2026-2027学年小学奥数思维训练-数论三带余除法、同余性质、中国剩余定理（经典透析）（含答案）

/小学奥数思维训练数论(三）带余除法、同余性质、中国剩余定理（经典透析）一、其他计算1．求乘积418×814×1616除以13所得的余数．二、填空题2．有一串数：1、3、8、22、60、164、448，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的2倍．那么在这串数中，第2000个数除以9的余数是______________三、解答题3．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16．被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？4．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．这些自然数共有几个？5．甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、97人．现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组是A名游客，以便乘车前往参观游览．已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，问丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩几人？6．一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？7．满足被5除余3，被6除余1，被7除余2的最小自然数是多少？8．有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25．这三个余数中最大的一个是多少？9．求14389除以7的余数。10．参考答案：1．12【解析】【分析】同余的性质5的应用：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（可乘性）．【详解】∵418≡2（mod13），814≡8（mod13），1616≡4（mod13），∴根据同余的性质5可得：418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）．答：乘积418×814×1616除以13余数是12．【点睛】若先求乘积，再求余数，计算量太大．利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量．2．3【解析】【分析】余数性质的应用结合周期问题,a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）．当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．【详解】找规律根据递推关系把这串数除以9的余数列出来如下1、3、8、4、6、2、7、0、5、1、3，…．发现恰好每9个一循环2000被9除余数是2，所以第2000个和第2个是一样的，除以9的余数是33．被除数856,除数21【解析】【分析】被除数=除数×商+余数可以按这个思路来解：从被除数中减掉余数后，被除数就是除数的40倍了，所以可以得到：877-16=（40+1）×除数此题就是考察对于性质（2）对于“被除数=除数×商+余数”的理解和应用．转化成整数倍问题后，可以帮助理解相关的性质．（温州市数学全能竞赛）【详解】∵被除数=除数×商+余数，即被除数=除数×40+16．由题意可知：被除数+除数=933－40－16=877，∴（除数×40+16）+除数=877，∴除数×41=877－16，除数=861÷41，除数=21，∴被除数=21×40+16=856．4．11个【解析】【分析】余数问题与约数相结合,注意到除数比余数大，第15届迎春杯试题【详解】2008被这样的自然数除余数是10，那么1998就是这些自然数的倍数，换句话说我们要求1998的约数有几个，但注意到除数比余数大，所以我们要求的是1998的约数中那些大于10的，枚举显然不可取，我们考虑用约数个数公式1998＝2×33×37，d（1998）＝（1＋1）×（3＋1）（1＋1）＝16其中小于10的约数有1，2，3，6，9去掉它们还有11个因此这样的自然数共有11个5．1人【解析】【详解】如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除．此题是第四届小数报数学竞赛决赛试题．因为在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．详解过程：由85-69=16，93-85=8，推出A=8或4或2，所以丁团分成每组A人的若干组后还剩1人．6．163【解析】【详解】余数不同，但余数的补数相同，这类问题经常出现,该数加上5以后可被7和8整除，也就是56的倍数注意到7－2＝8－3＝5也就是说该数加上5以后可被7和8整除，也就是56的倍数因此这个数只可能是56－5，56×2－5，56×3－5经检验发现只有56×3－5＝163被9除余1符合要求，因此该数为1637．163【解析】【详解】在不大于[5，6，7]=210的自然数中必定有一个符合条件，且为符合条件的最小自然数．该数除以5余3，因此个位数字只能是3或8．而它除以6余1，因此它是奇数，则个位数字只能是3．因为它除以7余2，所以可以寻找被7整除且个位数字为1的数．这些数有21，91，161，将它们都加上2，看是否能符合题目条件．此时可知，163是满足题意的最小自然数．8．20【解析】【分析】余数性质的典型应用,当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）．【详解】63＋90＋130－25应该能被这个自然数整除，即这个自然数是258的约数．而258＝2×3×43．由于6能整除90，而且这个自然数不能大于63．则这个自然数为43．可见余数最大的是63的余数：20．9．5【解析】【详解】解法一：∵143≡3（mod7）∴14389≡389（mod7）∵89＝64＋16＋8＋1而32≡2（mod7），34≡4（mod7），38≡16≡2（mod7），316≡4（mod7），332≡16≡2（mod7），364≡4（mod7）。∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod7），∴14389≡5（mod7）。答：14389除以7的余数是5。解法二：证得14389≡389（mod7）后，36≡32×34≡2×4≡1（mod7），∴384≡（36）14≡1（mod7）。∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod7）。∴14389≡5（mod7）。【点睛】同余的性质的应用，同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小。这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。10．1234【解析】【分析】根据位值原理分析，根据题意abcd表示一个四位数，即1000a＋100b＋10c＋d，按照这样的原理，把原算式变形，寻找等式两边的规律。【详解】abcd＋abc＋ab＋a＝1000a＋100b＋10c＋d＋100a＋10b＋c＋10a＋b＋a＝1111a＋111b＋11c＋d，已知：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，把1至9分别代入a、b、c、d判断发现：a只能等于1，b只能等于2，c只能等于3，d只能等于4，否则等式不成立，则abcd＝1234。原式：