3）如果以点D为圆心，DC长为半径的圆恰好经过Rt△ABC的斜边中线与边AD的交点F，且AC＝4，求边AB的长．【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、点E分别在线段BC和线段AB上，∠AED+∠ADB＝180°，AD平分∠BAC．（1）如图1，求证：AD⊥DE；（2）如图2，若AE＝2BE．求证：AB＝2AC；（3）在（2）问的条件下，如图3，在线段AB上取一点F，使AF＝AD．过点F作FK⊥AE交ED于点K，作∠AFG＝45°交AC于点G，连接FG，交AD于点H，连接KG，交AD于点T，若AE=23+2，求【变式2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是；（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC＝α时，求MEMD题型6三角形综合_运动型【典例1】在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．点P为直线AB上一个动点（点P不与点A，B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD＝PC．过点P作EP⊥PC于点P，点D，E在直线AB的异侧，且PE＝PC，连接BE．（1）如图1，当点P在线段AB上时，请依题意补全图形1，并证明∠ACP＝∠EPB；（2）如图2，当点P在AB的延长线上时，请依题意补全图2，猜想BE和BD的位置关系和数量关系，并证明你的结论；（3）如果点P在直线AB上运动（点P不与点A，B重合），请直接写出线段BC，BP，BE之间的数量关系（用等式表示）．【变式1】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF．（1）求证：△ADF≌△BED；（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是边BC上的一个动点，连接CP，以CA为一边，在△ABC外作∠CAD＝∠BCP，AD交BC的延长线于点D．（1）当CP平分∠ACB时，求△ACD的面积；（2）当AD⊥AB时，求∠BCP的正弦值；（3）设AP＝x，AD＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【变式3】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20．动点P在线段CB上，以1cm/s的速度从点C向B运动，连接AP，作CE⊥AB分别交AP、AB于点F、E，过点P作PD⊥AP交AB于点D．（1）线段CE＝；（2）若t＝5时，求证：△BPD≌△CAF；（3）t为何值时，△PDB是等腰三角形；（4）求D点经过的路径长．题型7三角形综合_变换型【典例1】如图（1），已知CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE，将△DCE绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）在△DCE绕C点旋转的过程中，若ED、AB所在的直线交于点F，当点F为边AB的中点时，如图2所示．求证：∠ADF＝∠BEF（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）；（3）在（2）的条件下，求证：AD⊥CD．【变式1】已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接EF、BF；（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值．（3）若M为DF中点，连接CM与BF延长线交于点N，若CN=52MN，FN＝11，求题型8三角形综合_存在型【典例1】已知：在平面直角坐标系中，点A（3a+2b，4a+b）在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1．（1）求点B（2a+3b，2a+b）的坐标；（2）若AC∥y轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，请直接写出点C的坐标；（3）在坐标轴上是否存在一点M，使△ACM的面积＝△ABC的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P在线段BC上，点Q在线段AB上，且PQ＝BQ，延长QP交射线AC于点D．（1）求证：QA＝QD；（2）设∠BAP＝α，当2tanα是正整数时，求PC的长；（3）作点Q关于AC的对称点Q′，连接QQ′，AQ′，DQ′，延长BC交线段DQ′于点E，连接AE，QQ′分别与AP，AE交于点M，N（如图2所示）．若存在常数k，满足k•MN＝PE•QQ′，求k的值．题型9三角形综合_存在型_特殊三角形【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C．（1）当AD＝1时，求FB的长；（2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．【变式1】如图1，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AB上且BD=154，点P，Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设BQ＝x，AP＝（1）求AD的值．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，连结PQ，EQ．①当△PEQ为等腰三角形时，求x的值．②过D作DF⊥BC于点F，作点F关于EQ的对称点F'，当点F'落在△PQB的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为97＜x＜题型10三角形综合_最值型【典例1】如图，点D，点E分别在等腰Rt△ABC的边AB，AC上，且BD＝AE，已知AB＝2，设BD＝x，△ADE的面积为S．（1）求S关于x的函数表达式；（2）求出S的最大值及此时x的值；（3）对于DE的最小值问题，方方说：“当S取到最大时，DE取到最小值”，你是否同意方方的说法？并说明理由．【变式1】如图，已知等腰直角三角形ABC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点P为AC的中点，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF＝45°，设图中阴影部分图形的面积为S1．（1）求证：∠APE＝∠CFP；（2）若AE＝CF，求CF的长；（3）设△CPF的面积为S2，CF＝x，y=S1S2．求y关于x的函数解析式和自变量题型11三角形综合_创新型【典例1】如图，已知∠AOB＝90°，∠AOB的内部有一点P，且OA＝OB＝OP＝10，过点B作BC∥AP交AO于点C，OP与BC交于点D．（1）如果tan∠AOP=34，求（2）设AP＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果BD＝AP，求△PBD的面积．【变式1】已知：在△ABC中，AB＝6，BC＝5，tanB=43，点P是边BC上的一个动点，点E在BA的延长线上，且∠ACE＝∠BAP，设BP＝x，AE＝（1）当AP平分∠BAC（如图﹣1）时，求y的值；（2）当EC⊥BC时，求∠BAP的正弦值；（3）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．过关验收过关验收1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AE＝3ED，F是DC的中点．AF与BE相交于点G．则AGGFA．1 B．65 C．54 2．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（）A．ABAF=DEAE B．AEAD=3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝1：9，则DE：DC＝（）A．3：1 B．1：2 C．2：3 D．1：34．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（）A．2cm B．52cm C．3cm 5．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（）A．5cm B．6011cm C．6cm 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（）A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm7．我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法，如图所示；设曲尺平行于水平线的一边DE长度为a，垂直于水平线的一边CD长度为b，当人眼F，曲尺两边端点C，E，物体AB的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高度为h，人眼F到物体AB的水平距离为c，则物体AB的高度x是（）A．bca+h B．bca−h C．8．如图，小位用两根长度不等的木条AC、BD可测得花瓶内口径AB的宽度．如果ACOC=BDOD=3，且量得CDA．30cm B．40cm C．50cm D．60cm9．直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为．10．一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6，那么这个直角三角形的斜边长是．11．Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB＝6，G为重心，则CG＝．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），点A（1，0），B（0，2），C（3，0），点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．【模型构建】如图1，已知∠B＝∠C，如果∠AED＝∠B，那么△ABE∽△ECD．我们把这种图形叫做“一线三等角”．【探究应用】如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，BC＝6，点E在边BC上，BE＝4，P、Q分别是边AD、BE的中点．如果∠AED＝60°，且AE=12DE，那么PQ14．（1）问题发现如图1，在正方形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ，垂足为点M．求证：BP＝AQ．（2）类比探究如图2，在矩形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ，垂足为点M．求证：BPAQ（3）拓展延伸如图3，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，AD＝9，点P和Q分别在AD和DC上，BP与AQ交于点M且∠BMQ＝120°，AP＝2，求BPAQ的值．15．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．①若DE＝1，BD=32，求BC的长；②如果△ACD是等腰三角形，请直接写出（2）如图2，∠CBD和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3，若S1⋅S16．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．（1）如图，如果OC＝2，求S△ADE（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．17．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，Rt△ABC中∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC＝20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．（1）在图2的△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°，请在图2中画出△ABC关于点B的二分割线，且∠DBC角度是．（2）已知∠C＝20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，∠BAC的度数是．（3）已知∠C＝a，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，请求出∠BAC的度数（用a表示）．18．已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．（1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；（2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；（3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．答案解析题型1相似三角形的判定与性质【典例1】如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∴△DEF∽△BEC，∴DFBC∵EF＝1，EC＝3，∴DFBC即DFAD∴DFAF∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴DFAF∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴4GF∴GF＝8，故选：C．【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论错误的是（）A．DEAE=EGEB B．GCAB=【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵E是AD延长线上一点，BE交DC于点G，∴DG∥AB，∴△DGE∽△ABE，∴DEAE故A不符合题意；∵CG∥AB，∴△CGF∽△ABF，∴GCAB=CF∴GCCD故B不符合题意，C不符合题意；∵EGEB∴如果EGEB=GC∴DG＝GC，∴BE经过CD的中点，显然题中并没有这一条件，∴EGEB故D符合题意，故选：D．【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E为此三角形的重心，连接BE并延长交AC于点D，过点E作EF⊥AB于点F，则EF的长为（）A．85 B．65 C．8【答案】A【解答】解：过D作DH⊥AB于H，∵E为此三角形的重心，∴AD=12AC=1∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=A∵∠AHD＝∠ACB＝90°，∵∠DAH＝∠BAC，∴△ADH∽△ABC，∴DH：BC＝AD：AB，∴DH：6＝4：10，∴DH=12∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴EF∥DH，∴△BEF∽△BDH，∴EF：DH＝BE：BD，∴EF：125∴EF=8故选：A．【变式3】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①BFBN+NGCNA．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误【答案】C【解答】解：∵四边形DEGF是正方形，∴DE∥BC，DF∥EG，∵AN∥DF，∴AN∥EG∥DF，∴BFBN∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB∴BFBN∵△ADE∽△ABC，∴DEBC∵AN∥DF，∴△BDF∽△BAN，∴DFAN∴DEBC故选：C．题型2相似三角形的应用【典例1】如图，小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E．C，E，A三点在同一直线上，B，C相距20米，D，C相距40米，乙楼的高BE为15米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高AD为（）A．40米 B．20米 C．15米 D．30米【答案】D【解答】解：∵AD∥BE∴△CBE∽△CDA，∴CBCD=BE∴AD＝30，故选：D．【变式1】手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型CD，手AB的长度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米．此时CD的长度是厘米．【答案】18．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴OGOH∴100120∴CD＝18，答：CD的长度是18厘米，故答案为：18．【变式2】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x，∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AK∴y=−32x+120（0＜（2）这个同学的说法错误．理由如下：S＝xy=−32x2+120x=−32（当x＝40时，S有最大值2400，此时y=−3即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【变式3】小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC，DC⊥AC，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高BE＝1.5米，且AB＝3米，CB的长度为9米．（1）求旗杆CD的高度；（2）小明在测量时发现通过地面BC直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离BF的长．【答案】（1）旗杆CD的高度为6米；（2）小水坑F到小明的距离BF的长为95【解答】解：（1）∵BE⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴BECD=AB解得CD＝6，答：旗杆CD的高度为6米；（2）由题意得∠EFB＝∠DFC，由题意可得：∠EBF＝∠DCF，∴△EBF∽△DCF，∴EBCD=BF解得BF=9答：小水坑F到小明的距离BF的长为95题型3三角形的重心【典例1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板ABC放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】A【解答】解：设AD所在的格线与BC交于点M，CD所在的格线交AB于点N，如图所示：设正方形网格中的小正方形的边长为1，由勾股定理得：BM=42+12=17，CM=∴BM＝CM=17，AN＝BE=2∴AM，CN是△ABC的中线，又∵AM与CN的交点为D，∴点D是△ABC的重心．故选：A．【变式1】如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（）A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行 B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行 C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行 D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行【答案】A【解答】解：∵△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6，∴S△ABC＝10+8+6＝24，∵△ABC的重心为G，∴S△GBC=13S△ABC∴S△GBC＝S△DBC＝8，∴点D、G到BC的距离相等，且位于BC的同侧，∴DG∥BC，故结论A正确；结论B、C、D错误；故选：A．【变式2】一个三角形的重心是该三角形（）A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．以上都是【答案】C【解答】解：根据三角形三条中线的交点叫作三角形的重心可得：重心是中线的交点．故选：C．【变式3】如图，点P是等边三角形ABC的重心，AB＝3，Q是BC边上一点，当PQ⊥BP时，则BQ的长为（）A．1 B．32 C．3 【答案】D【解答】解：∵点P是等边三角形ABC的重心，∴DB是△ABC的中线，BP：BD＝2：3，∴BD⊥AC，∵PQ⊥BP，∴PQ∥AC，∴BQ：BC＝BP：BD＝2：3，∵BC＝AB＝3，∴BQ＝2．故选：D．题型4相似形综合题【典例1】【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF=12∠BAD，AE＝2，DF＝5，则菱形ABCD的边长为【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴ADAC∴AC2＝AD•AB．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C．又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF．∴BFBC∴BF2＝BE•BC．∴BC=B∴AD=16（3）解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC=12∠∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF=12∠∴∠EDF＝∠BAC．∴∠EDF＝∠G．又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD．∴EDEG∴DE2＝EF•EG．又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2．∴DE=2EF又∵DGDF∴DG=2DF＝52∴DC＝DG﹣CG＝52−故答案为：52−【变式1】【感知】新定义：如图1，在四边形ABCD中，若在四边形内部存在一点O，连接OA，OB，OC，OD，满足∠AOD+∠BOC＝180°，且OAOD=OBOC=k，则称四边形ABCD（1）如图2，正方形ABCD（填“是”或“否”）“蝴蝶四边形”，蝶比为．【探究】（2）如图3，在四边形ABCD中，∠AOD+∠BOC＝180°，取线段AB中点为点M，延长MO交线段CD于点N，若满足∠CNO＝∠COB，请判断四边形ABCD是否是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？并说明理由．【拓展】（3）如图4，四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中∠AOD＝∠BOC＝90°，∠OAD＝∠OBC＝α，过点O作OM⊥AB交AB于点M，延长MO交CD于点N．①“蝴蝶四边形”ABCD的蝶比为．（用含a的代数式表示）②求证：点N是线段CD的中点．③请直接写出ABON的值为．（用含a【答案】（1）是，1；（2）四边形ABCD是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”，理由如下，如图，延长OM到点E，使得EM＝OM，连接BE，∵线段AB中点为点M，EM＝OM，∴AM＝BM，∠AMO＝∠BME，EM＝OM，∴△AMO≌BME（SAS），∴∠OAM＝∠EBM，∠E＝∠AOM，AO＝EB，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∠CNO＝∠COB，∴∠AOD+∠CNO＝180°，∠AOB+∠DOC＝360°﹣（∠AOD+∠BOC）＝180°，∴∠AOD＝∠DNO，在△AOB中，∠OAM+∠OBM＝180°﹣∠AOB，∴∠DNO+∠NDO＝∠AOD+∠AOM，∠OAM+∠OBM＝∠AOB+∠DOC﹣∠AOB＝∠DOC，∴∠AOM＝∠NDO，∠OAM+∠OBM＝∠DOC，∴∠E＝∠NDO，∠EBM+∠OBM＝∠EBO＝∠DOC，即∠E＝∠NDO，∠EBO＝∠DOC，∴△EBO∽△DOC，∴EBOD∴AOOD∴四边形ABCD是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”；（3）①cotα；②如图，延长ON作DF∥OC交于点F；∴∠F＝∠NOC，∠FDN＝∠OCN，∵四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中∠AOD＝∠BOC＝90°，过点O作OM⊥AB交AB于点M，∴∠DOF+∠AOM＝∠AOM+∠MAO，∴∠MAO＝∠DOF，同理可得：∠OBM＝∠CON＝∠F，∴△ABO∽△OFD，∴AOOD∵四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，∴AOOD∴DF＝OC，∴△DFN≌△CON（ASA），∴DN＝CN，∴点N是线段CD的中点；③2cotα；【解答】解：（1）由题意可知：正方形ABCD中OAOD=OBOC=1故答案为：是，1；（2）四边形ABCD是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”，理由如下，如图，延长OM到点E，使得EM＝OM，连接BE，∵线段AB中点为点M，EM＝OM，∴AM＝BM，∠AMO＝∠BME，EM＝OM，∴△AMO≌BME（SAS），∴∠OAM＝∠EBM，∠E＝∠AOM，AO＝EB，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∠CNO＝∠COB，∴∠AOD+∠CNO＝180°，∠AOB+∠DOC＝360°﹣（∠AOD+∠BOC）＝180°，∴∠AOD＝∠DNO，在△AOB中，∠OAM+∠OBM＝180°﹣∠AOB，∴∠DNO+∠NDO＝∠AOD+∠AOM，∠OAM+∠OBM＝∠AOB+∠DOC﹣∠AOB＝∠DOC，∴∠AOM＝∠NDO，∠OAM+∠OBM＝∠DOC，∴∠E＝∠NDO，∠EBM+∠OBM＝∠EBO＝∠DOC，即∠E＝∠NDO，∠EBO＝∠DOC，∴△EBO∽△DOC，∴EBOD∴AOOD∴四边形ABCD是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”；（3）①∵四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中∠AOD＝∠BOC＝90°，∠OAD＝∠OBC＝α，∴AOOD在Rt△AOD中，AOOD故答案为：cotα；②如图，延长ON作DF∥OC交于点F；∴∠F＝∠NOC，∠FDN＝∠OCN，∵四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中∠AOD＝∠BOC＝90°，过点O作OM⊥AB交AB于点M，∴∠DOF+∠AOM＝∠AOM+∠MAO，∴∠MAO＝∠DOF，同理可得：∠OBM＝∠CON＝∠F，∴△ABO∽△OFD，∴AOOD∵四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，∴AOOD∴DF＝OC，∴△DFN≌△CON（ASA），∴DN＝CN，∴点N是线段CD的中点；③∵△ABO∽△OFD，∴ABOF又∵△DFN≌△CON，∴NF=ON=1∴ABOF∴ABON故答案为：2cotα．【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，∴∠DCF＝∠DCB＝∠DAE＝∠ADC＝90°，BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∴∠ADE+∠CDE＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠CDF+∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF；（2）y=2（3）x=−5+894【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，∴∠DCF＝∠DCB＝∠DAE＝∠ADC＝90°，BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∴∠ADE+∠CDE＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠CDF+∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF；（2）解：由（1）可知△ADE∽△CDF，∴EAFC∵设AE＝x，DH＝y，∴FC＝2EA＝2x，∴CH＝CD﹣DH＝2﹣y，BE＝AB﹣AE＝2﹣x，FB＝CF+BC＝2x+1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△FCH∽△FBE，∴FCFB∴2x2x+1∴y=2（3）解：如图，延长BG交CD于点P，∵AB∥CD，∴△AEG∽△CHG，∴EGHG∴EGEH∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠CHF＝∠DHE，若△BGE∽△DEH，∴BEDH∴BEDH=AE化简得：x2+2y﹣4＝0，∵y=2∴x2化简得：2x2+5x﹣8＝0，解得：x=−5+894若△BGE∽△EDH，则∠∠DEH＝∠GBE，∵BE∥DH，∴∠BPC＝∠GBE＝∠DEH，∴tan∠BPC＝tan∠DEF，∴BCPC∴PC=1∵AB∥CD，∴△ABG∽△CPG，∴ABCP又∵△AEG∽△CHG，∴AECH∴AECH=AB整理得：x+4y﹣8＝0，∵y=2∴x+4×2整理得：2x2﹣3x＝0，∴x1=32综上所述，当△BGE与△DEH相似时，x=−5+894题型5三角形综合_基本型【典例1】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）如图1，联结CE，求证：CE＝BE；（2）如图2，如果cot∠ABC=247，求（3）如果以点D为圆心，DC长为半径的圆恰好经过Rt△ABC的斜边中线与边AD的交点F，且AC＝4，求边AB的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图1，延长BE，AC相交于点P，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠PAE，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEP＝90°，∵AE＝AE，∴△ABE≌△APE（ASA），∴BE＝EP，∴BE=12在Rt△BCF中，CE=12∴CE＝BE；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，cot∠ABC=BC设AC＝7x，则BC＝24x，根据勾股定理得，AB＝25x，过点D作DG⊥AB于G，∵AD是∠BAC的平分线，∠ACB＝90°，∴DG＝DC，∴S△ACD∴CDBD∴CDBD∴CDBD+CD∴CD=732BC=732×∴BD=754在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD=AC∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD∽△BED，∴ADBD∴DE=BD⋅CDAD∴ADDE（3）解：如备用图，设∠CAD＝x，则∠BAC＝2x，∵CM是Rt△ABC的斜边AB的中线，∴CM＝AM，∴∠BAC＝∠ACM＝2x，∴∠DFC＝∠CAD+∠ACM＝3x，∵以点D为圆心，DC长为半径的圆恰好经过Rt△ABC的斜边中线与边AD的交点F，∴DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF＝3x，∴∠ACM+DCF＝2x+3x＝5x＝90°，∴x＝18°，∴∠BAC＝36°，在Rt△ABC中，AB=ACcos36°=【注】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC，证明：cos36°=5证明：设AB＝AC＝m，BC＝n，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝36°＝∠∴BD＝AD，∵∠BDC＝180°﹣∠CBD＝∠C＝72°＝∠C，∴BD＝CD＝n，∴AD＝n，∴CD＝AC﹣BD＝m﹣n．∵∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴ACBC∴mn∴m=5+12n或m过点B作BE⊥AC于E，则CE=12CD=12（m﹣n∴AE＝AC﹣CE＝m−5−14n∴cosA＝cos36°=AE【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、点E分别在线段BC和线段AB上，∠AED+∠ADB＝180°，AD平分∠BAC．（1）如图1，求证：AD⊥DE；（2）如图2，若AE＝2BE．求证：AB＝2AC；（3）在（2）问的条件下，如图3，在线段AB上取一点F，使AF＝AD．过点F作FK⊥AE交ED于点K，作∠AFG＝45°交AC于点G，连接FG，交AD于点H，连接KG，交AD于点T，若AE=23+2，求【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠AED+∠ADB＝180°，∠AED+∠BED＝180°，∴∠ADB＝∠BED，∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△DEB，∴∠BDE＝∠BAD＝∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝∠ADE+∠BDE，∴∠ADE＝∠C＝90°，∴AD⊥DE；（2）如图2，设BE＝x，则AE＝2x，由（1）知：△ADB∽△DEB，∴ABBD∴3xBD∴BD2＝3x2，∴BD=3x∴ADDE∴∠AED＝60°，∴∠EAD＝∠CAD＝30°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC；（3）如图3，过E作ER⊥BC于R，延长ED、AC交于点M，过G作GN⊥EM于N，∵AE＝23+2，AE＝2BE∴BE=3∵∠ADC＝60°，∠ADE＝90°，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴BE＝DE=3∴BD＝2BR，Rt△BER中，ER=12BEBR=3∴BD＝2BR＝3+3=AD＝Rt△ADC中，∠DAC＝30°，∴DC=12AD=3+3DM=3Rt△EFK中，EF＝AE﹣AF＝23+2﹣（3+3）∵∠AEK＝60°，∴EK＝2EF＝23−∴DK=3+1﹣（23−∵∠AFH＝45°，∠FAH＝30°＝∠GAH，∴∠AHG＝75°，∠AGH＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴AG＝AH，过H作HL⊥AF于L，∵∠LFH＝45°，∴FL＝HL，设FL＝x，则HL＝x，AH＝AG＝2x，AL=3x∵AL+FL＝AF，∴x+3x＝3+x=3∴AG＝23，∴CG＝AC﹣AG=12AB﹣AG=1∴GM＝CG+CM＝2，Rt△GNM中，∠M＝60°，∠NGM＝30°，∴MN=12∴DN＝DM﹣MN=3+1﹣1=3，∴KN＝KD+DN＝3−3∵DT∥NG，∴△KDT∽△KNG，∴DTNG∴DT3=3−3【变式2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是；（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC＝α时，求MEMD【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠BED＝∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝45°，∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝45°＝∠ECB，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∵DA＝DC，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE＝45°，∴MD＝ME，故答案为MD＝ME；（2）MD=3ME如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，∵DA＝DC，∠ADC＝60°，∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝30°，∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝30°＝∠ECB，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∵DA＝DC，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE＝30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=ME∴MD=3ME（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC＝∠DAC，∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠BNC＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC＝α，∴∠MDE=α在Rt△MDE中，MEMD=tan∠MDE＝tan题型6三角形综合_运动型【典例1】在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．点P为直线AB上一个动点（点P不与点A，B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD＝PC．过点P作EP⊥PC于点P，点D，E在直线AB的异侧，且PE＝PC，连接BE．（1）如图1，当点P在线段AB上时，请依题意补全图形1，并证明∠ACP＝∠EPB；（2）如图2，当点P在AB的延长线上时，请依题意补全图2，猜想BE和BD的位置关系和数量关系，并证明你的结论；（3）如果点P在直线AB上运动（点P不与点A，B重合），请直接写出线段BC，BP，BE之间的数量关系（用等式表示）．【答案】（1）作图证明见解析部分；（2）结论：BE＝BD，BE⊥BD．证明见解析部分；（3）结论：BE＝BC+2PB或BE＝BC−2PB或BE=2PB【解答】（1）①解：图形如图所示：②证明：∵PE⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠A＝∠EPC＝90°，∵∠BPC＝∠EPB+∠EPC＝∠A+∠ACP，∴∠EPB＝∠ACP；（2）解：结论：BE＝BD，BE⊥BD．理由：如图2中，过点P作PT⊥PB交CD于点T．∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝∠PBT＝45°，∵PT⊥PB，∴∠PTB＝∠PBT＝45°，∴PB＝PT，∵∠TPB＝∠CPE＝90°，∴∠TPC＝∠BPE，∵PT＝PB，PC＝PE，∴△TPC≌△BPE（SAS），∴∠CTP＝∠EPB＝45°，CT＝BE，∴∠CBP＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴BE⊥BD，∵PD＝PC，∴∠D＝∠PCB，∵∠PTD＝∠PBC＝135°，∴△PTD≌△PBC（AAS），∴DT＝BC，∴BD＝CT＝BE，∴BE＝BD，BE⊥BD．（3）当点P值AB的延长线上时，如图2中，BE＝BD＝DT+BT＝BC+TB＝BC+2PB当点P在线段AB上时，如图3中，过点P作PF⊥PB交BC于点F．同法可证BE＝BD＝CF，∴BE＝BC﹣BF＝BC−2PB当点P在BA的延长线上时，如图4中，过点P作PF⊥PB交BC的延长线于点F．同法可证BE＝BD＝CF，∴BE＝BF﹣BC=2PB﹣BC综上所述，BE＝BC+2PB或BE＝BC−2PB或BE=2PB【变式1】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF．（1）求证：△ADF≌△BED；（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC，∵AD＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，AD=BE∠A=∠B∴△ADF≌△BED（SAS）；（2）334x2﹣33x+4（3）当x≥2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，即当2≤x≤4时，△DEF的面积随AD的增大而增大，当0≤x≤2时，△DEF的面积随AD的增大而减小．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC，∵AD＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，AD=BE∠A=∠B∴△ADF≌△BED（SAS）；（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∴CH＝AC•sin60°＝23，S△ABC=12AB•CH＝4∵AD的长为x，则AD＝BE＝CF＝x，AF＝4﹣x，∴FG＝AF•sin60°=32（4﹣∴S△ADF=12AD•FG=34由（1）可知△ADF≌△BED，同理可证，△BED≌△CFE，∴S△ADF＝S△BDE＝S△CFE=34x（4﹣∵△DEF的面积为y，∴y＝S△ABC﹣3S△ADF＝43−334x（4﹣x）=334x（3）由（2）可知：y=334x2﹣33x∵a=334＞∴当x≥2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，即当2≤x≤4时，△DEF的面积随AD的增大而增大，当0≤x≤2时，△DEF的面积随AD的增大而减小．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是边BC上的一个动点，连接CP，以CA为一边，在△ABC外作∠CAD＝∠BCP，AD交BC的延长线于点D．（1）当CP平分∠ACB时，求△ACD的面积；（2）当AD⊥AB时，求∠BCP的正弦值；（3）设AP＝x，AD＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【答案】（1）10；（2）725（3）y=525x【解答】解：（1）如图1中：过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，过点A作AH⊥BC于点H．∵PC平分∠ACB，PE⊥CB，PF⊥AC，∴PE＝PF，∴S△ACP∴PAPB∵∠CAD＝∠BCP＝∠ACP，∴CP∥AD，∴CDCB∴CD＝5，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH=A∴S△ACD=12•CD•AH（2）如图2中．过点A作AT⊥BC于点T，过点C作CE⊥AD于点E．∵∠B＝∠B，∠ATB＝∠BAD＝90°，∴△BAT∽BDA，∴AB2＝BT•BD，∴BD=25∴DT=163，CD∴AT＝4，∴AD=A∵∠D＝∠D，∠CED＝∠BAD＝90°，∴△DEC∽△DAB，∴CDBD∴73∴CE=7∴sin∠BCP＝sin∠CAE=CE（3）如图3中，在CB上取一点T，使得TA＝TC．∵AB＝AC，TA＝TC，∴∠B＝∠ACB＝∠CAT，∴△CAT∽△CBA，∴CA2＝CT•CB，∴CT＝AT=25∵∠CAD＝∠BCP，∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝∠D+∠CAD，∴∠ACP＝∠D，∵∠APC＝∠B+∠BCP，∠DAT＝∠CAD+∠CAT，∴∠CPA＝∠DAT，∴△DAT∽△CPA，∴ADCP过点C作CF⊥AB，则有12AB•CF=∴CF=24∴AF=C∴CP=C∴y(∴y=525x【变式3】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20．动点P在线段CB上，以1cm/s的速度从点C向B运动，连接AP，作CE⊥AB分别交AP、AB于点F、E，过点P作PD⊥AP交AB于点D．（1）线段CE＝；（2）若t＝5时，求证：△BPD≌△CAF；（3）t为何值时，△PDB是等腰三角形；（4）求D点经过的路径长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=1∵CE⊥AB，∴S△ABC=12AC•BC=12∴15×20＝25CE，∴CE＝12，故答案为：12；（2）由题意得：CP＝t，∵t＝5，∴BP＝20﹣5＝15，∴AC＝BP，∵AP⊥PD，∴∠APD＝90°，∴∠APC+∠BPD＝∠APC+∠CAP＝90°，∴∠BPD＝∠CAP，∵∠ACE+∠BCE＝∠BCE+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，∴△BPD≌△CAF（ASA）；（3）如图1，作DG⊥BC，垂足为G，由（2）得：∠CAP＝∠GPD，当DP＝DB时，∴∠GPD＝∠B，∴tan∠GPD＝tan∠B=3∴CP15∴CP=454，即t如图2，当PD＝PB时，∠B＝∠PDB，而∠PDB是一个钝角，此种情况不成立；当BD＝PB时，∠ADP＜90°，∴∠PDB是一个钝角，所以此种情况也不成立；综上所述，t为454秒时，△PDB（4）如图3，以AD为直径构建⊙O，∵∠APD＝90°，∴P在⊙O上，当半径最小时，即OP⊥BC时，BD最大，设⊙O的半径为r，∵OP∥AC，∴△BPO∽△BCA，∴POAC∴r15r=75∴BD＝25﹣2r=25则点P在运动过程中，点D的运动路径＝2BD=25题型7三角形综合_变换型【典例1】如图（1），已知CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE，将△DCE绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）在△DCE绕C点旋转的过程中，若ED、AB所在的直线交于点F，当点F为边AB的中点时，如图2所示．求证：∠ADF＝∠BEF（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）；（3）在（2）的条件下，求证：AD⊥CD．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程；（3）见解析过程．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）过点B作BG∥AD，交ED的延长线于G，∴∠DAF＝∠GBF，∵点F是AB的中点，∴AF＝BF，又∵∠AFD＝∠BFG，∴△AFD≌△BFG（ASA），∴∠ADF＝∠FGB，AD＝BG，由（1）可知△ACD≌△BCE，∴BE＝AD，∴AD＝BG＝BE，∴∠BEF＝∠BGE，∴∠ADF＝∠BEF；（3）∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵∠ADF＝∠BEF，∴∠ADF+∠CDE＝∠BEF+∠CED＝∠BEC，由（1）可知△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵∠ADF+∠CDE+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥CD．【变式1】已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接EF、BF；（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值．（3）若M为DF中点，连接CM与BF延长线交于点N，若CN=52MN，FN＝11，求【答案】（1）证明见解答；（2）37（3）14．【解答】解：（1）过E作EH⊥BC于H，连接DH，∵∠C＝60°，∴∠HEC＝30°，∴CE＝2CH，∵CE＝2AD，∴CH＝AD，∴CHBC∴HD∥AC，∴△BHD为等边三角形，∠DHE＝∠HEC＝30°，∴HD＝BD，∵∠EDF＝60°，∴∠HDE＝∠BDF，在△DHE与△DBF中，HD＝BD，∠HDE＝∠BDF，ED＝FD，∴△DHE≌DBF（SAS），∴∠DBF＝∠DHE＝30°，∴∠CBF＝∠DBF，即BF平分∠ABC；（2）设AD＝a，则CE＝2AD＝2a，若AE＝2CE，则AE＝4a，在△ADE中，AE＝4a，AD＝a，∠A＝60°，过点D作DH⊥AC于点H，则AH=12AD=12a，HD＝AD则tan∠DEA=DH（3）延长BN交AC于P，连接EM，连接PM并延长交AB于Q，EM与BP交于K，由（1）可知BF是∠ABC的平分线，△DEF是等边三角形，又∵△ABC是等边三角形，∴∠BPC＝90°，∵△DEF是等边三角形，M是DF的中点，∴∠EMF＝90°，∠FEM＝30°，∴∠BPC＝∠EMF＝90°，又∵∠EKP＝∠FKM，∴△KPE∽△KMF，∴EKFK∵∠EKF＝∠MKP，∴△KPM∽△KEF，∴∠BPM＝∠FEM＝30°，∴∠BPM＝∠PBC＝30°，∴PQ∥BC，∴△APQ为等边三角形，△PMN∽△BCN，∴MN：CN＝PN：BN＝PM：BC＝2：5，∵∠A＝∠EDF＝∠PQA＝60°，∠EDQ＝∠A+∠AED，∠EDQ＝∠EDF+∠MDQ，∴∠AED＝∠MDQ，∴△QMD∽△ADE，∴QM：AD＝MD：ED＝1：2，设PM＝4a，则BC＝10a，而△APQ为等边三角形，故PQ＝5a，则QM＝a，AD＝2a，而CE＝2AD，故CE＝4a，而PB＝BC•cos30°＝53a，∴BN=253由（1）可知EH＝BF＝23a，∴FN=11∴BF：FN＝14：11∴BF=1411题型8三角形综合_存在型【典例1】已知：在平面直角坐标系中，点A（3a+2b，4a+b）在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1．（1）求点B（2a+3b，2a+b）的坐标；（2）若AC∥y轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，请直接写出点C的坐标；（3）在坐标轴上是否存在一点M，使△ACM的面积＝△ABC的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（﹣4，0）；（2）（1，2）；（3）（−12，0）或（【解答】解：（1）∵点A在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，∴点A的坐标为（1，﹣2），则3a+2b=−14a+b=2解得：a=1b=−2∴2a+3b＝﹣4，2a+b＝0，∴点B的坐标为（﹣4，0）；（2）∵AC∥y轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，∴点A与点C关于x轴对称，∴点C的坐标为（1，2）；（3）存在，理由如下：∵点A的坐标为（1，﹣2），点C的坐标为（1，2），∴AC＝4，∴S△ABC=1当点M在y轴上时，S△ACM=1∴y轴上不存在一点M，使△ACM的面积＝△ABC的面积的一半，当点M在x轴上时，设点M的坐标为（m，0），则12×4×|m﹣1|解得：m=−12或∴点M的坐标为（−12，0）或（52，0）时，△ACM【变式1】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P在线段BC上，点Q在线段AB上，且PQ＝BQ，延长QP交射线AC于点D．（1）求证：QA＝QD；（2）设∠BAP＝α，当2tanα是正整数时，求PC的长；（3）作点Q关于AC的对称点Q′，连接QQ′，AQ′，DQ′，延长BC交线段DQ′于点E，连接AE，QQ′分别与AP，AE交于点M，N（如图2所示）．若存在常数k，满足k•MN＝PE•QQ′，求k的值．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵PQ＝BQ，∴∠B＝∠BPQ＝∠CPD，∵∠ACB＝∠PCD＝90°，∴∠A+∠BAC＝90°，∠D+∠CPD＝90°，∴∠BAC＝∠D，∴QA＝QD；（2）解：过点P作PH⊥AB于H，如图1所示：设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由题意得：tan∠BAC=43，∠BAP＜∠∴2tanα是正整数时，tanα＝1或12当tanα＝1时，HA＝PH＝3x，∴3x+4x=3∴x=5即PC＝4﹣5x=3当tanα=12时，HA＝2PH﹣6∴6x+4x＝5，∴x=1即PC＝4﹣5x=3综上所述，PC的长为37或3（3）解：设QQ′与AD交于点O，如图2所示：由轴对称的性质得：AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，∴四边形AQDQ′是菱形，∴QQ′⊥AD，AO=12∵BC⊥AC，∴QQ′∥BE，∵BQ∥EQ′，∴四边形BEQ'Q是平行四边形，∴QQ′＝BE，设CD＝3m，则PC＝4m，AD＝3+3m，即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，∵MOAO=tan∠PAC∴MO3+3m即MN＝2MO＝4m（1+m），∴k=PE⋅QQ'题型9三角形综合_存在型_特殊三角形【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C．（1）当AD＝1时，求FB的长；（2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AM∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAB＝90°，由勾股定理得：BD=A∵AM∥BC，∴△ADF∽△CBF，∴ADBC∵AD＝1，∴14∴BF=4（2）如图1，∵AM∥BC，∴∠C＝∠CAM，∵∠DBE＝∠C，∴∠DBE＝∠CAM，∵∠BFG＝∠AFD，∴△ADF∽△BGF，∴AFBF∴AF•FG＝BF•DF，∵AM∥BC，∴△ADF∽△CBF，∴DFBF∴DFx2+9∴DF=xx2+9同理得：BF=4∴y•5xx+4∴y=4如图2，当点E在直线BC上时，∠DBC＝∠ACB＝∠ADB，∵AB＝BA，∠ABC＝∠DAB，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC＝4，∴x的取值范围是0＜x＜4；（3）分三种情况：①当BD＝DH时，如图3，过点D作DP⊥BC于P，∵BD＝DH，∴BP＝PH＝AD＝x，∴CH＝4﹣2x，∠DBP＝∠DHP，∴∠DBE+∠GBH＝∠C+∠CGH，∴∠CGH＝∠GBH，∵∠C＝∠C，∴△CHG∽△CGB，∴CGBC∴CG2＝4（4﹣2x），∵AD∥CH，∴ADCH=AG∴x+4−2x4−2x∴CG=5(4−2x)∴4（4﹣2x）=25(4−2x∴2x2+9x﹣18＝0，∴x1=32，x∴AD=3②当BD＝BH时，如图4，由勾股定理得：BD＝BH=x由（2）同理得：CG＝CF﹣FG=20∵AD∥CH，∴ADCH∴AD+CHCH=AG+CG∴（9+4x）x2+9=4（解得：x=7∴AD=7③当BH＝DH时，如图5，过点D作DK⊥BC于K，设KH＝a，∵BK＝AD＝x，∴DH＝BH＝x+a，在Rt△DKH中，由勾股定理得：DK2+KH2＝DH2，∴32+a2＝（a+x）2，∴a=9−∴CH＝4﹣BH＝4﹣x−9−∵AD∥CH，∴ADCH∴AD+CHCH=AG+CG∴x2∴（x2+9）（4x﹣9）＝0，∴x=9∴AD=9综上，AD的长是32或78或【变式1】如图1，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AB上且BD=154，点P，Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设BQ＝x，AP＝（1）求AD的值．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，连结PQ，EQ．①当△PEQ为等腰三角形时，求x的值．②过D作DF⊥BC于点F，作点F关于EQ的对称点F'，当点F'落在△PQB的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为97＜x＜【答案】（1）AD=5（2）y=5（3）①x=2111或97②97【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∴AB=A∵AD＝AB﹣BD＝5−15（2）由题意得，DPBQ∴DPx∴DP=5∴AP＝AD+DP=5∴y=154x（3）①如图1，作QG⊥AB于G，在Rt△APE中，PE＝AP•sinA＝AP•35=35（54AE＝AP•cosA=45AP＝∴CE＝AC﹣AE＝4﹣（x+1）＝3﹣x，∵CQ＝BC﹣BQ＝3﹣x，∴EQ=2（3﹣x在Rt△BQG中，BG＝BQ•cosB=35x，QG＝BQ•sinB=∴PG＝AB﹣AB﹣BG＝5−54（x+1）−45∴PQ2＝（45x）2+（154当EQ＝PQ时，[2(3−x)]2＝（45x）2+（154化简得，11x2﹣10x﹣21，∴x1=2111，x当PE＝PQ时，[34（x+1）]2＝（45x）2+（154化简得，7x2﹣30x+27＝0，∴x3=97，x当EQ＝PE时，2（3﹣x）=34（∴x=105−48综上所述：x=2111或97②∵BF＝BD•cosB=15∴x＜9由（2）得，CE＝CQ，∵∠C＝90°，∴∠CQE＝∠CEQ＝45°，∴当∠EQP＞∠CQE，且FQ＜PQ时，点F′在△EPQ的内部，此时∠PQB＜90°，∴53∴x＞9又97故答案为：97题型10三角形综合_最值型【典例1】如图，点D，点E分别在等腰Rt△ABC的边AB，AC上，且BD＝AE，已知AB＝2，设BD＝x，△ADE的面积为S．（1）求S关于x的函数表达式；（2）求出S的最大值及此时x的值；（3）对于DE的最小值问题，方方说：“当S取到最大时，DE取到最小值”，你是否同意方方的说法？并说明理由．【答案】（1）S=−12x2+x（0＜（2）当x＝1时，S的最大值为12（3）同意方方的说法理由见解答过程．【解答】解：（1）根据题意得：S=12AD•AE=12（2﹣x）•x=−1∴S=−12x2+x（0＜（2）∵S=−12x2+x=−12（x∴当x＝1时，S的最大值为12（3）同意方方的说法，理由如下：在Rt△ADE中，DE=A∴当x＝1时，DE取最小值，最小值为2，由（2）知，当x＝1时，S的最大值为12∴当S取到最大时，DE取到最小值，∴同意方方的说法．【变式1】如图，已知等腰直角三角形ABC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点P为AC的中点，点F为BC边上一个动点