高考数学一轮复习 8.2 等差数列

第二节等差数列考向1等差数列的概念及通项公知识点1等差数列的概念1.定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,即或者,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示,公差可正可负可为零.2.递推公式形式的定义:且或者.知识点2等差中项的概念由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,叫做与的等差中项且①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数,任意两实数的等差中项存在且唯一;②三个数成等差数列的充要条件是.知识点3等差数列的通项公式首项为,公差为的等差数列的通项公式.知识点4从函数观点看等差数列一一等差数列与一次函数由等差数列的通项公式,可得.当时,是的一次函数,一次项系数是等差数列的公差,它的图像是在直线上均匀排列的一群孤立的点.（1）当时数列为递增数列；（2）当时数列为递减数列；（3）当时，，等差数列为常数列,此时数列的图像是平行于轴的直线（或轴）上均匀分布的一群孤立的点.从图像上看（如下图）,表示数列的各点,即点,均匀分布在一条直线上.知识点5等差数列通项公式的变形及推广1.公式变形设等差数列的首项为,公差为,则①，可用来由等差数列任两项求公差.②，可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求.证明:因为,所以,所以.由上可知,等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示,公式可以看成是时的特殊情况.③，已知首项，末项，公差即可计算出项数.2.基本量法（1）等差数列可以由首项和公差确定，我们把和称为基本量，所有关于等差数列的计算和证明,都可围绕和进行.在基本量法中,不拘泥于,有可直接用.解题时没有思路了,可以回归基本量法.（2）求等差数列的通项公式的两种思路:①设出基本量，利用条件构建方程组，通过加减消元法或代入消元法求出，即可写出等差数列的通项公式;②已知等差数列中的两项，（，，）时，则，可不必求而直接写出等差数列的通项公式.③设项技巧——对称设项（1）三个数成等差数列可设为:，，或，，；（2）四个数成等差数列可设为:，，，或，，，.例1（2020・上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则_____.例2设分别是内角的对边,若依次成公差不为0的等差数列,则（）.A.依次成等差数列 B.依次成等差数列C.依次成等差数列 D.依次成等差数列例3（2022·新II卷）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为.已知成公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则（）A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9例4函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列,则以下不可能成为公差的数是（）A.B.C.1D.例5已知等差数列的公差为,集合,若,则（）A.-1 B.C.0 D.考向2等差数列的性质1.由等差数列生成新的等差数列（1）公差为的等差数列具有如下性质:下标成公差为的等差数列的项，，，...组成以为公差的等差数列,即在等差数列中每隔相同的项选出一项,按原来的顺序排成一列,仍然是一个等差数列.（2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.（3）若，分别是公差为，的等差数列，则有数列结论公差为的等差数列为任一常数公差为的等差数列为任一常数公差为的等差数列公差为的等差数列为常数2.角标和对称性:若,则.（1）若，则；（2）若，则.（3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和:对于选填中的二元问题,单条件暗示考性质,可利用从一般到特殊思想,直接考虑特殊化的情形,令可简化计算.3.角标项对偶性:若,则.证明:由得,,所以例6（2024·新高考II）记为等差数列的前项和,若,则_____.例7已知数列为等差数列,且,则（）A. B.C.D.例8已知均为等差数列,且,则（）A.2026B.2025C.2024D.2023例9已知数列为等差数列，，则（）A.16 B.19 C.25 D.29考向3等差数列的前项和已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式①；②1.与之间一步转换例:.公式一:（其中为奇数）例:.公式二:例:.当也成等差数列时,均有.2.只有的模型与最值问题性质1.等差数列中:,则有可以求出,甚至.注意:①若,则一定有:.②，，成等差数列，公差为性质2.等差数列中:为首项是,公差是的等差数列,若,则特别的,若,则有.性质3.①有最大值;有最小值.②时，求的最大值时，求的最大值.题型1与的关系例10（2025·新课标II卷）设为等差数列的前项和，，则（）A.-20B.-15C.-10D.-5例11（2023·甲卷）记为等差数列的前项和.若，则A.25B.22C.20D.15例12（2024·甲卷）等差数列的前项和为,若（）A.-2 B.C.1 D.例13（2025·天津卷），则数列的前12项和为（）A.112B.48C.80D.64例14（2013·新课标I）设等差数列的前项和为，若，则（）A.3B.4C.5D.6例15设与是两个等差数列,它们的前项和分别为和,若,则:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）求使为整数的正整数的集合.例16已知等差数列与等差数列的前项和分别为与，且，则（）A.B.C.D.题型2与有关的最值问题例17记等差数列的前项和为,公差为,若,则（）A.B. C.D.例18（多选）公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有（）A.B.C.中最大D.例19（2019·北京）设等差数列的前项和为,若,则_____,的最小值为_____.题型3奇数项和与偶数项和（1）①若数列共有项，则（为中间项），，；（其中）;②若数列共有项，则为中间两项），，.例20等差数列共个项,且奇数项和为165,偶数项和为150,则（）A.10 B.13 C.11 D.22例21一个等差数列共有项,奇数项的和与偶数项的和分别为24和30,且末项比首项大10.5,则该数列的项数是（）A.4 B.8 C.12 D.20例23一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为_____.考向4等差数列的判定方法1.定义法:利用定义,（常数）.2.等差中项法:即.3.通项公式法:.若数列的通项公式为的一次函数,即,则是等差数列.4.前项和法:若数列的前项和是的形式,则为等差数列.注:①解答题可利用（1）或（2）进行严格证明;②选择、填空题时,可直接用（3）或（4）直接判断.5.常见的等差数列（1）为等差数列，.（2），即是从第二项开始为等差数列.注:选填题可以直接用,解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程,避实就虚!（3）若则是等差数列，且.证明:因为,所以当时,两式相减得,所以,所以,所以,故是等差数列.（4）型递推关系式.转化步骤:方程两边分别同除以“积式”结构,即可分别得到,为等差数列.可以类比基本不等式中的“整体代换”来理解记忆,见到结构,同除积式得.（5）用于含指数幂型已知条件.转化方法:同除指数项,等式两边同时除以,所以为等