2026年福建省人教版高三数学第4单元数列的应用模拟试卷

2026年福建省人教版高三数学第4单元数列的应用模拟试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，若将数列{a_n}的前n项和记为S_n，则S_10的值为（）A.120B.150C.180D.210解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得3+4d=9，解得d=3/2。S_10=10×3+(10×9)/2×3/2=150，故选B。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则b_5的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，b_n+1=2^n，b_5=2^5-1=31，故选A。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+1，则c_4的值为（）A.11B.13C.15D.17解析：c_4=S_4-S_3=2×16-3×4+1-(2×9-3×3+1)=15，故选C。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则数列的前6项和S_6的值为（）A.90B.180C.360D.720解析：由d_4/d_2=q^2=9，得q=3，d_1=2，S_6=2(3^6-1)/2=729-1=728，故选D。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，若f_n=e_n/e_(n+1)，则数列{f_n}的前3项和的值为（）A.3/4B.5/6C.7/8D.9/10解析：e_n=S_n-S_(n-1)=n(n+1)/2-((n-1)n)/2=n，f_n=n/(n+1)，f_1+f_2+f_3=1/2+2/3+3/4=13/12，故选B。6.若数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=3g_n+2（n∈N），则数列{g_n+1}的前4项和的值为（）A.40B.60C.80D.100解析：数列{g_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列，前4项和为4(3^4-1)/2=190，故选D。7.在等差数列{h_n}中，若h_1+h_3+h_5=27，h_2+h_4+h_6=39，则数列的前9项和S_9的值为（）A.81B.108C.135D.162解析：h_1+h_3+h_5=3h_3=27，h_2+h_4+h_6=3h_4=39，d=h_4-h_3=4，h_1+h_3+h_5+h_2+h_4+h_6=66，S_9=9(h_1+h_9)/2=9(h_1+4d)/2=162，故选D。8.已知数列{m_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{log_2(m_n)}的前3项和的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：m_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-2^(n-1)+1=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，log_2(m_n)=n-1，前3项和为0+1+2=3，故选A。9.在等比数列{p_n}中，若p_1+p_2+p_3=13，p_2+p_3+p_4=39，则数列的首项p_1的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：p_1+p_2+p_3=13，p_2+p_3+p_4=39，q=(39/13)=3，p_1(1+q+q^2)=13，p_1(1+3+9)=13，p_1=1，故选A。10.已知数列{q_n}的前n项和S_n=n^2+n，若a_n=S_n/S_(n+1)，则数列{a_n}的前3项和的值为（）A.3/4B.5/6C.7/8D.9/10解析：a_n=S_n/S_(n+1)=n^2+n/(n+1)^2+n+1=n^2+n/(n^2+2n+2)=1/(1+2/n+2/n^2)，a_1+a_2+a_3=1/4+1/6+1/8=13/24，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{r_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9=_________。参考答案：30解析：a_3+a_7=2a_5=18，a_5=9，a_5+a_9=2a_7=18+4d=30，故填30。2.已知数列{s_n}满足s_1=2，s_n+1=2s_n+1（n∈N），则s_6=_________。参考答案：127解析：数列{s_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，s_n+1=3×2^(n-1)，s_6=3×2^5=96，故填96。3.若数列{t_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则t_4=_________。参考答案：20解析：t_4=T_4-T_3=16+4+1-(9+3+1)=20，故填20。4.在等比数列{u_n}中，若u_2=6，u_4=54，则数列的公比q=_________。参考答案：3解析：q^2=54/6=9，q=3，故填3。5.已知数列{v_n}的前n项和V_n=2^n-1，则v_5=_________。参考答案：31解析：v_5=V_5-V_4=32-16=16，故填16。6.若数列{w_n}满足w_1=1，w_n+1=2w_n+1（n∈N），则w_6=_________。参考答案：63解析：数列{w_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，w_n+1=2^n，w_6=2^6-1=63，故填63。7.在等差数列{x_n}中，若x_1+x_3+x_5=27，x_2+x_4+x_6=39，则数列的公差d=_________。参考答案：4解析：x_1+x_3+x_5=3x_3=27，x_2+x_4+x_6=3x_4=39，d=x_4-x_3=4，故填4。8.已知数列{y_n}的前n项和Y_n=n^2+n，则y_4=_________。参考答案：20解析：y_4=Y_4-Y_3=16+4-(9+3)=20，故填20。9.在等比数列{z_n}中，若z_1+z_2+z_3=13，z_2+z_3+z_4=39，则数列的首项z_1=_________。参考答案：1解析：z_1+z_2+z_3=13，z_2+z_3+z_4=39，q=(39/13)=3，z_1(1+3+9)=13，z_1=1，故填1。10.已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，若b_n=S_n/S_(n+1)，则b_3=_________。参考答案：7/8解析：b_n=S_n/S_(n+1)=n^2+n/(n+1)^2+n+1=n^2+n/(n^2+2n+2)=1/(1+2/n+2/n^2)，b_3=1/(1+2/3+2/9)=7/8，故填7/8。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+1，则数列{c_n}是等差数列。参考答案：×解析：c_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-3n+1-(2(n-1)^2-3(n-1)+1)=4n-5，不是等差数列。2.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则数列的公比q=3。参考答案：√解析：q^2=54/6=9，q=3，故正确。3.若数列{e_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则数列{e_n}是等差数列。参考答案：√解析：e_n=S_n-S_(n-1)=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n，是等差数列。4.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_3+f_5=27，f_2+f_4+f_6=39，则数列的公差d=4。参考答案：√解析：f_1+f_3+f_5=3f_3=27，f_2+f_4+f_6=3f_4=39，d=f_4-f_3=4，故正确。5.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=3g_n+2（n∈N），则数列{g_n}是等比数列。参考答案：×解析：g_n+1-3g_n=2，不是等比数列。6.在等比数列{h_n}中，若h_1+h_2+h_3=13，h_2+h_3+h_4=39，则数列的首项h_1=1。参考答案：√解析：h_1+h_2+h_3=13，h_2+h_3+h_4=39，q=(39/13)=3，h_1(1+3+9)=13，h_1=1，故正确。7.若数列{i_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则数列{i_n}是等差数列。参考答案：×解析：i_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n+1-(n-1)^2-n=2n，是等差数列。8.在等差数列{j_n}中，若j_1+j_3+j_5=27，j_2+j_4+j_6=39，则数列的前9项和S_9=162。参考答案：√解析：j_1+j_3+j_5=3j_3=27，j_2+j_4+j_6=3j_4=39，d=j_4-j_3=4，S_9=9(j_1+4d)/2=162，故正确。9.已知数列{k_n}的前n项和U_n=2^n-1，则数列{k_n}是等比数列。参考答案：×解析：k_n=U_n-U_(n-1)=2^n-1-2^(n-1)+1=2^n-2^(n-1)，不是等比数列。10.在等比数列{l_n}中，若l_1+l_2+l_3=13，l_2+l_3+l_4=39，则数列的公比q=3。参考答案：√解析：l_1+l_2+l_3=13，l_2+l_3+l_4=39，q=(39/13)=3，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{m_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+1，求证数列{m_n}是等差数列。证明：m_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-3n+1-(2(n-1)^2-3(n-1)+1)=4n-5，m_(n+1)-m_n=4(n+1)-5-(4n-5)=4，故数列{m_n}是等差数列。2.在等比数列{p_n}中，若p_2=6，p_4=54，求数列的通项公式。解：q^2=54/6=9，q=3，p_1=2，p_n=2×3^(n-1)。3.已知数列{q_n}的前n项和T_n=n^2+n，求q_5的值。解：q_5=T_5-T_4=25+5-(16+4)=10。4.在等差数列{r_n}中，若r_1+r_3+r_5=27，r_2+r_4+r_6=39，求数列的公差d。解：r_1+r_3+r_5=3r_3=27，r_2+r_4+r_6=3r_4=39，d=r_4-r_3=4。5.已知数列{s_n}满足s_1=1，s_n+1=2s_n+1（n∈N），求证数列{s_n+1}是等比数列。证明：s_n+1=2s_n+1，s_(n+1)+1=2(s_n+1)，故数列{s_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。6.在等比数列{t_n}中，若t_1+t_2+t_3=13，t_2+t_3+t_4=39，求数列的首项t_1。解：t_1+t_2+t_3=13，t_2+t_3+t_4=39，q=(39/13)=3，t_1(1+3+9)=13，t_1=1。7.已知数列{u_n}的前n项和U_n=2^n-1，求证数列{u_n}是等比数列。证明：u_n=U_n-U_(n-1)=2^n-1-2^(n-1)+1=2^n-2^(n-1)，u_(n+1)/u_n=2^(n+1-1)/2^(n-1)=2，故数列{u_n}是等比数列。8.在等差数列{v_n}中，若v_1+v_3+v_5=27，v_2+v_4+v_6=39，求数列的前9项和S_9。解：v_1+v_3+v_5=3v_3=27，v_2+v_4+v_6=3v_4=39，d=v_4-v_3=4，S_9=9(v_1+4d)/2=162。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：设产量为{a_n}，a_1=1000，d=200，a_10=1000+9×200=2800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：设人口为{b_n}，b_1=100，q=1.05，b_5=100×1.05^5≈127.63万。3.某人存款1000元，每年利息为10%，求5年后的本息和。解：设本息和为{c_n}，c_1=1000，q=1.1，c_5=1000×1.1^5≈1610.51元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第8年的种植数量。解：设种植数量为{d_n}，d_1=100，d=50，d_8=100+7×50=550棵。5.某工厂生产一种产品，第一年生产成本为100万元，以后每年比前一年增加10万元，求第6年的生产成本。解：设生产成本为{e_n}，e_1=100，d=10，e_6=100+5×10=150万元。6.某城市人口增长率为每年3%，若2020年人口为200万，求2024年的人口。解：设人口为{f_n}，f_1=200，q=1.03，f_4=200×1.03^4≈234.26万。7.某人每年年初存入银行1000元，利息为10%，求第5年年末的本息和。解：设本息和为{g_n}，g_1=1000，q=1.1，g_5=1000(1.1^5-1)/(1.1-1)≈6105.18元。8.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产100件，求前5年的总产量。解：设产量为{h_n}，h_1=1000，d=100，S_5=5×1000+(5×4)/2×100=4500件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.C4.D5.B6.D7.D8.A9.A10.B二、填空题1.3012.12713.2014.315.3116.6317.418.2019.120.7/8三、判断题1.×22.√23.√24.√25.×26.√27.×28.√29.×30.√四、简答题1.证明：m_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-3n+1-(2(n-1)^2-3(n-1)+1)=4n-5，m_(n+1)-m_n=4(n+1)-5-(4n-5)=4，故数列{m_n}是等差数列。2.解：q^2=54/6=9，q=3，p_1=2，p_n=2×3^(n-1)。3.解：q_5=T_5-T_4=25+5-(16+4)=10。4.解：r_1+r_3+r_5=3r_3=27，r_2+r_4+r_6=3r_4=39，d=r_4-r_3=4。5.证明：s_n+1=2s_n+1，s_(n+1)+1=2(s_n+1)，故数列{s_n+1}是首项为2，