2027新高考数学复习53A版3-高考热点12　圆锥曲线中的存在性(探索性)问题

高考热点12圆锥曲线中的存在性(探索性)问题1.★★★(2025届湖北武汉外国语学校月考,18)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为(1)求椭圆E的方程;(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.解析(1)由题意得4解得a=3,所以椭圆E的方程为x29(2)由(1)可知,F1(-2,0),F2(2,0).由题意可知lAF1:5x-12y+10=0,lA设角平分线所在直线上任意一点为P(x,y),则|5x-12y+10|13=|x-2|化简得9x-6y-8=0或2x+3y-9=0.又易知l的斜率为正,∴∠F1AF2的平分线所在直线l的方程为9x-6y-8=0.(3)解法一假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),设lBC:y=-23x+m联立x消去y可得9x2-12mx+9m2-45=0,故x1+x2=4m3,x1x2=m2-5∵线段BC的中点2m3,5m9∴6m-103m-8=0,解得m=3因此中点2,53与点A重合,故不存在满足题设条件的相异两点.解法二假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),线段BC中点M(x0,y0),由点差法可得x即x12∴kBC=y1-y2x1-联立9x-6y-8=0,y=56x,可得M故不存在满足题设条件的相异两点.2.★★★★(2026届辽宁大连部分高中联考,19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为22,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P为C上一点,连接PF1,PF2,(1)求椭圆C的方程;(2)取C上一点M,连接F2M,存在直线l:x=22,过点M作MN⊥l于点N,求MF(3)直线l1交C于另两点A,B,且直线AB的斜率恒为22,连接F2A,F2B,设∠F2BA=α,∠F2AB=β,判断|sinα-sinβ|和sin(α+β)的数量关系并证明解析(1)因为|PF1|+|PF2|=4=2a,所以a=2,又e=ca=22,则因此b=a2故椭圆C的方程为x24(2)设M(x0,y0),则N(22,y0),由M点在椭圆上得x024+y由c=2得F2(2,0),因此|MF2|=(=12(x02-42又|MN|=22-x0,所以MF(3)|sinα-sinβ|=33sin(α+β)【一般采用特殊值探究结论,如本题可取直线AB为过两顶点A(2,0),B(0,-2)的直线,则sinβ=33,sin(α+β)=22,sinα=23-66,因此|sinα-sinβ|=66=33sin(α+β).证明方法,先用正弦定理将角的正弦转化为边长证明如下:在△F2BA中,由正弦定理可得AF则AF因此|sinα-sinβ设l1:y=22x+t,A(x1,y1),B(x2,y2||AF2|-|BF2||=|(a-ex1)-(a-ex2)|=e|x1-x2|=22|x1-x2|【方法技巧:由(2)中结论MF2||MN|=22=e知:|AF2|=a-ex1,|BF2|=又|AB|=222+1·|x1-x【知识回顾:弦长公式|AB|=1+k2·|x1-x2则|sinα-sinβ即|sinα-sinβ|和sin(α+β)的数量关系为|sinα-sinβ|=33sin(α+β)3.★★★★(2026届浙江9+1联盟期中,18)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4,焦点到渐近线的距离为3,A,B是双曲线C上关于原点O对称的两点,且点A在第一象限,点(1)求双曲线C的方程.(2)若∠ATB=90°,求△ATB的面积.(3)记直线AT,BT与双曲线C的另一个交点分别为P,Q,直线AB,PQ的斜率分别为k1,k2,是否存在实数λ,使得k2=λk1恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解析(1)由题意得c=2,b=3,则a=1,所以双曲线C的方程为x2-y23(2)当∠ATB=90°时,由O是AB中点,可知|OA|=|OT|=3.设A(x0,y0)(x0>0,y0>0),则有x02因为A在双曲线上,所以x02-y023=1则△ATB的面积S=12×|OT|×2|y0|=36(3)由题意知直线AT:x=x0-3y联立x=x0-3y0y+3,x2-y23=1,消去x可得[3(x0-3)2-y02]由根与系数的关系得yPy0=24y由于x02-y023=1,即3x0可知P的坐标为3-5x同理可得,Q的坐标为3+5x则k2=4y05-3即存在实数λ=-54满足题意4.★★★★★(2026届湖北荆州月考,19)已知焦点在x轴上的椭圆C:x24+y2b2=1(b>0),点P,Q是椭圆C上的两点,且位于x轴上方,T(t,0)(1)当点Q在y轴上,t=1,且△QOT的面积为32时,求椭圆C的离心率(2)若点P在第一象限,A,B分别为椭圆的上顶点和右顶点,直线PA,PB分别与x轴和y轴交于点M,N.记△PMN,△PAB的面积分别为S1,S2,若S1-S2为定值2,求椭圆C的标准方程;(3)对于(2)所求的椭圆C,是否存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.解析(1)由题意知Q(0,b),T(1,0),由△QOT的面积为32,得12b·1=32而a=2,因此c=a2-所以椭圆C的离心率为e=ca(2)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由题意知A(0,b),B(2,0),则直线PA的方程为y=y0-bx0x+b,令y=0,则x=bx直线PB的方程为y=y0x0-2(x-2),令x=0,则y=2y故S1-S2=S△PMN-S△PAB=S△MBN-S△MBA=12|BM|(|ON|-|OA|)=12|BM||AN即12b即得(bx0则b2x又b2x02+4y因此4bx0即4b=4,所以b=1,所以椭圆C的标准方程为x24+y2(3)假设存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形.【思路探究:先假设存在t(即存在参数k,m),再利用条件确定参数k,m的限制条件,以及建立t与参数k,m的关系式,参数k与m的关系式,进而得到范围】由题意知,直线PQ的斜率存在,设其方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),y1>0,y2>0,联立y=kx+m,x24+y2=1,得(1+4k2)x2由Δ=64k2m2-16(m2-1)(1+4k2)=64k2-16m2+16>0,得4k2>m2-1,【限制条件①】由根与系数的关系得x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2,∴y1+y2=k(x1+x2)y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=4k2m2-4因此m2>4k2,且m>0,所以4k2+1>m>2|k|≥0,当k=0时,y1=y2=m且|x1|=|x2|=m,则m=255∈(0,1),此时T(0,0),当k≠0时,PQ的中点为U-4km1+4k2,m1+4k因此kTU=m1+4k2-0-4km1+4k2-t=-1k,TP·TQ=(x1-t)(x2-t)+y1y2=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2则4(m2-1)1+4k则5m2-4k2-4+8kmt+(1+4k2)t2=0,即5m2(1+k2)=4(4k2+1