甘肃省市县重点高中教研协作联盟2027届高三上学期起点摸底考试数学试卷（含答案）

甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026～2027学年高三起点摸底考试数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A． B．C． D．2．若是，的等差中项，是，的等比中项，则A．6 B．5 C．4 D．33．若，则的虚部是A． B．C． D．4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为A．13 B．14 C．15 D．165．已知向量，，若，则A． B．C． D．6．已知，，，则A． B．C． D．7．已知等差数列的前项和为，且，，则的最大值为A． B．C． D．8．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则A．的最小正周期为B．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象C．在区间上单调递增D．直线是曲线的一条对称轴10．已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则A．B．直线与相切C．的准线方程为D．11．设函数，则A．当时，没有零点B．当时，在区间上不存在极值C．存在实数，使得曲线为轴对称图形D．存在实数，使得曲线为中心对称图形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在的展开式中，的系数是_________．13．已知，则_________．14．某中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，要求切割面经过圆台的两条母线．若切割面经过圆台的上下底面圆心，且面积为，则圆台外接球的表面积为_________；若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心，则圆台的高的取值范围为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，内角，，的对边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．16．（本小题满分15分）有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用A，B，C三类药物．服药一段时间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表：A5.25.56.26.56.35.85.46.05.35.8B5.56.05.65.05.76.26.45.95.75.1C5.14.95.35.25.56.25.75.55.85.6已知该生理指标正常范围是．（1）从服用A，B，C类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内的概率；（2）30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2．现从这5名患者中随机选出2人，记为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求的分布列和数学期望．17．（本小题满分15分）如图，在正三棱柱中，点为的中点．（1）证明：平面；（2）若点满足，且平面，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本小题满分17分）已知函数，．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）证明：对，有．19．（本小题满分17分）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点．当为的上顶点时，．（1）求的方程；（2）过点作直线的垂线，垂足为．（ⅰ）证明：直线过定点；（ⅱ）当的中点为，记的斜率为，的斜率为，证明：是定值．

甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026～2027学年高三起点摸底考试·数学试卷参考答案、提示及评分细则1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．C 7．C 8．A9．ABD 10．AD 11．ABC12． 13． 14．（2分） （3分）15．解：（1）由及正弦定理，得， 2分即． 3分在中，，所以，， 4分又，所以，． 5分因为，所以． 6分（2）由余弦定理，得， 8分所以，又，所以，解得， 10分所以的面积为． 13分16．解：（1）因为服用A类药物的10名患者中，有7人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范围内的概率为， 2分因为服用B类药物的10名患者中，有8人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范围内的概率为， 4分因为服用类药物的名患者中，有人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出人，指标在正常范围内的概率为． 6分（2）因为5名患者中，3人生理指标在正常范围内，2人生理指标不在正常范围内，所以的可能取值为0，1，2， 7分， 9分

， 11分

， 13分

所以的分布列为：012故． 15分17．（1）证明：连接交于，则为中点，

连接，因为为中点，所以， 3分因为平面，平面，所以平面． 6分（2）解：取中点，在正三棱柱中，，，两两垂直，

故以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，所以，，， 8分所以，

因为平面，所以，

所以，又，所以． 10分所以，由题意知为平面的一个法向量， 12分

又，所以， 13分

设直线与平面所成角为，则． 15分18．（1）解：由，得， 2分由，得，， 4分所以函数的图象在点处的切线方程为，即． 6分（2）证明：设，所以，且，． 8分设，，，因为函数，在上都单调递减，所以在上单调递减，又，，所以，使得． 12分当时，，单调递增；当时，，单调递减．又，，所以对任意的，，所以在上单调递增，所以．所以对，都有． 17分19．（1）解：记的半焦距为，显然，而， 2分故， 3分于是的方程为． 4分（2）证明：（ⅰ）不妨设，，当斜率