2026-2027学年小学奥数思维训练-几何（二）曲线图形（经典透析）（含答案）

/小学奥数思维训练-几何（二）曲线图形（经典透析）一、解答题1．如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。2．如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？3．图中阴影部分的面积．（取3）4．如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°．求阴影部分的面积．5．如图，ABCD是一个长为4，宽为3．对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积．（取3）6．求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比．7．如图，半圆半径=40CM，BM=CN=DP=22，每个阴影部分的弧长为半圆弧长的，求阴影部分面积？（=3）8．如图，哨所门前的两个正三角形哨台拴了两条狼狗，拴狼狗的铁链子长为10米，每个哨台的面积为42.5平方米现在要绿化哨所所在地（哨所面积忽略不计，把其看做一点，在其周围20米范围内铺上草地）为了防止狼狗践踏，则绿化的实际面积为多大合适？（=3）9．如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？参考答案：1．51.75【解析】【详解】连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形。半圆的半径为：10÷2＝5两三角形面积为：△APD面积＋△QPC面积为：×（5×10＋5×5）＝×75＝37.5两弓形PC、PD面积为：π－10×5÷2＝π－25所以阴影部分的面积为：37.5＋π－25＝51.752．3【解析】【详解】要求两个三角形的面积之差，题目没有给出可以直接求出两个三角形面积的条件，那么我们只能考虑应用差不变原理．解法一：GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2阴影BCM面积-阴影MDE面积=（BCM面积+空白面积）-（MDE面积+空白面积）=三角形BHE面积-长方形CDEH面积=3×6÷2-3×2=3．总结：加减思想的应用，小升初中的常用方法，而找出公共部分是本题的解题关键．公共部分要与两个三角形都可以构成规则可求的图形才可以．解法二：GC=7，GD=10

知道CD=3；BC=4，DE=2

知道BC︰DE=CM︰DM所以CM=2，MD=1．阴影面积差为：4×2÷2-1×2÷2=3总结：画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求CM和DM．这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得．另外本题还可以构造如下解法，解法三：连接BDS3．100平方厘米【解析】【详解】△ABC可以看出为等腰直角三角形．解法一：我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如下右图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为1/2×10×10=50，所以阴影部分的面积为150-50=100（平方厘米）．解法二：欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积．【点睛】本题考点旋转平移法．图形通过旋转，得到阴影部分的面积=半圆的面积-等腰直角三角形的面积．4．221.625（平方厘米）【解析】【详解】题中每一条阴影部分面积可以看做是两个大小弓形的面积之差．设J为弧GI的中点，则可知GJIO是菱形，GOJ是正三角形，

所以，三角形GOI的面积=1

所以大弓形的面积：SGJI=

小弓形的面积：SFJE所以，总阴影面积=（138-64.125）×3=221.625（平方厘米）【点睛】本题难度在于判断四边形GJIO为菱形，圆中等长的弧所对的弦也是相等的，所以三角形GOJ为正三角形，其实三个阴影部分选择哪一个作为解题的模型都可以．基本上还是加减思想的应用．总阴影面积=每块阴影面积×3=（大弓形－小弓形）×3,关键在于大弓形中三角形的面积．5．【解析】【详解】要求边扫过的面积，只需分别看一边旋转所得图形．分析：1、容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的，如图：

因此DC边扫过图形的面积为4平方厘米，BC边扫过图形的面积为平方厘米．2、研究AB边的情况．在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见右图中阴影部分：

下面来求这部分的面积．观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形ACA,面积+三角形ABC面积-三角形ABC面积-扇形BCB,面积+三角形A,B,C,面积＝扇形ACA,面积一扇形BCB,面积

；3、研究AD边扫过的图形．由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如下图阴影部分所示：用与前面同样的方法可以求出面积为：【点睛】本题是祖冲之杯竞赛的一道试题．旋转图形的关键，是先从整体把握一下“变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就“藏”在那儿，一定会有．我们可以作进一步的思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．6．7:8【解析】【详解】把阴影看作一个特殊图形，而大圆的面积恰好是4个这种特殊图形所以阴影面积︰大圆面积=1︰4设小圆半径为x，则大圆半径为2x阴影周长=小圆周长+小圆周长+小圆周长+大圆周长

=小圆周长+大圆周长

=×2x+×2×2x

=x

大圆周长=2×2x=4x

所以周长之比=x︰4x=7︰8【点睛】应用图形比例关系求解图形，也是整体考虑问题思想的典型代表．7．1080（平方厘米）【解析】【分析】图中上半部分的三个阴影图形并非真正的扇形，所以不能用扇形面积公式来解，只能应用加减法，把图形分解．那么每个阴影部分面积等于1/3半圆面积减去一大一小两个相似三角形面积．【详解】解：∵△ABO为等边三角形又∵∠AMB=120度∴∠MAE=30度∴∠BAM=30度∴△BMA为等腰三角形即根据正三角形性质得BM=2EM∴BE=22+11=33（cm）阴影部分面积=3×（×40×40-×20×33-×20×11）

=3×（800-330-110）

=3×360=1080（平方厘米）【点睛】应用加减法，把图形化为我门常用的图形来解题是这道题的关键所在．另一个难点是如何求出三角形的高，其实M，N，P分别是它们所在正三角形的中心．中心将其所在线段分为两部分的比为1︰2，知道这一性质，便可应用面积公式求出阴影面积．8．730平方米【解析】【分析】首先确定两条狼狗的活动范围，利用加减法把活动范围为一个菱形+两个半圆，两个半圆即一个整圆．

实际绿化面积=大圆面积-（菱形+小圆面积+2×哨所面积）【详解】解：可以看出菱形面积为2倍的哨所面积，菱形面积=2×42.5=85

实际绿化面积=×20×20-（85+×10×10+2×42.5）

=1200-（85+300+85）

=1200-470=730（平方米）【点睛】本题属于活动范围题，注意确定狼狗的活动范围为两个5/6圆减去其重合部分，即一个菱形+一个圆，另外哨台也是未绿化部分，注意以上两点本题就不难求解．9．6圈【解析】【详解】注意硬币滚动时圆心的轨迹．解法一：当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180º-60º-60º=60º．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120º．当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360º-60º-60º-90º=150º．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300º．长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边．120×8+300×4=2160，所以这枚硬币转动了2160º，即自身转动了6圈．解法二：通过计算圆