2027新高考数学复习53A版3-高考热点13　概率创新题

高考热点13概率创新题类型1以全新信息为载体★★★★★(2026届山东潍坊月考,19)对于非空数集S,T={x-y|x,y∈S,x≥y},若T=S,则称数集S具有性质M.(1)判断S1={0,2,4,6},S2={0,1,3,4}是否具有性质M,并说明理由;(2)若S={a1,a2,a3,…,an}(n≥3)满足:①a1=0;②∀i,j∈N*,当i<j时,都有ai<aj;③数集S具有性质M.(i)证明:数列{an}为等差数列;(ii)若an=6a2,P={x+y|x,y∈S},A⊆P,求数集A具有性质M的概率.解析(1)S1={0,2,4,6},T={x-y|x,y∈S1,x≥y}={0,2,4,6}=S1,所以S1具有性质M.S2={0,1,3,4},T={x-y|x,y∈S2,x≥y}={0,1,2,3,4},所以T≠S2,所以S2不具有性质M.(2)(i)证明:由题意知,显然ai-a2∈T,其中i=3,4,…,n,有(n-2)个元素,0∈T,an-0=an∈T,且i<j时,都有ai<aj,所以0<a3-a2<a4-a2<…<an-a2<an,因为数集S具有性质M,即S=T,则{0,a2,a3,…,an-1,an}={0,a3-a2,a4-a2,…,an-a2,an},所以ai-a2=ai-1(i=3,4,…,n),所以ai-ai-1=a2(i=3,4,…,n),又a2-a1=a2,所以数列{an}是以0为首项,a2为公差的等差数列.(ii)由(i)知数列{an}是以0为首项,a2为公差的等差数列,即an=(n-1)a2,由an=6a2,知S={0,a2,2a2,…,6a2},易知S具有性质M,所以P={0,a2,2a2,…,12a2},共有13个元素,子集数为213,P也具有性质M.A⊆P,当A中只有一个元素,且具有性质M时,A={0},共1个;当A中元素个数大于或等于2,且具有性质M时,记A={b1,b2,…,bk},b1<b2<…<bk,结合(i),当b2=a2时,A={0,a2},A={0,a2,2a2},…,A={0,a2,2a2,…,12a2},共12个;当b2=2a2时,A={0,2a2},A={0,2a2,4a2},…,A={0,2a2,4a2,6a2,8a2,10a2,12a2},共6个;当b2=3a2时,A={0,3a2},A={0,3a2,6a2},A={0,3a2,6a2,9a2},A={0,3a2,6a2,9a2,12a2},共4个;当b2=4a2时,A={0,4a2},A={0,4a2,8a2},A={0,4a2,8a2,12a2},共3个;当b2=5a2时,A={0,5a2},A={0,5a2,10a2},共2个;当b2=6a2时,A={0,6a2},A={0,6a2,12a2},共2个;当b2=7a2时,A={0,7a2},共1个;当b2=8a2时,A={0,8a2},共1个;当b2=9a2时,A={0,9a2},共1个;当b2=10a2时,A={0,10a2},共1个;当b2=11a2时,A={0,11a2},共1个;当b2=12a2时,A={0,12a2},共1个.综上,具有性质M的集合A共有36个,所以数集A具有性质M的概率为362类型2与函数、导数综合创新1.★★★★(多选)(2020新高考Ⅰ,12,5分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),i=1npi=1,定义X的信息熵H(X)=-i=1npilog2pi.(A.若n=1,则H(X)=0B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi=1n(i=1,2,…,n),则H(X)随着nD.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)答案AC2.★★★★★(2026届重庆巴蜀中学联合诊断,18)根据社会人口学研究发现,一个家庭有X个孩子的概率模型为:X0123概率α(1-p)2ααα(1-p)其中α>0,0<p<1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为12且相互独立,事件Ai表示一个家庭有i个孩子(i=0,1,2,3),事件B表示一个家庭的男孩比女孩多.(如果一个家庭只有一个孩子且是男孩,则该家庭男孩多(1)若p=12,求α的值以及P(B(2)为了调控未来人口结构,需要调控p的值,其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加,教育、医疗福利的增加等).①若希望P(X=2)增大,如何调控p的值?②是否存在p的值,使得E(X)≥32?若存在,求出p的值或范围;若不存在,请说明理由解析(1)由题可知α(1-p)2+αp+α+α(1-p)=1.因为p=12,所以154α=1,所以α分析可得:事件A0B表示一个家庭有0个孩子,且是男孩,所以P(A0B)=0;事件A1B表示一个家庭有一个孩子,且是男孩,所以P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=12事件A2B表示一个家庭有两个孩子,且均是男孩,所以P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=12事件A3B表示一个家庭有三个孩子,其中有两个是男孩、一个是女孩或三个均是男孩,所以P(A3B)=P(B|A3)P(A3)=C32×122×12所以P(B)=i=03P(AiB)=2(2)①由题可知:α(1-p)2+αp+α+α(1-p)=1(α>0),所以1令f(p)=p2-3p+3+1p,0<p<1则f'(p)=2p-3-1p2,0<p令g(p)=2p-3-1p2,0<p则g'(p)=2+2p3所以g(p)在(0,1)上单调递增,所以g(p)<g(1)=-2<0,即f'(p)<0,所以f(p)在(0,1)上单调递减.因此,当p增大时,1α=f(p)减小.因为α>0,所以α增大,即P(X=2)增大故若希望P(X=2)增大,则可增大p的值.②由①得1α假设存在p的值,使得E(X)≥32,则E(X)=αp+2α+3α(1-p)=α1p因为α>0,所以1p+5-3p≥32α,即1p+5-3p整理得3p2-3p-1+1p≤0即(p−1)(3p2−1)p≤0.因为0<p<1,所以3p2-1≥0,所以3所以存在p的值,使得E(X)≥32,p的取值范围是3类型3与数列综合创新1.★★★(2026届贵州贵阳摸底,16)如图,单位圆上的一质点在随机外力的作用下,每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动2π3,设移动n次回到起始位置的概率为Pn(1)求P2及P3的值;(2)求数列{Pn}的前n项和.解析(1)记事件Ai:质点移动i次回到起始位置(i=1,2,…),则P1=P(A1)=0,P2=P(A2)=C21×12P3=P(A3)=12(2)根据题意,由全概率公式有P(An)=P(An-1)P(An|An-1)+P(An−1)·P(An|A所以Pn=Pn-1·0+(1-Pn-1)·12即Pn=-12所以Pn-13=−12P所以Pn−13是以P所以Pn-13=−13×−12n−1,即设数列{Pn}的前n项和为Sn,则Sn=−1=-29×1−2.★★★★★(2023新课标Ⅰ,21,12分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则Ei=1nXi=i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)解析(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.(2)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)=1-pi,则P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),即pi+1