2026年浙江省部编版高中数学第9章指数函数练习题

2026年浙江省部编版高中数学第9章指数函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.某城市人口在2020年达到100万，预计此后每年人口增长率保持6%的恒定速度增长，则该城市人口数量y（单位：万人）与年份x（2020年为x=0）的函数关系式为（）A.y=100(1+6%)^xB.y=100(1-6%)^xC.y=100(1+0.06)^xD.y=100(1-0.06)^x解析：指数函数模型适用于描述增长率恒定的增长或衰减现象。题中人口每年增长6%，即增长率为0.06，故函数模型为y=y₀(1+r)^x，其中y₀=100，r=0.06，x为年份与2020年的差值。选项C正确，其他选项错误。2.函数f(x)=3^(-x)的图像大致形状为（）A.B.C.D.解析：指数函数y=a^x（a>1）的图像过点(0,1)，单调递增；y=a^(-x)=1/(a^x)的图像为y=a^x的对称图像。f(x)=3^(-x)为3^x的对称图像，过点(0,1)，单调递减，故选C。3.若a^x=a^2，则x的值为（）A.2B.1/2C.0D.-2解析：指数函数y=a^x（a>0且a≠1）为单调函数，若a^x=a^y，则x=y。题中a^x=a^2，故x=2。4.函数f(x)=2^x在区间[1,3]上的值域为（）A.[2,8]B.[2,8)C.(2,8]D.(2,8)解析：指数函数y=2^x在R上单调递增，故在[1,3]上单调递增。f(1)=2，f(3)=8，值域为[2,8]。5.若函数f(x)=a^x+1在x→-∞时极限为2，则a的值为（）A.2B.1/2C.3D.1/3解析：指数函数y=a^x（a>0且a≠1）在x→-∞时极限为0或1。f(x)=a^x+1在x→-∞时极限为2，则a^x→1，故a=1。但a=1时函数为恒等函数，与题意矛盾，故无解。6.函数f(x)=3^x-1与g(x)=2^x+1的图像相交于点P，则点P的横坐标x为（）A.0B.1C.-1D.2解析：两函数相交即f(x)=g(x)，即3^x-1=2^x+1，整理得3^x=2^x+2。代入选项验证，x=1时3^1=2^1+2，即3=4，矛盾；x=0时3^0=2^0+2，即1=3，矛盾；x=-1时3^(-1)=2^(-1)+2，即1/3=5/2，矛盾；x=2时3^2=2^2+2，即9=6，矛盾。故无解。7.若函数f(x)=a^x在x=1时取值3，则f(2)的值为（）A.9B.6C.3√3D.4√3解析：f(x)=a^x过点(1,3)，即a=3。f(2)=3^2=9。8.函数f(x)=2^x-1与g(x)=1-2^(-x)的图像关于（）对称A.x轴B.y轴C.原点D.y=x解析：g(x)=1-2^(-x)=-[2^(-x)-1]，即-g(x)=2^(-x)-1。f(x)与-g(x)关于y=x对称，故f(x)与g(x)关于原点对称。9.若函数f(x)=a^x+1在区间[0,1]上的值域为[2,5]，则a的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：f(x)=a^x+1在[0,1]上单调递增，f(0)=a^0+1=2，f(1)=a+1=5，解得a=4。10.函数f(x)=3^x-1的图像与直线y=x的交点个数为（）A.0B.1C.2D.无数解析：f(x)=3^x-1与y=x相交即3^x-1=x，整理得3^x=x+1。函数y=3^x与y=x+1均为单调函数，且在x=0时y=3^0=1，y=0时x=-1，必相交于一点。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=a^x在x=2时取值9，则a=________。2.函数f(x)=2^x-1的图像过点________。3.函数f(x)=3^(-x)在区间[0,2]上的值域为________。4.若函数f(x)=a^x+1在x=0时取值2，则a=________。5.函数f(x)=2^x+1与g(x)=1-2^(-x)的图像关于________对称。6.函数f(x)=a^x在x=1时取值3，则f(-1)的值为________。7.函数f(x)=2^x-1在区间[1,3]上的值域为________。8.若函数f(x)=a^x在x=1时取值2，则f(logₐ2)的值为________。9.函数f(x)=3^x-1的图像与直线y=x的交点横坐标为________。10.函数f(x)=a^x在x=2时取值9，则f(logₐ3)的值为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a^m=a^n，则m=n。2.函数y=3^(-x)是增函数。3.函数f(x)=2^x-1在R上单调递增。4.若函数f(x)=a^x在x=1时取值2，则a=2。5.函数f(x)=3^x-1的图像与直线y=x有且仅有一个交点。6.函数f(x)=2^x+1的图像过点(0,1)。7.函数f(x)=a^x在x→-∞时极限为0（a>1）。8.函数f(x)=3^x-1在区间[0,1]上的值域为[2,4]。9.函数f(x)=2^x-1与g(x)=1-2^(-x)的图像关于原点对称。10.若函数f(x)=a^x在x=2时取值9，则f(logₐ4)的值为16。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=2^x-1在区间[0,2]上的最大值和最小值。2.证明函数f(x)=3^x在R上单调递增。3.求函数f(x)=2^x+1与g(x)=1-2^(-x)的图像交点的横坐标。4.若函数f(x)=a^x在x=1时取值3，求f(0)的值。5.求函数f(x)=3^x-1的图像与直线y=x的交点坐标。6.若函数f(x)=a^x在x=2时取值9，求f(logₐ2)的值。7.求函数f(x)=2^x-1在区间[1,3]上的值域。8.证明函数f(x)=2^x-1在R上单调递增。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某城市人口在2020年达到100万，预计此后每年人口增长率保持6%的恒定速度增长，求该城市人口数量y（单位：万人）与年份x（2020年为x=0）的函数关系式。2.某产品成本为10元/件，售价为a元/件，若产品销量与售价成反比，比例系数为2，求利润函数f(x)的表达式。3.某放射性物质半衰期为6年，现有该物质100克，求该物质剩余量y（克）与时间x（年）的函数关系式。4.某投资金额在银行按年复利计算，年利率为5%，求10年后10000元投资的本息和。5.某城市空气质量指数AQI与污染物浓度C（微克/立方米）满足f(C)=2^C，求当AQI为100时对应的污染物浓度C。6.某细菌数量在培养过程中每小时增长1.5倍，现有细菌数量为1000个，求细菌数量y（个）与时间x（小时）的函数关系式。7.某产品售价为50元/件，若销量与售价成反比，比例系数为10，求收入函数R(x)的表达式。8.某城市人口在2020年达到100万，预计此后每年人口增长率保持6%的恒定速度增长，求5年后该城市人口数量。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.A5.D6.D7.A8.C9.C10.B解析：2.指数增长模型为y=y₀(1+r)^x，y₀=100，r=0.06，故选C。3.3^(-x)为3^x的对称图像，过点(0,1)，单调递减，故选C。4.指数函数为单调函数，a^x=a^y⇒x=y，故选A。5.2^x在[1,3]上单调递增，f(1)=2，f(3)=8，值域为[2,8]，故选A。6.a^x+1在x→-∞时极限为2⇒a^x→1⇒a=1，但a=1时函数为恒等函数，矛盾，故无解，选D。7.3^x=2^x+2无解，故选D。8.f(x)=a^x过点(1,3)⇒a=3⇒f(2)=9，故选A。9.g(x)=-[2^(-x)-1]，f(x)与-g(x)关于原点对称，故选C。10.f(x)=a^x+1在[0,1]上单调递增，f(0)=2，f(1)=5⇒a=4，故选C。11.3^x=x+1有唯一解，故选B。二、填空题1.32.(1,1)3.(1/9,1)4.15.原点6.1/37.[3,7]8.29.110.3解析：11.f(x)=a^x过点(2,9)⇒a^2=9⇒a=3。12.f(0)=2^0-1=0，故过点(0,-1)；f(1)=2^1-1=1，故过点(1,1)。13.f(x)=3^(-x)在[0,2]上单调递减，f(0)=1，f(2)=1/9，值域为(1/9,1)。14.f(0)=a^0+1=2⇒1+1=2⇒a=1。15.g(x)=-[2^(-x)-1]，f(x)与-g(x)关于原点对称。16.f(x)=a^x过点(1,3)⇒a=3⇒f(-1)=3^(-1)=1/3。17.f(x)=2^x-1在[1,3]上单调递增，f(1)=1，f(3)=7，值域为[1,7]。18.f(x)=a^x过点(1,2)⇒a=2⇒f(logₐ2)=2^logₐ2=2^1=2。19.f(x)=3^x-1与y=x相交即3^x=x+1，x=1时3^1=2，矛盾；x=0时3^0=1，矛盾；x=1/2时3^(1/2)=3/2，矛盾；x=1时3^1=2，矛盾。20.f(x)=a^x过点(2,9)⇒a=3⇒f(logₐ3)=3^logₐ3=3^1=3。三、判断题1.×22.×23.√24.×25.√26.×27.√28.×29.√30.×解析：2.a^x=a^n⇒x=n（若a=1则x=n，若a≠1则x=n），故错误。3.3^(-x)为3^x的对称图像，3^x为增函数，故3^(-x)为减函数，错误。4.2^x-1在R上单调递增，正确。5.f(x)=a^x过点(1,2)⇒a=2，但若a=1则f(x)=1，矛盾，故错误。6.f(x)=3^x-1与y=x相交即3^x=x+1，有唯一解，正确。7.f(0)=2^0-1=-1，故过点(0,-1)，错误。8.a^x（a>1）在x→-∞时极限为0，正确。9.f(x)=3^x-1在[0,1]上单调递增，f(0)=0，f(1)=2，值域为[0,2]，错误。10.g(x)=-[2^(-x)-1]，f(x)与-g(x)关于原点对称，正确。11.f(x)=a^x过点(2,9)⇒a=3⇒f(logₐ4)=3^logₐ4=4，错误。四、简答题1.最大值为7，最小值为1。解析：f(x)=2^x-1在[0,2]上单调递增，f(0)=0，f(2)=3，故最大值为3，最小值为0。2.证明：任取x₁<x₂，f(x₁)-f(x₂)=3^x₁-3^x₂=3^x₁(1-3^(x₂-x₁))<0，故f(x)单调递增。3.交点横坐标为1。解析：f(x)=2^x+1与g(x)=1-2^(-x)相交即2^x+1=1-2^(-x)，整理得2^(x+1)=0，无解。4.f(0)=1。解析：f(x)=a^x过点(1,3)⇒a=3⇒f(0)=3^0=1。5.交点坐标为(1,2)。解析：f(x)=3^x-1与y=x相交即3^x=x+1，x=1时3^1=2，矛盾；x=0时3^0=1，矛盾；x=1/2时3^(1/2)=3/2，矛盾；x=1时3^1=2，矛盾。6.f(logₐ2)=2。解析：f(x)=a^x过点(2,9)⇒a=3⇒f(logₐ2)=3^logₐ2=2。7.值域为[3,7]。解析：f(x)=2^x-1在[1,3]上单调递增，f(1)=1，f(3)=7，值域为[1,7]。8.证明：任取x₁<x₂，f(x₁)-f(x₂)=2^x₁-1-2^x₂+1=2^x₁-2^x₂>0，故f(x)单调递增。五、应用题1.f(x)=100(1+