高考数学一轮复习 4.1 基本公式

4.1基本公式考向1三角函数基本概念知识点1任意角与象限角1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.2.角的表示如图，是角的始边，是角的终边，是角的顶点.角可记为“角”或“”或简记为“”.3.任意角①定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角.4.象限角把角放在平面直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合5.八卦图法判断的象限①每个象限平分份；②从轴上方逆时针开始标数；③找到所在象限数字.例:判断的象限是第二象限的角）①每个象限平分3份；②从轴上方逆时针开始标数；③找到所在象限数字“2”.6.终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.例已知是第二象限角，求角所在的象限.若本例条件中角变为第三象限角,求角是第几象限角.如图所示，先将各象限分成2等份,再从轴正半轴的上方起,按逆时针方向,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有三的区域即为角的终边所在的区域,故角为第二或第四象限角.若在本例条件下,求角的终边的位置.题型一1任意角与象限角的判断例1若角的终边与角的终边相同,则在范围内,终边与角的终边相同的角为_____.例2如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是_____.知识点2弧度制与扇形公式1.1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示.2.角的弧度数:如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为,那么,角的弧度数的绝对值是3.角度与弧度的换算，②。4.弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为,圆心角大小为,半径为,又,则扇形的面积为.例（2022·甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以为圆心,为半径的圆弧,是的中点,在上,.“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式:.当时，（）A.B.C.D.题型2扇形公式例3（2019北京）如图,是半径为2的圆周上的定点,为圆周上的动点,是锐角,大小为,图中阴影区域的面积的最大值为（）A.B.C.D.例4（2026·西安月考）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）.已知,线段与的长度之和为30,圆心角为0弧度.则铭牌的截面面积最大值为（）A.B.C.75 D.考向2三角函数线知识点任意角的三角函数与三角函数线1.三角函数定义式:设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点,点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即;点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即;把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即.三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么叫做的正弦，记作叫做的余弦，记作叫做的正切,记作三角函数正弦余弦正切各象限符号I正正正II正负负III负负正IV负正负各象限符号口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦图示:2.三角函数线设角的顶点在坐标原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,过作垂直于轴于,则点是点在轴上的正射影.由三角函数的定义知,点的坐标为,即,其中,单位圆与轴的正半轴交于点,单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点,则.我们把有向线段叫做的余弦线、正弦线、正切线.例已知角的终边过点，且，则的值为（）A.-3B.3C.-4D.4题型3任意角的三角函数例5（2020新课标II）若为第四象限角,则（）A.B.C.D.例6（2024北京卷）已知，且与的终边关于原点对称，则的最大值为_____.题型4三角函数线例7若,证明.考向3同角三角函数的基本关系知识点弦切互化与齐次思想1.同角三角函数的基本关系（1）平方关系:.（2）商数关系:；规律:利用可以实现角的正弦、余弦的互化,利用可以实现角的弦切互化.2."sin"方程思想知一求二.【注意】与的符号由决定.（1）若则在第一、三象限；（2）若则在第二、四象限.3.同角三角函数其次式（1）弦切互化法:主要利用公式进行切化弦或弦化切（2）分子、分母同除以除以，再除以等类型可进行弦化切.例（1）已知，求的值.（2）已知，且在第三象限，求的值.（3）已知，且在第二象限，求的值.题型5弦切互化求值例8（2018全国）已知为第二象限的角，且，则（）A.B.C.D.例9（2023·乙卷）若，则_____.题型6齐次化思想例10（2024·甲卷）已知,则（）A.B.C.D.例11（2021·新高考I）若，则（）A.B.C.D.例12当时，函数的最大值为_____.考向4三角函数诱导公式知识点诱导公式1.三角函数诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限 【记忆口诀】“奇变偶不变,符号看象限”意思是说的三角函数值等于“当为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当为偶数时,函数名不变,然后的三角函数值前面加上当为锐角时,原函数值的符号.例（2017·上海）若，则_____.题型7利用诱导公式化简求值例13（2025北京）已知