高考数学一轮复习 8.4 数列的递推与通项公式

第四节数列的递推与通项公式考向1利用与的关系1.关系:,要注意验证与两种情况能否统一.2.已知与的关系式,记为,求它的通项公式,一般有两种思路:（1）消:容易直接求的情况，可利用阶差公式:，消去，转化为等差或等比数列直接求出;（2）消:难以直接求的情况，可利用阶差公式:，消去，得出与的递推关系式,先求出后,即可转化为“第1种情形”,从而间接求出,如例3.在求解具体的题目时,应根据条件灵活恰当地选择两种方法,确定变形方向.通常情况下,先求要比直接求麻烦;但也有时先直接求会比先求麻烦得多.题型1消例1设数列的前项和为,且.求数列的通项公式.例2设数列的前项和为，.求数列的通项公式.题型2消例3已知数列的前项和为,且满足,求.例4在正项数列中,是数列的前项和,且,求.考向2累加法累加法适用于邻项差结构利用,将问题转化为基本数列求和,从而得到所求数列的通项.以下①②③为三种累加后可裂项相消求和的题型:①若是关于的分式函数，；②若是关于的对数函数，；③若是关于的无理式函数，.④若是关于的一次函数，，累加后可转化为等差数列求和；⑤若是关于的二次函数，，累加后可分组求和；⑥若是关于的指数函数，，累加后可转化为等比数列求和；例5在数列中，，求.例6已知数列中，，求.考向3累乘法累乘法适用于邻项商结构,利用,将问题转化为基本数列求和,从而得到所求数列的通项.例7已知数列中,,求数列的通项公式;例8设是首项为1的正项数列,,求的通项公式.考向4构造法题型1一阶线性递推型转化方法:①待定系数法,令,化简整理后与原来的递推式比较系数可知,于是,故数列是以为首项,以为公比的等比数列.②由得,两式相减,得,当时,数列是公比为的等比数列.例9已知数列满足,则（）A.B.C.D.例10已知数列的首项,求数列的通项公式.题型2一阶线性递推型转化方法:待定系数法,令,化简整理后与已知递推式比较系数得从而转化为是公比为的等比数列.例11已知数列满足,求出数列的通项公式.题型3含指数幂型递推关系式或转化方法:①等式两边同时除以,当时,再构造等比数列求解（题型一）;②待定系数法,令,化简整理得,与原递推关系式比较系数可得,解得.对于,同理可得.注意,当时,只能构造等差数列,如例2.例12已知数列的前项和为,满足,则数列的通项公式为_____.例13已知数列满足,则数列的通项公式为_____.题型4分式型递推关系式转化方法:取倒数+待定系数,两边取倒数可得:,当时,可转化为题型一中结构,再待定系数构造等比数列即可.例14已知数列满足.求证:数列为等比数列,并求出数列.题型5平方式递推型转化方法:取对数法,当数列和的递推关系涉及到高次时,一般先对已知递推关系式进行适当的变形（同加减、同乘除）整理成类似形式,将等式两边分别取对数降次得到,数列即为等比数列.例15已知数列满足,则数列的通项公式为_____.题型6二阶线性递推关系转化方法:找到中间项,通过中间项与前一项和后一项的特征,寻求合理的构造方式解决问题.例16已知数列满足,且,则数列的通项公式是_____.考向5隔项型题型1隔项等差型1.分奇偶讨论法:通过对数列下标进行换元,分为奇数项与偶数项两种情况.①当为奇数时,可令,反解得,于是②当为偶数时,可令,反解得,于是综上所述,注意换元后,要将最后的结果还原成关于的表达式.2.待定系数法:（此方法限小题）此类型题由于和作为数列奇数项和偶数项首项,会使得数列一些变形出现一些计算难度,故可以采用待定系数法来求统一的通项公式,考虑首项的因素,需要在原始的待定系数的前面加上.具体操作如下:令,其中,代入和即可确定和.例17数列中,,数列的通项公式.例18（2014·新课标1卷理）已知数列的前项和为，,其中为常数.（1）证明:；（2）是否存在，使得为等差数列?并说明理由.题型2隔项等比型1.分奇偶讨论法:通过对数列下标进行换元,分为奇数项与偶数项两种情况.①当为奇数时，可令，反解得，于是②当为偶数时，可令，反解得，于是.综上所述,.注意换元后,要将最后的结果还原成关于的表达式.2.待定系数法:,对比系数可得出,再代入即可确定.例19已知数列满足,求此数列的通项公式.考向6特征根法与不动点法1.不动点的概念:对于函数,我们称方程的根为函数的不动点.2.不动点法:当我们遇到,且是一个关于的多项式（或分式多项式）这种类型的递推公式时,可以采用不动点法来求,常见的题型有2类:型,型.（1）型:（参考例1）第一步,构造函数,并令,求出的不动点;第二步,在递推公式两端同时减去,化简使得左右两侧结构一致;第三步,构造数列求通项.（2）型:（三种情况的例题分别为后续的例2、例3、例4）第一步,构造函数,并令,求出的不动点;第二步,若有2个不动点,则用两端分别减去两个不动点,得到两个式子,两式相除可以产生优良结构,进而构造数列求通项;若只有1个不动点,则用两端减去该不动点,再取倒数,化简可以产生优良结构,进而构造数列求通项;若没有不动点,则在考题中,往往是周期较小的周期数列,直接根据首项和递推公式求出前几项找规律即可.3.特征根法:形如（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为.（以下两种情况的例题分别为后续的例5、例6）（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）.（其中可利用求得）例20已知数列满足,则_____.,故.例21已知数列满足,则_____.例22已知数列满足,则_____.例23已知数列满足,则_____.例24已知数列中，，且，则_____.例25已知数列中，，且，则_____.考向7斐波那契数列1.定义:一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列,又称黄金分割数列;表达式.①逐项罗列:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……；②递推公式:；③通项公式:.（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）.2.求和问题:①前项和:；②奇数项和:；③偶数项和:.证明:①,故,此证明方法也是错位相减的一种特例.②，此证明过程也需要利用①的结论.③.这三个式子用数学归纳法证明也非常简单,无需强化记忆,每次列出前几项比划一下,考试中如果出现需要这些结论的,拿出前几项及时推导即可.3.平方和问题:（根据面积公式推导,如下图）构造正方形来设计面积,,以此类推,也可以用数学归纳法证明,知道一个大致的方向即可.4.余数列周期性:被2除的余数列周期为3:被3除的余数列周期为被4除的余数列周期为5.裂项问题:注意:如果是斐波那契数列的部分项求和也可以,比如,前提就是必须隔项,否则无法裂项相消.例26著名的波那契列,满足,那么是斐波那契数列中的（）A.第2020项B.第2021项C.第2022项D.第2023项例27（多选）1202年，斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列,该数列的特点是前两项为1,从第三项起,每一项都等于它前面两项的和.记为该数列的前项和,则下列结论正确的有（）A. B.为奇数C. D.例28已知数列满足:,则的整数部分为（）A.6B.7C.8D.9例29意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列,斐波那契数列满足.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则其中不正确结论的是（）A.