2026-2027学年小学奥数思维训练-数论二约数倍数、质数合数、分解质因数（拓展训练）（含答案）

/小学奥数思维训练数论(二）约数倍数、质数合数、分解质因数（拓展训练）一、其他计算1．2007+2008×444444的个位数为多少？二、填空题2．()，要使这个乘积的最后四位数字都是0，括号里最小应填什么数？3．现在有4个自然数，他们的和是1111．如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这4个数的公约数最大可能是_________（1989年小学数学奥林匹克初赛试题）三、解答题4．4200有多少个约数？这些约数的和是多少？5．23个不同的整数的和是4845，问：这23个数的最大公约数可能值达到的最大的值是多少？6．10个非零自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？（2002我爱数学少年夏令营）7．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？8．从1到2005的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？9．除以10所得的余数为多少？10．一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数是多少？参考答案：1．9【解析】【详解】任何数乘方的尾数都是4个数一周期，7是7、9、3、1循环，因为2007÷4=501……3，所以尾数是3，8是8、4、2、6循环，因为2008能被4整除，所以尾数是6，4是4、6、4、6循环，因为98÷4=……2，所以尾数是6，所以原式的尾数为3+6×6=39，尾数是9．2．20【解析】【详解】末尾产生四个0，是由于有四个5和四个偶数相乘，，括号里的数必须有一个5和两个偶数，最小是．3．101【解析】【详解】解答本题的关键是利用约数的知识和整数的性质,由题中4个自然数的和是1111，可知这4个自然数的公约数也一定是1111的公约数，这样，把讨论4个数的公约数问题转化为讨论1111的约数问题．1111=101×11，约数只能是1，11，101，1111．显然1111不符合题目要求，而101是可能的，例如取这4个自然数的为101×1，101×2，101×3，101×5．因此这4个自然数的公约数最大可能是101．答：这4个自然数的公约数最大可能是101．4．48个

14880【解析】【详解】4200=2×2×2×3×5×5×7因数有(3+1)×(1+1)×(2+1)×(1+1)=48个因数的和为(1+2+4+8)×(1+3)×(1+5+25)×(1+7)=148805．17【解析】【详解】设23个不同的正整数的最大公约数为d，则23个不同的正整数位da1、da2、……、da23为互不相同正整数4845=da1+da2+……+da23=d(a1+a2+……+a23)a1+a2+……+a23最小为1+2+……+23=(23+1)×23÷2=2764845=3×5×17×194845的约数中，大于276的最小约数是3×5×19=285即a1+a2+……+a23最小为285所以最大公约数d可能达到的最大值=4845÷285=176．91【解析】【详解】设这10个非零自然数分别是a1，a2，a3，…，a10，它们的最大公约数是a，那么a1，a2，…，a10都是a的倍数，因此1001是a的倍数，a是1001的约数，显然a不能取1001，若a取143，则a1＋a2＋…＋a10至少是1430也不可能，因此a最大是7×13＝917．30分钟【解析】【分析】由题意可知，相遇时走的路程差是圆形跑道的整数倍，甲、乙、丙三人两两相遇时的路程差都是300米，根据“路程差÷速度差”计算甲乙、甲丙、乙丙分别经过多少分钟相遇，再求出它们的最小公倍数即可。【详解】甲乙第二次相遇时经过的时间：300÷（120－100）＝300÷20＝15（分钟）甲丙第二次相遇时经过的时间：300÷（120－70）＝300÷50＝6（分钟）乙丙第二次相遇时经过的时间：300÷（100－70）＝300÷30＝10（分钟）2×3×5＝30（分钟）答：30分钟之后3人又可以相聚。【点睛】本题主要考查环形路线中的追及问题和最小公倍数的应用，灵活运用追及问题的计算公式是解答题目的关键。8．31个【解析】【详解】因为，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完全平方数的2倍．因为，所以从1到2005中，符合要求的数有31个．9．3【解析】【分析】根据算式中每个数除以10的余数由个位数判断，找出每个数的个位数字特征，然后把2005个数分成100组，再加上5个数，前100组除以10余数为0，只用判断后五个数的个位数字除以10的余数即可找出这个式子的结果除以10的余数。。【详解】求结果除以10的余数即求其个位数。从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对于一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把每个加数的个位数按20个一组，则不同组中对应的数字应该是一样的。首先计算的个位数字为4，2005个加数中有100组另5个数，100组的个位数是的个位数即0，另外5个数为、、、、，它们和的个位数字是的个位数3，所以原式的个