高考数学一轮复习 5.1 解三角形基础篇

5.1解三角形基础篇考向1公式问题<知识点1余弦定理与变式在中,角的对边分别是,则有余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达推论例（2025·全国Ⅱ卷）在△ABC中，，，，则角（）A.45°B.60°C.120°D.知识点2正弦定理以及变形公式在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即.我们来看一下变形公式:1..2.（其中是外接圆的半径）.题型一正余弦定理的应用例1（2024・上海）三角形中,,则_____.例2在中,,则（）A.B.C.D.例3（2025·天津卷）在中，角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.例4（2024·天津卷）在中，，.（1）求；（2）求；（3）求.知识点3三角形的面积三角形的基础面积公式（1）；（2）为三角形内切圆半径）；（3）；（4）（为三角形外接圆半径）；例（2021·乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则_____.题型2三角形面积公式的应用例5（2018新课标I）的内角的对边分别为.已知，，则的面积为_____.例6（2026・九省联考）在中,,则的面积为A.6B.8C.24D.48例7（2024·全国Ⅰ卷）记内角、、的对边分别为，已知（1）求B；（2）若的面积为，求c.知识点4三角形的解及形状1.判断三角形解的情况总结:2.判断三角形的形状（1）余弦定理推形状:三角形三条边从小到大排列，即，（1）若，则是锐角三角形；（2）若，则是直角三角形；（3）若，则是钝角三角形；（2）三角恒等变换推形状:①直角三角形判定:或或证明:②等腰三角形判定:或或证明:,即:,故.③等腰或直角三角形判定:证明:或或④等边三角形判定:、、成等差数列，、、成等比数列证明:成等差数列成等比数列,即例在中,已知,解三角形.题型3判断三角形的解及形状例8在中，，，面积，由_____.例9在中,若,且,那么一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形例10（2025·北京卷）在中，.（1）求；（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的高.①；②；③面积为.知识点5边角互换1.边换角解题步骤①正弦定理把边化为角；②利用消去一个元，和差公式展开重新合并式子；③利用辅助角公式化成的形式;④解出特殊值的方程.（注意诱导公式和角度范围的使用）2.角换边解题步骤（一般是出现的形式）①正弦定理把边角换边；②利用余弦定理进行式子的对比求出角度值；例（2020·浙江）在锐角中,角所对的边分别为.已知.求角的大小；题型4边角互换问题例11（2022·乙卷）记的内角的对边分别为,已知.（1）证明:；例12（2019新课标I）的内角的对边分别为.设.求;考向2实际应用问题知识点实际应用问题1.距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离余弦定理两点间可视不可到达的距离正弦定理两个不可到达的点之间的距离先用正弦定理再用余弦定理（1）两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.（2）两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.2.高度问题类型简图计算方法底部可达测得,.底部不可达点与共线测得及与的度数.先由正弦定理求出或,再解三角形得的值.点与不共线测得及,的度数.在中由正弦定理求得,再解三角形得的值.（1）仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.（2）高度问题大多通过正（余）弦定理构造直角三角形来解决.例（2025·上海）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子,与斜面的接触点分别为,它们在阳光的照射下呈现出影子,阳光可视为平行光:其中一根杆子的影子在水平面上,长度为0.4米;另一根杆子的影子完全在斜面上,长度为0.45米.则斜面的底角_____.（结果用角度制表示，精确到题型5实际应用问题例13（2024・上海）已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则_____.（精确到0.1度）例14（2021·乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图,点在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”,与的差称为“表目距的差”,则海岛的高（）A. B. C. D.例15（2021·甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示