2027新高考数学复习53A版3-6.2　等差数列

6.2等差数列考点1等差数列及其前n项和五年高考1.★★(2024全国甲理,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1=()A.7答案B2.★★★(2025全国二卷,7,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=()A.-20B.-15C.-10D.-5答案B3.★★★(2022新高考Ⅱ,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,k3成公差为A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9答案D4.★★★(2021北京,6,4分)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5(单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3=()A.64B.96C.128D.160答案C5.★★★(2023全国乙理,10,5分)已知等差数列{an}的公差为2π3,集合S={cosan|n∈N*}.若S={a,b},则ab=()A.-1B.-1答案B6.★★★(2023新课标Ⅰ,7,5分)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:Snn为等差数列,则(A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案C7.★★(2022全国乙文,13,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=.

答案28.★★(2024新课标Ⅱ,12,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=.

答案959.★★★(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.

答案3n2-2n10.★★★(2023全国乙文,18,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.解析(1)设等差数列{an}的公差为d,则a∴an=13-2(n-1)=15-2n.(2)由an=15-2n知,当n≤7,n∈N*时,an>0,当n≥8,n∈N*时,an<0,∴当n≤7,n∈N*时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=n(28−2n)2=-n2+14n当n≥8,n∈N*时,Tn=(a1+a2+…+a7)-(a8+a9+…+an)=2S7-Sn=98-(-n2+14n)=n2-14n+98.∴Tn=−11.★★★(2021全国乙理,19,12分)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.解析(1)证明:由bn=S1·S2·…·Sn可得,Sn=b1,n=1,b当n=1时,2S1+1b1所以b1=S1=32当n≥2时,2bnbn−1+1bn=2,即2bn=2bn-1+1,即bn-bn-1=12,故数列{b(2)由(1)知,bn=32+(n-1)×1故当n≥2时,Sn=bnbn−1=n+2n+1,S1也符合该式,即Sn=n+2从而a1=S1=32当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1−n+1n=−所以an=312.★★★(2023新课标Ⅰ,20,12分)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.解析(1)∵3a2=3a1+a3,∴3(a1+d)=3a1+a1+2d,∴a1=d>1,∴S3=a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=6a1,又∵bn=n2+nan,∴b1=2a1,b2=6a2=6a1+d=3a1,b3=12a3=12a1+2d=4a1,∴T3=b1+b2+b3=9a1,(2)∵{bn}为等差数列,∴2b2=b1+b3,即12a2=2a1+12a3,即6a1+d=1a1+6a1+2d当a1=2d时,an=(n+1)d,bn=nd∴S99=2d+100d)×992=99×51T99=1d又∵S99-T99=99,∴99×51d-99×50·1d=99,∴51d-50d=1,解得d=1或d=-又∵d>1,∴a1≠2d.当a1=d时,an=nd,bn=n+1d∴S99=(1+99)×99d2=50×99dT99=1d又∵S99-T99=99,∴50×99d-51×99d=99∴50d-51d=1,解得d=5150或d又∵d>1,∴d=5150综上,d=5150三年模拟1.★(2026届河北衡水第二次调研,2)已知公差为2的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=6a2,则S8=()A.42B.52C.56D.60答案C2.★★(2026届广东惠州第一次调研,5)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=12,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,组成一个新的等差数列{bn},则bn=()A.4n-2B.3n-1C.3nD.2n+1答案B3.★★(2025届湖北T8联盟考前模拟(一),4)若数列{an}满足2an+1=an+an+2,其前n项和为Sn,若a5=0,a10+a11=11,则S11=()A.0B.1C.5D.11答案D4.★★(2025届广西适应性测试,3)在公差不为0的等差数列{an}中,若a3是ax与ay的等差中项,则1x+4y的最小值为A.3答案A5.★★(2026届湘豫名校联考摸底,5)在等差数列{an}中,公差d≠0,若i=115ai=5(a2+ak+a6),则k=()A.8B.12C.16D.18答案C6.★★(2026届广东部分学校联考,5)一组数据10,13,17,25,47的第80百分位数为n,若6,m,n三个数成等差数列,则m=()A.21B.23C.31答案A7.★★(2026届湖南郴州教学质量检测,3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a7=18,S5=25,则a10=()A.19B.29C.30D.31答案A8.★★★(2025届河北唐山三模,6)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a8+a13=-120,5S7-7S5=70,若Sk=Sk+1,则k=()A.27B.28C.54D.55答案A9.★★★(2026届吉林四校联合模拟,4)已知首项为1的数列{an},其前n项积是公差为3的等差数列,则a3=()A.4B.3C.7答案C10.★★★(2026届福建三校联考,7)已知数列{an}的首项为a1,对于任意的n∈N*都有an+2-an=1,则“{an}为单调递增的数列”是“a1<a2<a3<a4”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C11.★★★(2026届重庆南开中学第三次质量检测,7)已知等差数列{an}的前n项和Sn存在最大值,且a13+3a15<0,a14a15<0,则Sn取得最小正值时n为()A.1B.27C.28D.29答案B12.★★★(多选)(2026届黑龙江大庆教学质量检测,9)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,an=an+1+3,则下列说法正确的是()A.a5-a1=-12B.{an}是递增数列C.当n>4时,an<0D.当n=3或4时,Sn取得最大值答案ACD13.★★(2026届江苏连云港期中,12)某校报告厅第一排有22个座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则这个报告厅共有个座位.

答案82014.★★(2025届湖南怀化二模,12)已知数列{an}中,a1=10,an=an-1-2(n≥2),则数列{an}的前n项和的最大值为.

答案3015.★★(2026届重庆康德调研,15)已知非零等差数列{an}满足:a10=a9-2a8,a1+a6a7=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.解析(1)设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,由题意得,a1+9d=a1+8d-2(a1+7d),则a1=-152d,又a1+(a1+5d)(a1+6d)=0,将a1=-152d代入解得d=2,所以a1则an=2n-17.(2)Sn=n(=n2-16n=(n-8)2-64,所以当n=8时,Sn取得最小值,即(Sn)min=-64.16.★★★(2026届山东济南摸底,15)已知正项数列{an}的前n项积为Tn,且满足an=TnTn−2(n∈(1)求证:数列{Tn}为等差数列;(2)令cn=1Tn·Tn+1,求数列{cn}的前解析(1)证明:当n=1时,a1=T1=T1T1−2,又an>0,则Tn>0,所以当n≥2时,an=TnTn−1=TnTn−2,又Tn>0,所以Tn-2=Tn-1,所以数列{Tn}是首项为3,公差为2的等差数列.(2)由(1)知数列{Tn}是首项为3,公差为2的等差数列,则Tn=2n+1,cn=1T则Sn=12所以数列{cn}的前n项和Sn=n6n+917.★★★(2026届江苏南京学情调研,16)对于数列{an},记△an=an+1-an,n∈N*,称数列{△an}为数列{an}的差分数列.(1)已知an=n2+n+1,证明:{an}的差分数列为等差数列;(2)已知{an}的差分数列为2n2+2n+1n2+n,a1=1,求解析(1)证明:△an=(n+1)2+(n+1)+1-(n2+n+1)=2n+2,其中n∈N*,故△an-△an-1=2,故{an}的差分数列为等差数列.(2)由题设有an+1-an=2n故an-an-1=2+1n−1−1n(由累加法可得an-a1=2(n-1)+1-1n而a1=1,所以an=2n-1n,而a1=1也满足该式,故an=2n-118.★★★(2026届大湾区联考,17)已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2+n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这(n+2)个数组成一个公差为dn的等差数列,在数列{dn}中是否存在不同的三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)仍然成等差数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,请说明理由.解析(1)当n=1时,a1=S1=3.由Sn=2n2+n(n∈N*),可得Sn-1=2(n-1)2+n-1(n≥2),两式相减得an=4n-1(n≥2).当n=1时,a1=4×1-1=3,符合上式,所以数列{an}是以3为首项,4为公差的等差数列,故an=4n-1.(2)由(1)可得an+1=4n+3,依题意得dn=an+1假设在数列{dn}中存在三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)仍然成等差数列,则dm+dp=2dk,即4m+1整理得4(m+p)+8mp+m+p+1=2·又因为m,k,p成等差数列,则m+p=2k,代入①式整理得:mp+m+p+1=(k+1)2,即mp=k2=m+p22,化简得(m-p)2=0,即m=而m,k,p成等差数列,故m=k=p,又因为dm,dk,dp为不同的三项,即m≠k≠p,故假设不成立.因此,在数列{dn}中不存在不同的三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)仍然成等差数列.考点2等差数列的性质五年高考1.★★(2024全国甲文,5,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7=()A.1答案B2.★★(2023全国甲文,5,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=()A.25B.22C.20D.15答案C3.★★★(2020北京,8,4分)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2…),则数列{Tn}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项答案B4.★★★(2021新高考Ⅱ,17,10分)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.(1)求{an}的通项公式;(2)求使得Sn>an的n的最小值.解析(1)解法一设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a3=S5⇒a1+2d=5a1+10d⇒4a1+8d=0⇒a1+2d=0⇒a1=-2d,①a2·a4=S4⇒(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,∴a1=-2d=-4,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6.解法二由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0,设等差数列的公差为d,从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.(2)由(1)知an=2n-6,a1=2×1-6=-4.Sn=na1+n(n−1)2d=-4n+n(n-1)=n2-5Sn>an⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,又n∈N*,∴n的最小值为7.5.★★★★(2022浙江,20,15分)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.解析(1)易得an=(n-1)d-1,n∈N*,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=6d-4.又S4-2a2a3+6=0,∴6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,∴d=3或d=0(舍),则an=3n-4,n∈N*,故Sn=3(1+2+…+n)-4n=3n(n+1)−8n2=3n2−5n(2)由(1)知an=(n-1)d-1,n∈N*,依题意得[cn+(n-1)d-1][15cn+(n+1)·d-1]=(4cn+nd-1)2,即15cn2+[(16n-14)d-16]cn+(n2-1)d2-2nd+1=16cn2+8(nd-1)cn+n2d2-2nd+1,故cn2+[(14-8n)d+8]c故[(14-8n)d+8]2-4d2=[(12-8n)d+8]·[(16-8n)d+8]≥0,故[(3-2n)d+2]·[(2-n)·d+1]≥0对任意正整数n恒成立,n=1时,显然成立;n=2时,-d+2≥0,则d≤2;n≥3时,[(2n-3)d-2][(n-2)d-1]>(2n-5)(n-3)≥0.综上所述,1<d≤2.三年模拟1.★(2026届江西上饶鄱阳部分学校联考,3)已知等差数列{an}满足a1+a5+a7+a11=36,则a6=()A.7B.8C.9D.10答案C2.★(2026届浙江金华十校一模,2)已知等差数列{an}满足a1=2,a4+a6=20,则a3=()A.4B.6C.8D.10答案B3.★★(2026届山东青岛期中,2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5与a7是方程x2-8x+4=0的两根,则S11=()A.41B.42C.43D.44答案D4.★★(2026届山东滨州质量检测,5)已知等差数列{an}共有101项,若奇数项的和为102,则偶数项的和为()A.100B.105C.110D.115答案A5.★★(2026届山东烟台期中,4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=6,S6=6S2,则S2=()A.32B.12答案C6.★★(2026届山东名校考试联盟摸底,5)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=6n+2n+3,则使得anA.1B.2C.3D.4答案C7.★★(2026届山东济南摸底考,3)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2a7-a9=4,则S9=()A.12B.24C.36D.48答案C8.★★(2025届吉林长春二模,6)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S9=6,则S12的值为()A.0B.3C.6D.12答案A9.★★★(2025届湖北模拟,4)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若SnTn=n2n+1,则A.5答案D10.★★★(2025届福建厦门六中模拟,5)记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a3+a18>0,S19<0,则()A.S20<0B.a6+a17<0C.a11>0D.a1d∈(-9,答案C11.★★★(2026届浙江名校协作体开学考,7)已知等差