2026-2027学年小学奥数思维训练-行程（三）行程中的比列（经典透析）（含答案）

/小学奥数思维训练行程（三）行程中的比列（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“十分钟前我超过一辆骑自行车的人．”这人继续走了十分钟，遇到了这个骑自行车的人，如果自行车的速度是人步行速度的三倍．问汽车速度是人步行速度的多少倍？2．甲班与乙班学生同时从学校出发去15千米外的公园游玩，甲、乙两班的步行的速度都是每小时4千米．学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千米？3．甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生坐大巴，乙、丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，如果三个班的学生同时到达，求这些学生到达终点一共所花的时间．4．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟．5．一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果原速行驶100千米后，再将车速提高30%，也比原定时间提前1小时到达，求甲、乙两地距离．6．A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进．A车停车修理半小时后以原速度的继续前进，B、C两车行至距离甲市200千米处B车出了事故，C车照常前进．B车停了半小时后也以原速度的继续前进．结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，求甲、乙两市的距离为多少千米？7．甲乙两人同时从A、B两地出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人在途中C点相遇．如果甲晚出发7分钟，两人将在途中D处相遇，且A、B中点E到C点的距离是到D点距离的2倍．求A、B两地间距离．8．A、B两地间有一座桥，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多行2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍旧在桥上相遇．如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇，则A、B两地相距多少千米？9．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点．如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米．问：甲原来的速度是每小时多少千米？参考答案：1．7倍【解析】【详解】设人行速度为x，那么汽车速度为3x+3x+x=7x，从而得出汽车速度是人行速度的7倍．答：汽车速度是人步行速度的7倍2．2千米【解析】【详解】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系．由于两班速度相同，所以要使时间最少，必须同时出发，同时到达，因此行走的路程要相同，即AD=CB，画图如下：在某一班行走BC的时间内，车行走的路程就是C—A—B，即CB+BA+AB，这样得出CB︰（CB+BA+AB）=4︰48=1︰12该比例式可以化为：CB︰BA=1︰=1︰5.5所以CB和总路程的比为1︰（1+5.5+1）=1︰7.5=2︰15CB的长度为（千米）所以每个班步行的距离为2千米．【点睛】此题的解决主要有两个关键点：1，两个班的行走路程一样．2，找出步行与汽车在相同时间内行走的路程，根据路程与速度成正比的关系得出相应路程的比例关系，最终求出答案．3．小时【解析】【详解】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系．由于题目条件只涉及速度和总路程，所以如果要求出时间必须首先将速度和路程对应起来，即明确学生或者大巴车的行程路段，因此我们应该画出整个行程过程的线段示意图．如图所示：虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11倍，所以大巴车第一次折返点D到出发点A的距离是乙班学生搭车前步行距离AB的（11+1）÷2=6倍，如果将乙班学生搭车前步行距离AB看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出发点的距离AD为6份，大巴车第一次折返点D到接到乙班学生B又行驶了5份距离，同样的大巴车在B点接到乙班学生到在E点追上甲班学生所走的路程也应该是6份距离，而从E点回来到C点接到丙班的距离为5份，大巴车从C点到终点F的距离为6份，这样大巴车一共行驶了6+5+6+5+6=28份距离，而A到F的总距离为6-5+6-5+6=8份，所以大巴车一共行驶了8÷8×28=28（千米），所花的总时间为28÷55=小时．4．42分钟【解析】【详解】解法一：由题目可知小张、小李、小王都是以匀速前进，且无论相遇点之前和相遇点之后总行程都相等，所以我们应当使用“路程相同，速度比等于时间的反比”这条比例关系来解答本题．首先，小张和小李的相遇前后的两个追及，相遇前的追及路程为小张行走一小时的路程，相遇后的追及路程为小张行走24分钟的路程，所以追及路程比为60：24=5：2，两人速度都不变，所以速度差也不变，所以追及时间比为5：2，所以小李前后行走的时间比也是5：2，即前后两段路程比为5：2．其次，小王和小张的前后两个追及问题：由于前后路程比为5：2，所以小王的行走时间比为5：2，也即是追及时间比为5：2，速度都不变，所以追及路程比为5：2，而前段追及路程是小张行走60+45=105分钟的路程，所以后段追及路程是小张行走105÷5×2=42（分钟）所行走的路程，即小王比小张早42分钟到达．解法二：运用折线示意图，结合基本几何知识，整个行程过程和其中的数量关系即可一目了然，即：，解得，t=42．5．360千米【解析】【详解】题目给出的距离信息只有100千米一条，我们应当找到驾车行驶100千米的总时间．车速提高20%，那么前后两次的速度比为5︰6，所以两次所用的时间比为6︰5，所花的时间减少1小时，由此可求原计划所花时间为（小时），汽车提速后从甲地到乙地只用5小时，这辆车如果提速30%，提速前后的速度比为10︰13，那么这辆车行驶相同距离所花的时间为13︰10，那么如果能将所花时间缩短1小时，则提速后行驶的时间应该为：（小时），所以原速行驶100公里所花的时间为：（小时），即这辆车原来的速度为：（千米/小时），甲乙两地的距离为：（千米）．【点睛】此题是利用比例解行程问题非常经典的题型，事实上题目中给出的条件非常适合用比例法的应用，首先有前后的速度比例关系，其次有时间差．“比例+两者之一或两者和与差”的考题模式是非常常见的．它对应的解题模式是“比例转化+按比例分配（已知两者之一或两者和与差分别求两者）”．6．280千米【解析】【详解】题目给出的距离信息只有200千米这一条，所以我们应当求出200千米对应的路程比．如果A车没有停半小时，那么它将比C车晚到1.5小时，因A车后来的速度是C车的，所以A车和C车相同路程行程的时间比为5︰4，即C车每行驶4小时就比A车快1小时，所以C车快了1.5小时，说明C车后来行了1.5×4=6（小时）．那么从甲市到乙市C车行了6+1=7（小时）．同样如果B车没有停半小时，它将比C车晚到0.5小时，而此时B车和C车在相同路段行程的时间比也是5：4，说明C车后来行了0.5÷（5-4）×4=2（小时），这段路是甲、乙两市距离的．所以B车出事故时，已经行驶了整个路程的．（千米）答：甲、乙两市之间的距离为280千米．【点睛】此题已知条件为速度比例和时间差，也符合“比例+两者之一或两者和与差”的出题模式，所以利用“比例转化+按比例分配（已知两者之一或两者和与差分别求两者）”的解题模式，注意此题中的时间差计算时要扣除停留的时间，注意加减关系．7．2240米或6720米【解析】【详解】甲晚出发7分钟，也就是乙先走了60×7=420米，两人共同行走的时间也减少了．对应的路程和也发生了变化．前后两次二人的相遇路程和相差420千米，那么前后两次相遇时间相差为420÷（80＋60）=3（分钟），而本来这三分钟甲能多走80×3=240（米），这就说明C点与D点之间的距离为240米，由条件“A、B中点E到C点的距离是到D点距离的2倍”可以得到中点到C、D两点之间的距离．不过这里要分两种情况：（一）中点E在C、D之间，那么ED、EC的距离和为240米，EC的距离为：240÷（2+1）×2=160米也就是说甲乙同时出发后的相遇点距离中点160米，即甲比乙多走了320米．两人相遇所花的时间为：320÷（80-60）=16（分）．A、B之间的距离为：（80+60）×16=2240（米）．（二）C、D在E点的同一侧，那么ED、EC的距离差为240米，EC的距离为：240÷（2-1）×2=480（米），也就是说甲乙同时出发后的相遇点距离中点480米，即甲比乙多走了960米，两人相遇所花的时间为`：960÷（80-60）=48（分）．A、B之间的距离为：（80+60）×48=6720（米）．综上所述，A、B两地之间距离为2240米或6720米．【点睛】如果只涉及到距离关系，没有提到位置关系，而且这些点在同一条直线上，那么就不只有一种位置关系．8．72千米【解析】【详解】三种方式相遇所行的路程都相等，典型的由时间比化速度比的题目，求出了速度再求总路程就简单了．因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的．在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5＝2.5（小时），两次相遇时间比为3：2.5，路程一样，所以甲的速度成反比为2.5：3=5：6，又速度增加2千米每小时，所以甲原速为2÷（6－5）×5=10（千米/小时）．在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3＋0.5＝3.5（小时），与第一种情况相比较，两种相遇时间比为3：3.5，路程一样，所以乙的速度成反比为3.5：3=7：6，又速度减少2千米每小时，所以乙原速为2÷（7－6）×7=14（千米/小时）．这样就可以求出A、B两地的距离为（10＋14）×3＝72（千米）．9．11千米【解析】【详解】三种相遇方式两人行程距离，行程时间都不相同，所以应该将其中一项化为相等．当乙每小时多行4千米时，5小时可以多行20千米，所以当两人相遇后继续向前走，5小时的时候甲可以走到C点，乙可以走过了C点20千米．相遇点D距C点10千米，因此两人相遇后各走了10千米，所以甲乙二人速度相等，即原来甲比乙每小时多行4千米．同理，当甲每小时多行3千米，