2026-2027学年六年级上学期数学思奥数培优（通 用版）方阵问题提高（含答案）

/方阵问题一．解答题（共60小题）1．一个围棋爱好者，用围棋子组成一个正方形实心阵，后来又在补上64颗棋子，使原来的实心方阵增加一层，成为一个大一点的实心方阵，问原来一共用了多少个棋子？2．一个大型团体操方队，共有9层，最内层每边有10人，这个方阵共有多少人？3．同学们排成方队表演节目，彤彤的前、后、左、右各有3人，表演节目的共有多少人？4．小美用棋子摆了一个空心方阵，最外每边摆30颗棋子，一共摆了5层，那么这个方阵一共用了多少颗棋子？5．同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多．小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个．跳舞的共有多少人？6．用640个棋子围成正方形（空心或实心），可以有多少种围法？最外层每边的棋子数各是多少？7．学校舞蹈队摆了一个三层的空心方阵队形，最外圈站了24位同学，这个队形共需多少位同学？8．有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵．如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？9．用棋子摆出的方阵，最外层每边都是21粒．（1）方阵最外一层共有多少粒棋子？（2）这个方阵共有多少粒棋子？（3）如果把最外层的棋子都拿掉，这样之后，处在方阵最外层的有多少粒棋子？10．小明用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又用28枚棋子摆成了另外一个单层的空心方阵，摆完后他发现两个方阵正好可以拼在一起，组成一个新的三层空心方阵，那么他原来用了多少枚棋子？11．少先队员表演节目，围成一个正方形，每个顶点站1人，已知每边站6人，一共站了多少人？12．一个正方形棋盘上放满棋子，当把这个正方形上的棋子减少一行一列时，发现减少了45颗棋子，原来棋盘上有多少颗棋子？13．学校开运动会，老师要在正方形操场周围插上彩旗，要求四个角上都要插上一面彩旗，每条边上插10面旗，而在每两面彩旗中要摆放一盆鲜花。请你帮老师算算，要准备多少面彩旗和多少盆鲜花？14．有一队学生，排成中空方阵，最外层的人数共56人，最内层的人数共32人，这一队学生共有多少人？15．沿一个正方形鱼池的边铺路，用一批大小相等的正方形水泥砖铺，铺一周还剩下20块，如果再接着铺一周，则差12块，这批水泥砖共有多少块？16．由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？17．学校举行庆“六一”团体操表演，参加表演的同学分成4个方阵，每个方阵都排成了18列25行，参加表演的同学共有多少人？18．有一个10层空心方阵花坛，最内层每边有16株花。请问，最外层有多少株花？花坛中一共有多少株花？19．小名摆了一个实心方阵，最外层每边用了12枚棋子，他又从这个方阵中取出36枚棋子，使之变成一个空心方阵，你能算出这个空心方阵用了多少枚棋子吗？20．某人在边长为1厘米的小方格的棋盘上摆了一个五层的空心方阵，如果这个方阵中间空心的部分还可以再放16个棋子，那么这个方阵最外层的棋子组成的图形的周长是多少厘米？（棋子的大小忽略不计）．21．做广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人，求原来有多少人？22．要在正方形花坛周围的每条边上都种上4棵树，并且四个角都必须各种1棵．你知道一共要种多少棵树吗？23．全班同学站队排成若干行，如果每行14人则多7人，如果每行17人则少2人．这些同学能不能排成一个实心方阵？如果能，求出最外层每边人数；如果不能，请说明理由．24．四年级同学举行广播操比赛，排成8行8列，如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？25．用棋子摆出的方阵，最外层每边都是21粒．（1）方阵最一层有多少粒棋子？（2）这个方阵共有多少粒棋子？（3）如果把最外层的棋子都拿掉，这样之后，处在方阵最外层的有多少粒棋子？26．学校农场一块正方形白菜地，一共有12层，最里层共有8棵白菜．这些白菜按每棵2千克计算，这块菜地能收多少千克白菜？27．聪聪用棋子摆空心方阵，最外层每边摆了12个，共摆了三层，一共用了多少个棋子？28．在正方形毛巾四周绣花，四个顶点各有一朵，如果每边都绣有5朵花，毛巾四周一共绣了多少朵花？（先在图中用“〇”画一画，再算一算）29．红星小学学生做队列操，576人排成一个三层空心方阵，这个空心方阵外层每边有多少人呢？30．育英小学的全校学生排成一个实心方阵列队，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人．育英小学有学生多少人？31．教室里每组的人数同样多，华华的位置从前数是第5个，从后数是第2个，从左数是第3个，从右数是第6个．全班共有多少人？32．一个五层正方形空心花坛最里层每边摆5盆花，这个花坛共有多少盆花？33．有144名少先队员参加列队操练，12个人一行，排成了一个正方形方阵．问这个方阵的四周站了多少名少先队员？34．猪八戒用棋子排成一个方阵，后来他又加上9个棋子，使横竖各增加了一排，成为一个大的实心方阵．原来的实心方阵有多少个棋子？35．深圳实验小学在运动会排成一个每边18人的实心方阵，后来由于场地有限，减少了2行2列，则减少了多少人？36．六一表演时，女同学排了一个正方形队伍，小红发现从前、后、左、右数，自己都是第4个，那么这个舞蹈队有多少人？37．同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？38．为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个．鲜花队共多少人？39．一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？40．设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？41．运动会上，五年级学生排成了一个方队（横竖行人数相等），已知最外层有60人，这个方队共有多少人？42．有一队学生排成一个空心方阵，最外层60人，最内层28人，求总人数？43．在正方形菜地四周围上篱笆，共打了84个桩，四个角都有一个桩，每边打了多少个桩？44．如图，这是一些棋子摆成的正三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”．（1）如果有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20个棋子，那么一共有多少枚棋子？（2）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，那么它最多有多少层？（3）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？45．如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形．46．同学们先摆成每边16人的实心方阵，又变换队形，组成一个4层空心方阵。空心方阵最外层有多少人？47．四年级1班49人排成一个方队．这个方队最外围一共有多少人？48．国庆节期间，园林工人把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵的外层每边摆多少盆？49．一个正方形实心方阵，最外层总共72人，这个方阵共有多少人？50．早操时，全校同学排成一个正方形方阵。当把这个正方形方阵减少一行和一列时，发现减少了49人，全校有多少人排队做早操？51．四年级参加军训的学生排成一个方阵进行汇报演习，这个方阵最外层每边有15名学生．（1）最外层一共有多少名学生？（2）这个方阵一共有多少名学生？52．棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？53．妈妈买了一些糖果，小明用这些糖果恰好排成了每边6粒的实心方阵（见下图）．如果拿走一行一列，要拿多少颗？还剩多少颗？54．有一些花盆，摆成实心方阵，会多出32盆。如果摆成每边比原来多1盆的新方阵，则缺49盆。求花盆数量。55．如图，用10枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边4枚棋子；如图，用9枚棋子可以摆出一个正方形点阵，每边3枚棋子．今有一堆棋子，棋子总数小于200，用这堆棋子摆出一个尽可能大的正三角形点阵，结果多出13枚；而若用这堆棋子去摆某个正方形点阵，则还差11枚．问这堆棋子共有多少枚？56．144人排成一个实心方阵，每边多少人？最外层多少人？57．一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？58．学生进行列队比赛，要求由三角形队列刚好变成正方形队列，人数不变。现在知道这班学生人数在30～60人之间，那么，这班学生有多少人？59．一座大型雕像周围用盆花摆了一个4层的正方形花坛，这些盆花如果摆成两层的正方形花坛，最外一层的盆花数比摆成4层的最外一层盆花数每边多8盆．问摆这个正方形花坛用了多少盆花？（用算术法解答）60．做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人．问：原有多少人？方阵问题参考答案与试题解析一．解答题（共60小题）1．【答案】见试题解答内容【分析】根据“后来又在补上64颗棋子，”可得现在的实心方阵最外层每边的棋子数：64÷4+1＝17（颗），原先最外层每边的棋子数：17﹣2＝15（颗），实心方阵有15×15＝225枚围棋子．【解答】解：64÷4+1＝17（颗）17﹣2＝15（颗）15×15＝225（枚）答：原来一共用了225个棋子．【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．2．【答案】见试题解答内容【分析】最内层每边有10人，最外层每边有10+2×（9﹣1）＝26人，然后根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可．【解答】解：10+2×（9﹣1）＝26（人）（26﹣9）×9×4＝612（人）答：这个方阵共有612人．【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．3．【答案】见试题解答内容【分析】根据彤彤的前、后、左、右都有3人．说明彤彤处在方队的中心，也就是说此方阵每行每列都有：3+3+1＝7（人），然后即可求出总人数，列式为7×7，然后解答即可．【解答】解：3+3+1＝7（人），7×7＝49（人）；答：表演节目的共有49人．【分析】本题是典型的方阵问题，可以利用方阵公式，方阵总人数＝每边人数×每边人数解答．4．【答案】见试题解答内容【分析】利用空心方阵公式：（最外边数一层数）×层数×4＝总数；据此即可解答问题．【解答】解：棋子总数：（30﹣5）×5×4，＝25×20，＝500（颗）．答：一共用了500颗棋子．【分析】此题主要考查空心方阵公式：（最外边数一层数）×层数×4＝总数的计算应用．5．【答案】见试题解答内容【分析】根据小红的位置可以分析：小红的前后左右都有3个人，即小红被重复计算了1次，4+4﹣1＝7人；这个方队组成的是一个实心方阵，是一个正方形，最外层每条边上都有7个人，根据实心方阵的总点数＝每边点数×每边点数，即可解答问题．【解答】解：4+4﹣1＝7（人），7×7＝49（人），答：跳舞的共有49人．【分析】此题考查了在实际问题中公式实心方阵的总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用；关键是弄清楚每行每列的人数．6．【答案】见试题解答内容【分析】因为640不是完全平方数，所以不可能围成实心方阵，只能围成空心方阵，据此列举即可．【解答】解：当围成空心时，只有一层的话，每层最外边的棋子应该有：640÷4+1＝160+1＝161（个）；如果有两层的话，最外层就应该有（640+8）÷2＝324（个），最外层的每边就应该是324÷4+1＝82；其他的都是按照这个方法进行．如下表：最外层每边的棋子数1618244372826层数1245810所以，共有6种围法．答：可以有6种围法，最外层每边的棋子数分别是161、82、44、37、28、26个．【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．7．【答案】252位。【分析】根据总数量＝（最外边数量﹣层数）×层数×4，代入数值计算即可。【解答】解：（24﹣3）×3×4＝21×12＝252（位）答：这个队形需要252位同学。【分析】本题主要考查了方阵问题，数量掌握空心方阵的计算公式是本题解题的关键。8．【答案】见试题解答内容【分析】可设原有战士8n人，8n+120＝a2，8n﹣120＝b2，则存在a2﹣b2＝240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值．【解答】解：设原有战士8n人，8n+120＝a2，8n﹣120＝b2，则存在a2﹣b2＝240，即（a+b）（a﹣b）＝240．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，故a+b＝120，a﹣b＝2，于是a＝61，b＝59（不合题意舍去）；a+b＝60，a﹣b＝4，于是a＝32，b＝28，则8x＝904．因为904﹣120＝784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；a+b＝40，a﹣b＝6，于是a＝23，b＝17（不合题意舍去）；a+b＝30，a﹣b＝8，于是a＝19，b＝11（不合题意舍去）；a+b＝24，a﹣b＝10，于是a＝17，b＝7（不合题意舍去）；a+b＝20，a﹣b＝12，于是a＝16，b＝4，则8x＝136；a+b＝16，a﹣b＝15，于是a＝15.5，b＝0.5（不合题意舍去）．故原长方形队列共有136名战士．【分析】本题考查了完全平方数在实际生活中的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性的判定．9．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先根据最外层每边有21粒，用21×4，再减去四个顶点上重复计算的棋子，求出这个方阵最外层有多少粒棋子即可；（2）用21×21求出这个方阵共有多少粒棋子即可；（3）如果把最外层的棋子都拿掉，求处在方阵最外层的有多少粒棋子，即求原来方阵外面的第二层的棋子数，首先求出外面的第二层每边有多少粒棋子，然后同样的方法求出外面的第二层有多少粒棋子即可．【解答】解：（1）21×4﹣4＝84﹣4＝80（粒）答：方阵最外一层共有多少粒棋子．（2）21×21＝441（粒）答：这个方阵共有441粒棋子．（3）（21﹣2）×4﹣4＝19×4﹣4＝76﹣4＝72（粒）答：如果把最外层的棋子都拿掉，这样之后，处在方阵最外层的有72粒棋子．【分析】解答此题的关键是弄清楚方阵问题相关的知识点：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数．10．【答案】见试题解答内容【分析】由题意知，组成一个新的三层空心方阵有两种情况，即单层空心方阵可以放在双层空心方阵的里面，也可以放在双层空心方阵的外面．如果放在里面，那么原有棋子（28+8）+（28+8+8）＝80枚；如果放在外面，那么原有棋子（28﹣8）+（28﹣8﹣8）＝32枚．据此解答．【解答】解：如果单层空心方阵放在双层空心方阵的里面，那么原有棋子（28+8）+（28+8+8）＝80枚；如果单层空心方阵放在双层空心方阵的外面，那么原有棋子（28﹣8）+（28﹣8﹣8）＝32枚；所以原来用了80枚棋子或32枚棋子；答：他原来用了棋子80枚或32枚．【分析】解答此题关键是要明确组成的新的三层空心方阵两种情况，要分别计算求解．11．【答案】见试题解答内容【分析】根据“四周的点数＝（每边的点数﹣1）×4”代入数据解答即可．【解答】解：（6﹣1）×4＝5×4＝20（人）答：一共站了20人．【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．12．【答案】529。【分析】减少的棋子数＝原来最外边棋子数×2﹣1，据此求出原来最外边的棋子数，然后根据方阵问题公式求出总棋子数即可。【解答】解：（45+1）÷2＝46÷2＝23（颗）23×23＝529（颗）答：原来棋盘上有529颗棋子。【分析】本题主要考查了方阵问题，求出原来最外边的棋子数是本题解题的关键。13．【答案】要准备36面彩旗，36盆鲜花。【分析】根据方阵问题四周数量计算公式求出彩旗的数量，再根据植树问题求出有多少间隔，即有多少盆鲜花，据此解答。【解答】解：（10﹣1）×4＝9×4＝36（面）这是封闭的植树问题，间隔数＝棋子数，所以鲜花的数量也是36。答：要准备36面彩旗，36盆鲜花。【分析】本题主要考查了方阵问题，熟练掌握计算公式是本题解题的关键。14．【答案】见试题解答内容【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有56人，最内层有32人，则方阵的层数：（56﹣32）÷8+l＝4（层）；最外层每边的人数56÷4+1＝15人；由此根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数．【解答】解：方阵的层数：（56﹣32）÷8+l＝4（层）；最外层每边的人数：56÷4+1＝15（人）；总人数：（15﹣4）×4×4＝176（人）；答：这一队学生共有176人．【分析】本题关键是求出方阵的层数和每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．15．【答案】见试题解答内容【分析】铺一周还剩下20块，如果再接着铺一周，则差12块，即再铺下周需要20+12＝32块，因每一层外圈要比里圈多用4块，据此可求出里圈有水泥砖32﹣4＝28块，进而可求出这批水泥砖的块数，据此解答．【解答】解：20+12＝32（块）32﹣4＝28（块）28+20＝48（块）答：这批水泥砖共有48块．【分析】本题的重点是让学生理解，每外层比里面一层多用4块水泥砖．16．【答案】见试题解答内容【分析】先算出两层中空方阵，最外边每边的人数，再加上4就是现在外面每边的人数，然后根据空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．【解答】解：24÷4÷2+2＝5（人）5+2+2＝9（人）（9﹣2）×2×4＝56（人）答：要增加56人．【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．17．【答案】见试题解答内容【分析】每个方阵都排成了18列25行，即18列，每列有25人，则每个方阵有25×18＝450人，4个方阵有4个450人，即450×4；据此解答．【解答】解：25×18×4＝450×4＝1800（人）答：参加表演的同学共有1800人．【分析】解答此题关键是明确“18列25行”即“18列每列有25人”，求几个相同加数的和是多少，用乘法进行解答．18．【答案】132；960。【分析】每相邻的两层，每边相差2株，最内层每边有16株花，那么最外层每边有（16+2×9）株花，再根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4；空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可。【解答】解：16+2×（10﹣1）＝34（株）34×4﹣3＝132（株）（34﹣10）×10×4＝960（株）答：最外层有132株花；花坛中一共有960株花。【分析】此题考查了方阵问题中：“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4；空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”的灵活应用19．【答案】见试题解答内容【分析】根据“中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”求出总棋子数，然后再减去36即可．【解答】解：12×12﹣36＝144﹣36＝108（枚）答：这个空心方阵用了108枚棋子．【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的点数＝（每边的点数﹣1）×4，每边的点数＝四周的点数÷4+1，中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的点数﹣内层每边的点数）÷2+1．20．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可知，1个棋子占一个边长为1厘米的小方格，主要想法求出这个方阵最外层每边的棋子数，即可知道这个方阵最外层的棋子组成的图形的边长，再乘4就是图形的周长；已知这个五层的空心方阵中间空心的部分还可以再放16个棋子，由于4×4＝16，所以每边是放了4个棋子，因为相邻的两层之间相差2个棋子，所以这个方阵最外层每边棋子数为4+2×5＝14个，则这个方阵最外层的棋子组成的图形的边长就是14厘米，那么这个方阵最外层的棋子组成的图形的周长就是14×4＝56厘米；据此解答．【解答】解：因为4×4＝16，所以每边是放了4个棋子，这个方阵最外层每边棋子数为：4+2×5＝4+10＝14（个），则这个方阵最外层的棋子组成的图形的边长就是14厘米，这个方阵最外层的棋子组成的图形的周长就是：14×4＝56（厘米）；答：这个方阵最外层的棋子组成的图形的周长是56厘米．【分析】本题关键是求出这个方阵最外层每边的棋子数，解答此题要明确：相邻的两层之间相差2个棋子．21．【答案】见试题解答内容【分析】当扩大方阵时，需补充10+15＝25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角．补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2＝13（人）．因此，扩大的方阵共有13×13＝169（人），去掉15人，就是原来人数．【解答】解：扩大的方阵每边上有：（10+15+1）÷2，＝26÷2，＝13（人）；原来人数：13×13﹣15，＝169﹣15，＝154（人）；答：原来有154人．【分析】此题解答的关键是扩大的方阵共有多少人，要求扩大的方阵共有多少人，就要求出扩大的方阵每边上的人数．22．【答案】见试题解答内容【分析】把正方形花坛看作是空心方阵，它的每条边上都种上4棵树，并且四个角都必须各种1棵，可以看做每边点数为4的方阵问题，根据最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4，即可解决问题．【解答】解：4×4﹣4＝16﹣4＝12（棵）答：一共要种12棵树．【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．23．【答案】见试题解答内容【分析】由题意知，每行14人变为每行17人，就要增加（7+2）＝9人，由此可以用（7+2）÷（17﹣14）＝3（行）求得排了3行，进而用14×3+7＝49（人）求出总人数，49是完全平方数，因此能排成一个实心方阵，据此解答．【解答】解：（7+2）÷（17﹣14）＝3（行），14×3+7＝49（人），49＝7×7，答：这些同学能排成一个实心方阵，最外层每边7人．【分析】解答此题关键是根据盈亏问题的解题思路求得总人数为一个完全平方数．24．【答案】见试题解答内容【分析】如果去掉一行一列，要去掉8×2﹣1＝15人，最外层每边还剩7人，然后根据“中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”解答即可．【解答】解：8×2﹣1＝15（人）（8﹣1）×（8﹣1）＝49（人）答：如果去掉一行一列，要去掉15人，还剩49人．【分析】四周的点数＝（每边的点数﹣1）×4，每边的点数＝四周的点数÷4+1，中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的点数﹣内层每边的点数）÷2+1．25．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先根据最外层每边有21粒，用21×4，再减去四个顶点上重复计算的棋子，求出这个方阵最外层有多少粒棋子即可；（2）用21×21求出这个方阵共有多少粒棋子即可；（3）如果把最外层的棋子都拿掉，求处在方阵最外层的有多少粒棋子，即求原来方阵外面的第二层的棋子数，首先求出外面的第二层每边有多少粒棋子，然后同样的方法求出外面的第二层有多少粒棋子即可．【解答】解：（1）21×4﹣4＝84﹣4＝80（粒）答：方阵最外一层共有80粒棋子．（2）21×21＝441（粒）答：这个方阵共有441粒棋子．（3）（21﹣2）×4﹣4＝19×4﹣4＝76﹣4＝72（粒）答：如果把最外层的棋子都拿掉，这样之后，处在方阵最外层的有72粒棋子．【分析】解答此题的关键是弄清楚方阵问题相关的知识点：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数．26．【答案】见试题解答内容【分析】最里层共有8棵白菜，每边有8÷4+1＝3棵，最外层每边有3+2×（12﹣1）＝25棵，然后根据空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．【解答】解：8÷4+1＝3（棵）3+2×（12﹣1）＝25（棵）（25﹣12）×12×4＝624（棵）624×2＝1248（千克）答：这块菜地能收1248千克白菜．【分析】本题关键是求出每边的棵数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．27．【答案】见试题解答内容【分析】根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可．【解答】解：（12﹣3）×3×4＝108（个）答：一共用了108个棋子．【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．28．【答案】见试题解答内容【分析】本题看作一个空心方阵问题，利用方阵最外层四周点数＝每边点数×4﹣4计算出最外层四周点数即可．【解答】解：画图如下：5×4﹣4＝20﹣4＝16（朵）答：毛巾四周一共绣了16朵花．【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．29．【答案】51人。【分析】根据总人数＝（每边人数﹣层数）×层数×4，求出每边人数即可。【解答】解：576÷4÷3+3＝48+3＝51（人）答：这个空心方阵外层每边有51人。【分析】本题主要考查了方阵问题，熟记公式是本题解题的关键。30．【答案】见试题解答内容【分析】横竖各增加一排，比原方阵来多26+5＝31人，根据横竖的交点处1人，那么每边的人数是：（31+1）÷2＝16（人），育英小学有学生：16×16﹣26＝230（人）；据此解答．【解答】解：26+5＝31（人）（31+1）÷2＝16（人）16×16﹣26＝256﹣26＝230（人）答：育英小学有学生230人．【分析】本题关键是求出每边的人数；注意，比原方阵来多的31人是横竖各增加一排的人数．31．【答案】见试题解答内容【分析】要解决这道题我们需要两个条件：一：每行有多少人？3+6＝9，这时候华华加了两次，所以每行应该有3+6﹣1＝8（人）；二：队伍的列数？用同样的方法：2+5﹣1＝6（人），最后用每行人数×列数即可．【解答】解：3+6﹣1＝8（人）2+5﹣1＝6（人）6×8＝48（人）答：全班共有48人．【分析】本题关键是求出每行、每列的人数，注意华华加了两次．32．【答案】见试题解答内容【分析】由题意得空心花坛最外层每边摆的花盆数，即5+2×4＝13盆；接着再根据“求多层空心方阵总盆数的公式”即可求得问题的答案．【解答】解：5+2×（5﹣1）＝13（盆）（13﹣5）×5×4＝160（盆）答：这个花坛共有160盆花．【分析】此题并不难，只要能灵活运用“方阵问题中的公式”即可轻松解答．33．【答案】见试题解答内容【分析】正方形方队，每行12个人，每列12个人，四周有2行2列，但是站在4个顶点处的人既计算在列中，又计算在行中，所以根据方阵最外层总人数＝每边人数×4﹣4可得，这个方阵的四周站了12×4﹣4＝44名．【解答】解：12×4﹣4＝48﹣4＝44（名）答：这个方阵的四周站了44名少先队员．【分析】此题主要考查方阵最外层总人数＝每边人数×4﹣4的计算应用．34．【答案】见试题解答内容【分析】使横竖各增加了一排，原来最外层每边有（9﹣1）÷2＝4（个），然后根据“中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”解答即可．【解答】解：（9﹣1）÷2＝4（个）4×4＝16（个）答：原来的实心方阵有16个棋子．【分析】本题关键是求出每边的棋子数；方阵问题相关的知识点是：四周的点数＝（每边的点数﹣1）×4，每边的点数＝四周的点数÷4+1，中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的点数﹣内层每边的点数）÷2+1．35．【答案】见试题解答内容【分析】减少了2行2列，即减少的部分相当于外面1层的空心方阵，最外层每边有18人，然后根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可．【解答】解：（18﹣1）×1×4＝17×4＝68（人）答：减少了68人．【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．36．【答案】49人。【分析】因为从前、后、左、右数，小红都是第4个，所以每行都有4×2﹣1＝7（人），由此利用方阵问题中：总人数＝每边人数×每边人数，即可解答。【解答】解：4×2﹣1＝7（人）7×7＝49（人）答：这个舞蹈队有49人。【分析】此题考查了方阵问题中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出每边人数。37．【答案】见试题解答内容【分析】根据“实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”解答即可．【解答】解：10×10＝100（人）答：共需要100人．【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的点数＝（每边的点数﹣1）×4，每边的点数＝四周的点数÷4+1，中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的点数﹣内层每边的点数）÷2+1．38．【答案】见试题解答内容【分析】要解决这道题我们需要两个条件：一：每行有多少人？2+4＝6，这时候小华加了两次，所以每行应该有2+4﹣1人；二：队伍的行数？用同样的方法3+5﹣1（人），最后用每行人数×行数，即可．【解答】解：每行的人数：2+4﹣1＝5（人），队伍的行数：3+5﹣1＝7（行），总人数：5×7＝35（人）；答：鲜花队共有35人．【分析】本道题目就是利用排队论找到每一行的人数，以及行数，不应该因为数据比较多而乱．39．【答案】见试题解答内容【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有44人，最内层有28人，则方阵的层数：（44﹣28）÷8+l＝3（层）；最外层每边的人数44÷4+1＝12人；由此根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数．【解答】解：方阵的层数：（44﹣28）÷8+l＝3（层）；最外层每边的人数：44÷4+1＝12（人）；总人数：（12﹣3）×3×4＝108（人）；答：这方阵共有108人．【分析】本题关键是求出方阵的层数和每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．40．【答案】见试题解答内容【分析】根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”可得：“中空方阵最外层每边人数＝总人数÷4÷层数+层数”，由此代数求得．【解答】解：360÷4÷6+6＝90÷6+6＝15+6＝21（人）答：最外层每边应安排21人．【分析】本题考查了“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”的灵活应用．41．【答案】见试题解答内容【分析】先根据每边人数＝（最外层人数+4）÷4，求出每边人数，再利用实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数即可解答．【解答】解：每边人数是：（60+4）÷4＝15+1＝16（人）所以方队的总人数是：16×16＝256（人）答：这个方队共有256人．【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．42．【答案】见试题解答内容【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层60人，最内层28人，则方阵的层数：（60﹣28）÷8+l＝5（层）；最外层每边的人数60÷4+1＝16人；由此根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数．【解答】解：60÷4+1＝16（人）（16﹣5）×5×4＝11×5×4＝220（人）答：总共有220人．【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4的灵活应用．43．【答案】见试题解答内容【分析】根据“每边的点数＝四周的点数÷4+1”解答即可．【解答】解：84÷4+1＝22（个）答：每边打了22个桩．【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．44．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据空心三角阵的特点可知，相邻两层的点数相差9个，然后根据每层点的个数＝每边的个数×3﹣3代入数据求出最外层的点数，然后根据等差数列解答即可；（2）最里层的个数6开始，要使一个空心三角阵的层数最多，要从里面第二层6+9＝15个计数，设一共有n层，公差为9，然后根据等差数列解答即可；（3）要使它的最外层最多，必须层数最少，因为294是偶数，所以从外向内依次减少的总枚数必须是偶数，即9、9+9×2＝27、9+9×2+9×3＝54，…，其中最少的是54，所以共有4层时，它的最外层最多；然后再进一步解答即可．【解答】解：（1）20×3﹣3＝57（枚）57﹣9×（5﹣1）＝21（枚）（57+21）×5÷2＝78×5÷2＝195（枚）答：一共有195枚棋子．（2）设一共有n层，15n+n（n﹣1）×9÷2＝2943n2+7n﹣196＝0解得：n＝7答：它最多有7层．（3）因为294是偶数，所以从外向内依次减少的总枚数必须是偶数，即9、9+9×2＝27、9+9×2+9×3＝54，…，其中最少的是54，所以共有4层时，它的最外层最多；所以最外层最多有：（294+54）÷4＝87（枚）．答：它的最外层最多有87枚棋子．【分析】本题考查了三角阵问题和等差数列问题的综合应用，关键是理解空心三角阵相邻两层的点数相差9个．45．【答案】见试题解答内容【分析】可以去掉最外层相对的两个角上的点，然后用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形；据此解答即可．【解答】解：【分析】解答本题关键结合图形的特征，确定在什么地方去掉两个点．46．【答案】20人。【分析】根据“总点数＝每边点数×每边点数”求出总人数，再根据“总人数＝（外层每边人数﹣层数）×层数×4”解答即可。【解答】解：16×16＝256（人）256÷4÷4+4＝16+4＝20（人）答：空心方阵最外层有20人。【分析】此题考查了方阵问题中：“总点数＝每边点数×每边点数；总人数＝（外层每边人数﹣层数）×层数×4”的灵活应用。47．【答案】见试题解答内容【分析】试题分析：先根据方阵总人数＝每边人数×每边人数，求出这个方阵的每边人数，再利用方阵最外层四周人数＝每边人数×4﹣4计算出最外层四周人数即可．【解答】解：因为7×7＝49，所以49人组成的方阵的每边人数是7人，7×4﹣4＝28﹣4＝24（人）；答：这个方队的最外围一共有24人．【分析】此题考查了空心方阵问题中：四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．48．【答案】见试题解答内容【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，根据和差公式可求出最外层有（40+8）÷2＝24（盆）；由此根据“每边的点数＝四周的点数÷4+1，”这一方阵的外层每边摆多少盆．【解答】解：（40+8）÷2＝48÷2＝24（盆）24÷4+1＝7（盆）答：这一方阵的外层每边摆7盆．【分析】本题关键是求出方阵的最外层的盆数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1．49．【答案】见试题解答内容【分析】根据最外层人数＝每边人数×4﹣4，先求出这个方阵的每边人数，再利用实心方阵总点数＝每边点数×每边点数即可计算这个方阵的总人数．【解答】解：最外层每边人数：（72+4）÷4＝76÷4＝19（人）；19×19＝361（人）；答：这个方阵共有361人．【分析】此题考查了最外层点数＝每边点数×4﹣4，以及实心方阵总点数＝每边点数×每边点数这两个计算公式的灵活应用．50．【答案】625人。【分析】根据减少的人数求出原来方阵每边的人数，然后根据方阵问题公式求解即可。【解答】解：（49+1）÷2＝50÷2＝25（人）25×25＝625（人）答：全校有625人排队做早操。【分析】本题主要考查了方阵问题，正确的求出每边人数是本题解题的关键。51．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据公式：最外层人数＝每边人数×4﹣4；代入数据即可解答．（2）根据公式：实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答．【解答】解：（1）15×4﹣4＝60﹣4＝56（名），15×15＝225（名），答：最外层一共有56名学生，这个方阵一共有225名学生．【分析】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用．52．【答案】见试题解答内容【分析】棋子排成每边8粒的正方形，即每排八粒，共八排，可见棋子总数是8个8粒，即8×8＝64粒，最外层的棋子数可按公式：一周总点数＝每边粒数×4﹣4求得．【解答】解：8×8＝64（粒）8×4﹣4＝32﹣4＝28（粒）答：棋子共有64粒，最外层有28粒．【分析】本题方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数．53．【答案】见试题解答内容【分析】如果拿走一行一列，要拿6×2﹣1＝11颗，每边还剩5颗，然后根据“中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”解答即可．【解答】解：6×2﹣1＝11（颗）5×5＝25（颗）答：如果拿走一行一列，要拿11颗，还剩25颗．【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．54．【答案】1632盆。【分析】摆成实心方阵，会多出32盆。如果摆成每边比原来多1盆的新方阵，则缺49盆，即增加一行一列需要32+49＝81（盆），那么现在每行每列有（81+1）÷2＝41（盆），则原来每行每列有41﹣1＝40（盆），然后根据“中实方阵的总点数＝每边点数×每边点数”解答即可。【解答】解：32+49＝81（盆）（81