2026年天津市苏教版高中数学高二年级上册第7章函数性质测试题

2026年天津市苏教版高中数学高二年级上册第7章函数性质测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数f(x)可化为：f(x)=\{\begin{aligned}&-2x-1,\quadx\leq-2\\&3,\quad-2<x\leq1\\&2x+1,\quadx>1\end{aligned}\]在区间[-3,3]上，最小值出现在x=-2处，f(-2)=3，故选C。3.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且图象过点(0,1)，则a+b+c的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：由f'(1)=3+2a+b=0，f(0)=c=1，又f'(1)=0得2a+b=-3，f(1)=1+a+b+c=0，联立解得a=1，b=-5，c=1，故a+b+c=-3，但选项无对应答案，需重新命题。4.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在x=1处取得极小值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．ln2解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，由f'(1)=0得2/(1+1)-a=0，解得a=1，验证f''(1)=2/(1+1)^2>0，故选A。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，由零点定理，零点个数为3个，故选C。6.函数f(x)=e^x-1/x在定义域内（x≠0）的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．单调递增D．有渐近线解析：f(x)为非奇非偶函数，f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x→0时极限不存在，故无渐近线，选C。7.若函数f(x)=x^2+2ax+1在x=1处取得最小值，则f(0)+f(2)的值为（）A．4B．5C．6D．8解析：由f'(1)=2+2a=0得a=-1，f(x)=(x-1)^2，f(0)+f(2)=1+1=2，但选项无对应答案，需重新命题。8.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，f(x)在x=0,±√(2/3)处取得极值，共4个，故选C。9.函数f(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值为（）A．1/2B．1/3C．1/4D．1/5解析：f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令f'(x)=0得x=1，f(0)=0，f(1)=1/2，故最大值为1/2，选A。10.若函数f(x)=x^3+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，则f(2)的值为（）A．0B．1C．2D．3解析：由f(1)=f(-1)得1+p+q=-1+p+q，p=0，f(x)=x^3+q，f(2)=8+q，又f(1)=1+q=-1+q，矛盾，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x+1的极大值点为_________。参考答案：1解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(-1)>0，f''(1)<0，极大值点为x=1。2.函数f(x)=ln(1+x)-x在x=0附近的单调递减区间为_________。参考答案：(0,+∞)解析：f'(x)=1/(1+x)-1，令f'(x)<0得x>0。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_________。参考答案：3解析：分段函数在x=-2处取得最小值3。4.若函数f(x)=x^2+ax+1在x=1处取得极值，则a的值为_________。参考答案：-2解析：f'(1)=2+a=0，a=-2。5.函数f(x)=e^x-1/x在x→0时的极限为_________。参考答案：1解析：lim(x→0)(e^x-1/x)=1。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的零点个数为_________。参考答案：3解析：f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，零点个数为3。7.函数f(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值为_________。参考答案：1/2解析：f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令f'(x)=0得x=1，f(0)=0，f(1)=1/2，最大值为1/2。8.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为_________。参考答案：4解析：f(x)在x=0,±√(2/3)处取得极值。9.函数f(x)=x^3-3x+1的极小值点为_________。参考答案：-1解析：f''(-1)<0，极小值点为x=-1。10.若函数f(x)=x^3+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，则p的值为_________。参考答案：0解析：由f(1)=f(-1)得p=0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.奇函数的图象一定关于原点对称。参考答案：正确解析：根据奇函数定义f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称。2.函数f(x)=x^3在R上单调递增。参考答案：正确解析：f'(x)=3x^2≥0，函数单调递增。3.函数f(x)=|x|在R上处处可导。参考答案：错误解析：x=0处不可导。4.函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值。参考答案：正确解析：f'(1)=0，f''(1)<0，取得极大值。5.函数f(x)=e^x在R上处处取得极值。参考答案：错误解析：e^x单调递增，无极值。6.函数f(x)=x/(x^2+1)在x→+∞时极限为0。参考答案：正确解析：lim(x→+∞)(x/(x^2+1))=0。7.函数f(x)=|x^3-2x|在x=0处取得极值。参考答案：正确解析：f'(0)=0，f''(0)>0，取得极小值。8.函数f(x)=x^3-3x+1在x=-1处取得极值。参考答案：正确解析：f''(-1)<0，取得极小值。9.函数f(x)=x^3+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，则q=0。参考答案：错误解析：p=0，q可取任意值。10.函数f(x)=ln(1+x)-x在x=0处取得极大值。参考答案：错误解析：f'(0)=0，f''(0)<0，取得极大值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.证明函数f(x)=x^3在R上单调递增。证明：f'(x)=3x^2≥0，且仅在x=0处f'(x)=0，故f(x)在R上单调递增。2.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(0)>0，f''(2)<0，极小值点为x=2，极大值点为x=0。3.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。解：分段函数f(x)=\{\begin{aligned}&-2x-1,\quadx\leq-2\\&3,\quad-2<x\leq1\\&2x+1,\quadx>1\end{aligned}\]，最小值为3，取得最小值时x∈(-2,1]。4.求函数f(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值。解：f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令f'(x)=0得x=1，f(0)=0，f(1)=1/2，最大值为1/2。5.求函数f(x)=x^3-3x+1的极大值和极小值。解：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=5，f(1)=-1，极大值为5，极小值为-1。6.求函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点。解：f'(x)=\{\begin{aligned}&3x^2-2,\quadx>0\\&0,\quadx=0\\&-3x^2+2,\quadx<0\end{aligned}\]，令f'(x)=0得x=±√(2/3)，f(0)=0，f(±√(2/3))=±2√(2/3)，极值点为x=0,±√(2/3)。7.求函数f(x)=e^x-1/x在x→0时的极限。解：lim(x→0)(e^x-1/x)=1。8.求函数f(x)=x^3+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值时p的值。解：由f(1)=f(-1)得1+p+q=-1+p+q，p=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x^2+10x+100（x为产量），求产量为多少时平均成本最小？解：平均成本函数为C(x)/x=x+10+100/x，令f'(x)=1-100/x^2=0得x=10，f''(10)>0，平均成本最小值为20，产量为10件。2.某商品的需求函数为p=100-0.01x（x为需求量），求需求量为多少时总收益最大？解：总收益函数为R(x)=xp=100x-0.01x^2，令f'(x)=100-0.02x=0得x=5000，总收益最大值为250000。3.某物体运动的路程函数为s(t)=t^3-6t^2+9t，求何时速度为零？解：速度函数v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9，令v(t)=0得t=1或t=3，速度为零时t=1或t=3。4.某商品的价格函数为p=50-2x，求需求量为多少时总利润最大？解：总利润函数为L(x)=xp-p(x)=50x-2x^2-50+2x=48x-2x^2-50，令f'(x)=48-4x=0得x=12，总利润最大值为74。5.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x^2+5x+100，求产量为多少时边际成本最小？解：边际成本函数为C'(x)=2x+5，令f'(x)=2=0无解，边际成本单调递增，最小值在x=0处取得。6.某商品的需求函数为p=80-0.02x，求需求量为多少时消费者剩余最大？解：消费者剩余函数为CS=∫[0,x](80-0.02t)dt-px=x^2-0.01x^3-80x，令f'(x)=2x-0.03x^2-80=0得x=200，消费者剩余最大值为4000。7.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x^3-6x^2+9x+10，求产量为多少时平均成本最小？解：平均成本函数为C(x)/x=x^2-6x+9+10/x，令f'(x)=2x-6-10/x^2=0得x=3，平均成本最小值为2，产量为3件。8.某商品的价格函数为p=100-0.01x，求需求量为多少时生产者剩余最大？解：生产者剩余函数为PS=∫[0,x](100-0.01t)dt-px=50x-0.005x^2-100x，令f'(x)=50-0.01x=0得x=5000，生产者剩余最大值为125000。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.C4.A5.C6.D7.C8.C9.A10.B解析：1.奇函数性质f(-x)=-f(x)，x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.分段函数f(x)=\{\begin{aligned}&-2x-1,\quadx\leq-2\\&3,\quad-2<x\leq1\\&2x+1,\quadx>1\end{aligned}\]，最小值为3，选C。3.由f'(1)=3+2a+b=0，f(0)=c=1，f(1)=1+a+b+c=0，联立解得a=1，b=-5，c=1，a+b+c=-3，需重新命题。4.f'(x)=2x/(x^2+1)-a，f'(1)=2/(1+1)-a=0，a=1，f''(1)>0，选A。5.f'(x)=3x^2-6x，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，零点个数为3，选C。6.f(x)为非奇非偶函数，f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x→0时极限不存在，选C。7.f'(x)=2x+2a，f'(1)=2+2a=0，a=-1，f(0)+f(2)=1+1=2，需重新命题。8.f'(x)=3x^2-2，令f'(x)=0得x=±√(2/3)，f(x)在x=0,±√(2/3)处取得极值，共4个，选C。9.f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令f'(x)=0得x=1，f(0)=0，f(1)=1/2，最大值为1/2，选A。10.由f(1)=f(-1)得1+p+q=-1+p+q，p=0，f(x)=x^3+q，f(2)=8+q，需重新命题。二、填空题1.12.(0,+∞)3.34.-25.16.37.1/28.49.-110.0三、判断题1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.√9.×10.×四、简答题1.证明：f'(x)=3x^2≥0，且仅在x=0处f'(x)=0，故f(x)在R上单调递增。2.解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(0)>0，f''(2)<0，极小值点为x=2，极大值点为x=0。3.解：分段函数f(x)=\{\begin{aligned}&-2x-1,\quadx\leq-2\\&3,\quad-2<x\leq1\\&2x+1,\quadx>1\end{aligned}\]，最小值为3，取得最小值时x∈(-2,1]。4.解：f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令f'(x)=0得x=1，f(0)=0，f(1)=1/2，最大值为1/2。5.解：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=5，f(1)=-1，极大值为5，极小值为-1。6.解：f'(x)=\{\begin{aligned}&3x^2-2,\quadx>0\\&0,\quadx=0\\&-3x^2+2,\quadx<0\end{aligned}\]，令f'(x)=0得x=±√(2/3)，f