2027新高考数学复习53A版3-3.1　导数的概念及运算

第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算考点1导数的概念及运算三年模拟1.★(2026届湘豫名校联盟摸底,6)已知f(x)在R上可导,则f'(1)=()A.limΔx→0f(1−Δx)−fC.limΔx→0f(1+Δx)−f(1−Δx)−答案B2.★★(2026届安徽五校第一次联考,4)下列求导运算正确的是()A.(ln2)'=1B.(3x+log3x)'=(3x+x)ln3C.(exx)'=eD.lnx答案D3.★★(2026届江西多校联考,4)已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=-f'(-1)x3+2x2-2,则f(2)=()A.20B.18C.16D.14答案D4.★★(2025届安徽肥东第一中学联考,2)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2xf'π3+sinx,则f'2π3=(A.-32C.3答案A5.★★(2026届广东湛江八校联考,7)某跳水运动员在10米高的跳台起跳后,其速度v(单位:米/秒)与时间t(单位:秒)之间的函数关系式为v(t)=-9.8t+4.7,则该运动员(身高忽略不计)在t=1秒时离水面的高度为()A.9.6米B.9.7米C.9.8米D.9.9米答案C6.★★★(2026届山西晋中开学考,8)已知f'(x)为函数f(x)=x2+2cos2x的导函数,则f'(x)的大致图象是()答案B7.★★★(2025届江西南昌模拟,7)我们知道一个常识:奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况:如果函数f(x)的图象有对称中心,那么其导函数f'(x)的图象会有对称轴;如果函数f(x)的图象有对称轴,那么其导函数f'(x)的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数f(x)=ln2+x3−x的对称性,下列选项正确的是()A.f(x)的图象有对称中心−B.f(x)的图象有对称中心1C.f(x)的图象有对称轴x=-1D.f(x)的图象有对称轴x=1答案B8.★★★(创新考法·估计三角函数值)(2025届陕西咸阳三模,8)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时,f(x)=f(0)+f'(0)x+f″02!x2+f303!x3+…+f(n)0n!注:f″(x)表示f(x)的2阶导数,即为f'(x)的导数,f(n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数,即为f(n-1)(x)(n≥3)的导数.n!表示n的阶乘,即n!=1×2×3×…×n.A.0.85B.0.88C.0.91D.0.95答案C

考点2曲线的切线五年高考1.★★(2023全国甲文,8,5分)曲线y=exx+1在点1,eA.y=e4C.y=e答案C2.★★(2024全国甲理,6,5分)设函数f(x)=ex+2sinx1+x2,则曲线y=f(x)在点(0,1)A.1答案A3.★★★(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea答案D4.★★(2021全国甲理,13,5分)曲线y=2x−1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为答案y=5x+25.★★★(2025全国一卷,12,5分)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=.

答案46.★★★(2024新课标Ⅰ,13,5分)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=.

答案ln27.★★★(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

答案y=1ex;y=-1ex(8.★★★(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.

答案(-∞,-4)∪(0,+∞)9.★★★(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则|AM||BN|的取值范围是.

答案(0,1)三年模拟1.★★(2026届安徽质量检测,4)已知函数f(x)=-x2+3x,则曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为()A.x+y-3=0B.x-y+1=0C.x+y-2=0D.x-y-1=0答案B2.★★(2026届河北示范高中联盟月考,3)若直线y=kx+b是曲线y=2x-ln(x+1)+3的切线,则k的取值范围是()A.(1,2]B.(-∞,2)C.(-∞,1)D.(1,2)答案B3.★★(2025届陕西安康考前最后一卷,5)已知函数f(x)=excosx的图象在x=x00<x0<π2处的切线平行于x轴,A.y=1B.y=3C.y=1答案D4.★★(2025届江苏南通高品质高中模拟预测,5)若曲线y=x4的一条切线l1与直线l2:4x-y-20=0平行,则l1与l2之间的距离为()A.17C.5D.10答案A5.★★★(2025届河南部分学校模拟,5)已知曲线f(x)=(x+k)ln(x+k)的一条切线的方程为y=x,则k=()A.0B.1C.-1D.e答案B6.★★★(2026届广东广州花都调研,7)已知f(x)为奇函数,当x<-1时,f(x)=lnx+1x−1,则曲线f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是()A.x+4y-4ln2-3=0B.x+2y+2ln2-3=0C.x-4y+4ln2-3=0D.x-2y-2ln2-3=0答案A7.★★★(2026届江西阶段检测,7)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),P为曲线y=2-lnx上一动点,则AP的最小值为()A.2答案D8.★★★(2026届河北沧州质量检测,7)已知函数f(x)=ln(x+1)+2cosx2x+1,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.1答案D9.★★★(2026届河南安阳调研,7)过点P(0,1)作曲线y=x2-2x+5的两条切线,切点分别为M,N,则直线MN的方程为()A.2x+y-9=0B.2x-y+9=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=0答案A10.★★★(2025届陕西安康模拟预测,7)已知曲线f(x)=lnx+x2-axx≥45与倾斜角为45°且横截距为a的直线l相切,则a=(A.1B.2C.3D.4答案B11.★★★(2026届山东九五高中协作体质量检测,8)若不等式ex-2≥ax+b≥lnx恒成立,则实数a的取值范围是()A.1C.[1,2]D.[1,e]答案D12.★★★(2026届山东青岛五十八中调研,8)已知函数f(x)=ex,x≤0,ln(1+x)+1,x>0,若在点P可以作曲线y=f(x)的两条切线,则点P的坐标可以为(A.(1,1)B.(1,2)C.(-1,1)D.(2,2)答案B13.★★★★(创新风向·多想少算)(2025届江苏南京东山高级中学二模,8)已知y=(x-a)2+(xlnx-a+3)2(a∈R),则y的最小值为()A.2B.1C.2答案A14.★(2026届湖南益阳教学质量检测,12)曲线y=lnxx在点(1,0)处的切线方程为答案y=x-115.★★(2026届河北石家庄一中摸底,12)已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+2,则f(1)+f'(1)=答案316.★★(2026届山西长治质量监测,12)曲线y=x2+3x在点(1,4)处的切线的倾斜角为答案135°17.★★★(2026届湖北武汉华中师大一附中月考,12)若曲线y=x+2x在点(1,3)处的切线也是曲线y=lnx+x+2a的切线,则a=.

答案118.★★★★★(2026届广东深圳中学摸底,19)已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx+b(a,b∈R).(1)当b=1时,f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)证明:当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与y=g(x)总存在两条公切线;(3)若直线l1,l2是曲线y=f(x)与y=g(x)的两条公切线,且l1,l2的斜率之积为1,求a,b的关系式.解析(1)当b=1时,由f(x)≥g(x)得aex≥lnx+1,即a≥lnx+1e设F(x)=lnx+1ex,则F'(x)=设p(x)=1x-lnx-1则p'(x)=-1x2∴p(x)在(0,+∞)上单调递减,∴当x∈(0,1)时,p(x)>p(1)=0,此时F'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,p(x)<p(1)=0,此时F'(x)<0,∴F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴F(x)max=F(1)=1e,∴a≥1即a的取值范围为1e(2)证明:设直线l是曲线f(x),g(x)的公切线,分别与曲线f(x),g(x)相切于点(x1,aex1),(x2,lnx2+∵f'(x)=aex,g'(x)=1x则f'(x1)=aex1,g'(x2)=∴切线方程为y-aex1=aexy-lnx2-b=1x2(x-x即y=aex1x+aex1(1-x1),y=1∴aex1=1x2且aex1(∵a=e-1,∴ex1−1=1x2,∴lnx2+b-1=aex1(1-x1)=∴b=lnx2x2-ln令h(x)=lnxx-lnx+1则h'(x)=1−lnx−xx设q(x)=1-lnx-x,则q'(x)=-1x−1=−∴q(x)在(0,+∞)上单调递减,∴当x∈(0,1)时,q(x)>q(1)=0,此时h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,q(x)<q(1)=0,此时h'(x)<0,∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴h(x)max=h(1)=1,当x→0时,h(x)=lnx1x−1+1→-∞,当x→+∞时,h(x)→-∞,又b∴h(x)的图象与直线y=b有两个不同的交点,∴方程b=lnx2x2-lnx2+1总有两个不相等的实数根,∴当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)总存在两条公切线.(3)同(2)得a由①得x2=1a代入②得(1-x1)aex1=-lna-x1+b∴(1-x1)aex1+lna+x1-b设两条公切线l1,l2与曲线y=f(x)分别相切于点(s,aes),(t,aet),则l1,l2的斜率分别为k1=aes,k2=aet,