2027新高考数学复习53A版3-高考热点1　三次函数的性质综合

高考热点1三次函数的性质综合类型1三次函数的图象与性质1.★★(2025届河南部分高中第四次考试,5)已知函数f(x)=ax3-2x2-3x+1在R上单调递减,则实数a的取值范围为()A.−C.−∞,−答案D2.★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分)已知函数f(x)=x3-x+1,则()A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线答案AC3.★★★(2025届浙江嘉兴期中,15)已知函数f(x)=x3-(1+a)x2-(a2-2a)x.(1)当a=1时,求函数的极值;(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=x3-2x2+x,故f'(x)=3x2-4x+1.令f'(x)=0,解得x=1或x=13f'(x),f(x)随x的变化情况如表:x-∞,13113,11(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)极大值=f13=427,f(x)极小值=f((2)f'(x)=3x2-2(1+a)x-(a2-2a)=[3x+(a-2)](x-a),令f'(x)=0,解得x1=a,x2=2−a3当x1=x2时,a=2−a3,解得a=12,所以若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,则a≠12,且-1<a<1或-1<解得-1<a<1或-1<a<5且a≠12故a的取值范围为−1,12∪类型2三次函数的极(最)值问题1.★★★(多选)(2026届广东深圳联考,10)已知函数f(x)=x3-3x+1,则()A.f(x)有两个极值点B.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心C.f(x)有三个零点且三个零点的和为0D.直线y=3x是曲线y=f(x)的切线答案ABC2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,10,6分)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则()A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时,f(x)<f(x2)C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)答案ACD3.★★★★(2019课标Ⅲ,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.解析(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0,得x=0或x=a3若a>0,则当x∈(-∞,0)∪a3,+∞时,f'(x)当x∈0,a3时,f'(x)故f(x)在(-∞,0),a3,+∞单调递增,在0,若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;若a<0,则当x∈−∞,a3∪(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈a3,0时,f'(故f(x)在−∞,a3,(0,+∞)单调递增,在a(2)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在0,a3单调递减,在a3,1单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小值为fa3=−a327+2,最大值为f(0于是m=-a327+2,M所以M-m=2−a+当0<a<2时,可知2-a+a327所以M-m的取值范围是827当2≤a<3时,a327单调递增,所以M-m的取值范围是综上,M-m的取值范围是827类型3三次函数的零点问题1.★★★(多选)(2026届重庆一中月考,9)设函数f(x)=x3-3x2-9x+1,则()A.f(x)有极大值点B.f(x)仅有2个零点C.f(x)的图象在(0,1)处的切线方程为9x+y-1=0D.f(x)图象的对称中心是(1,-10)答案ACD2.★★★(多选)(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,10)已知函数f(x)=2x3+6x2+ax-3,a∈R,则()A.当a=8时,f(x)在R上单调递增B.当a≤6时,f(x)有两个极值C.若f(x)有三个不同零点x1,x2,x3,则x1x2x3=3D.过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条,则-5<m<-3答案ACD3.★★★(多选)(2025届安徽合肥第一中学最后一卷,10)设函数f(x)=x3-3x2-9x-a有三个不同的零点,从小到大依次为x1,x2,x3,则()A.-27<a<5B.函数y=f(x)+a的图象的对称中心为(1,-11)C.过(x1,f(x1))引曲线y=f(x)的切线,有且仅有1条D.若x1,x2,x3成等差数列,则a=-11答案ABD4.★★★(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.

答案-35.★★★(2025届山东泰安模拟预测(三),15)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=1处有极小值.(1)求实数c的值;(2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,求实数a的取值范围.解析(1)∵f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,∴f'(x)=3x2-4cx+c2=(x-c)(3x-c),由已知得f'(1)=0,即(1-c)(3-c)=0,∴c=1或c=3,当c=1时,f'(x)=(x-1)(3x-1),∴当x<13时,f'(x)>0,当13<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,∴f(x)在−∞,13上单调递增,在13,1上单调递减,在(1∴x=1时有极小值,符合题意.当c=3时,f'(x)=3(x-3)(x-1),∴当x<1时,f'(x)>0,当1<x<3时,f'(x)<0,当x>3时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,∴x=1时有极大值,不符合题意,舍去.∴c=1.(2)g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,即y=f(x)的图象与直线y=-a有三个不同的交点,由(1)知f(x)在x=13处取极大值,f(x)极大值=f13=又f(x)极小值=f(1)=0,∴0<-a<427,∴-427<a类型4三次函数的切线问题1.★★★(2025届湖北武汉武昌三模,6)已知函数f(x)=x3-6x+7,直线l是曲线y=f(x)的切线,如果切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,那么这样的直线l有()A.0条B.1条C.2条D.3条答案B2.★★(2026届福建部分学校联考,13)若曲线y=tanx在坐标原点处的切线与曲线y=x3-2x+m(x>0)相切,则m=.

答案23.★★★★(2021全国乙,21(2))已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.解析设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0),则切线的斜率为f'(x0)=3x02-2x0+故以点P为切点的切线方程为y=(3x02-2x0+a)(x