2027新高考数学复习53A版3-高考热点2　导数中的构造问题

高考热点2导数中的构造问题类型1导数中原函数与导函数的混合构造1.★★★(2026届河南部分学校第三次质量检测,8)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈0,π2时,f'(x)cosx+f(x)sinx>0,若a=233fπ6,b=2f-π3,c=2fπ4A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<cD.a<b<c答案B2.★★★(2025届湖南三模,8)已知y=f(x)是定义在(1,+∞)上的连续可导函数,其导函数为y=f'(x),若xf'(x)<f(x),且f(3)=6,则不等式f(lnx)>2lnx的解集为()A.(1,3)B.(3,e2)C.(1,e3)D.(e,e3)答案D3.★★★(2025届宁夏石嘴山一中模拟,8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1,f(1)=3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,1)答案B4.★★★★(2025届浙江杭州学军中学模拟,8)定义在(0,+∞)上的可导函数f(x),满足f'(x)+2f(x)x=lnxx2,且f(e)=12e,若a=f(3),b=f(2),c=f(e),则a,b,A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a答案C类型2导数中的指对同构问题1.★★★★(2026届湖南九校联盟联考,8)已知正实数a,b满足aea-2=e2025和b(lnb-2)=e2029,则ab的值为()A.e2029B.e2028C.e2027D.e2026答案A2.★★★★(2025届河南豫西北教研联盟三模,8)若∀x∈[1,+∞),都有aeax-lnx≥0(a∈R),则a的取值范围为()A.[e,+∞)B.[2,+∞)C.[1,+∞)D.1答案D3.★★★★(2025届山西晋城二模,7)已知0<x<1,y>1,且1ex=lnex+1A.x<2lnyB.x<lnyC.2x<lnyD.2lny<x答案A4.★★★★(2025届安徽江淮十校联考,13)已知a∈R,关于x的不等式exx3-3alnx≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立,则a答案(-∞,-1]5.★★★★(2025届天津河东二模,15)设函数f(x)=x+lnx,g(x)=x+ex,若存在x1,x2,使得g(x1)=f(x2),则|x1-x2|的最小值为.

答案16.★★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,14)对于任意x∈(0,1),不等式x+lnaex≥alnxx恒成立,则正数a答案17.★★★★★(2025届河北秦皇岛山海关模拟,18)已知函数f(x)=ax-e-x,g(x)=x2+xlnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:g(x)>-516(3)若g(x)≥f(x),求a的取值范围.解析(1)由f(x)=ax-e-x,可得f'(x)=a+e-x,当a≥0时,f'(x)>0,即函数f(x)在R上单调递增;当a<0时,由f'(x)=0,解得x=ln-1当x<ln-1a时,f'(x)>0,当x>ln-1a时,f'(故f(x)在-∞,ln-1a上单调递增,在综上,当a≥0时,函数f(x)在R上单调递增;当a<0时,函数f(x)在-∞,ln-1a上单调递增,在(2)证明:函数g(x)=x2+xlnx的定义域为(0,+∞),g'(x)=2x+lnx+1,令h(x)=2x+lnx+1(x>0),则h'(x)=2+1x>0所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→0+时,h(x)→-∞,且h14=故存在x0∈0,14,使得h(x0)=2x0+lnx0+1=0,则lnx0=-2x0当0<x<x0时,h(x)<0,即g'(x)<0,故函数g(x)在(0,x0)上单调递减;当x>x0时,h(x)>0,即g'(x)>0,故函数g(x)在(x0,+∞)上单调递增.故g(x)≥g(x0)=x0令m(x0)=-x0+122+14,因为x0∈0,14,所以m14即-516<g(x0)<0,故g(x)>-5(3)由g(x)≥f(x)可得x2+xlnx≥ax-e-x,即a≤x+lnx+1xex=ln(xex)设φ(x)=xex,x>0,则φ'(x)=(x+1)ex>0,故函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则φ(x)>φ(0)=0.设s(t)=lnt+1t(t>0则s'(t)=1t