2027年高考数学一轮复习(创新设计)第8节　向量法、几何法求空间距离

第8节向量法、几何法求空间距离课标要求能用向量法、几何法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.1.点P到直线l的距离如图1,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设AP＝a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ＝|AP图1图22.点P到平面α的距离如图2,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ＝AP·说明:线面距和面面距可转化成点面距求解.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.()(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.()(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.()(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)当平面α上三点在平面β的两侧时,α与β相交.(2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线,该点与垂足之间的距离.(4)直线l上的两个点在平面α的两侧时,l与平面α相交.2.(人教A选修一P34例6改编)已知平面ABC的一个法向量为n＝(1,2,1),向量AF＝0,12,0,则点答案6解析由题意,点F到平面ABC的距离为|AF3.(人教A选修一P35T1改编)已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n＝22,0,22为l的一个单位方向向量,则点P(4,3,答案2解析因为PA＝(－2,0,－1),且n＝22,0,故点P到l的距离为d＝|PA|24.(苏教选修二P52T8改编)定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝1,BC＝2,AA1＝3,则异面直线AC与BC1之间的距离为.

答案6解析如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),C1(0,1,3),则AC＝(－2,1,0),BC1＝(－2,0,设AC和BC1的公垂线的方向向量n＝(x,y则n·令x＝3,则n＝(3,6,2),∵AB＝(0,1,0),∴异面直线AC和BC1之间的距离为d＝|AB考点一向量法求点到直线的距离例1如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3,AD＝4,PA＝1,则点P到直线BD的距离为()A.135 B.C.157 D.答案A解析如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),则BP＝(－3,0,1),BD＝(－3,4,0),法一点P到直线BD的距离d＝|BP所以点P到直线BD的距离为135法二cos<BP,BD>＝BP＝910所以sin<BP,BD>＝1310所以点P到直线BD的距离为|BP|sin<BP,BD>＝10×1310感悟提升利用向量求解点M到直线AB的距离问题的常用方法:(1)勾股定理法.求向量AM在向量AB上投影向量的长度,则其与|AM|和所求距离是直角三角形三条边的长,进而利用勾股定理即可得到答案.(2)三角函数法.通过向量夹角公式求得cos<AM,AB>,再由平方关系求得sin<AM,AB>,进而通过|AM|sin<AM,AB>即可得到答案.训练1(2026·安阳模拟)如图,在三棱锥S－ABC中,SA,SB,SC两两垂直,SC＝3,SB＝2,SA＝1,D为线段SC上靠近C的三等分点,点E为△ABC的重心,则点E到直线BD的距离为()A.36 B.C.33 D.答案B解析根据题意,以S为坐标原点,以SB,SC,SA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,0),D(0,2,0),A(0,0,1),C(0,3,0),又点E为△ABC的重心,所以E23则EB＝43,−1,−法一cos<EB,DB>＝EB＝83则sin<EB,DB>＝1−cos所以点E到直线BD的距离为|EB|·sin<EB,DB>＝169＋1＋19×法二点E到直线BD的距离为d＝|EB考点二向量法求点到平面的距离例2(2026·河南部分学校联考)如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝AA1＝3,AB⊥AC,D为A1C1的中点.(1)证明:AB1⊥平面A1BD;(2)若二面角A－BC－D的余弦值为24,求点A到平面BCD(1)证明由直三棱柱的性质可知AA1⊥AB,AA1⊥AC,四边形AA1B1B为平行四边形,因为AB＝AA1,所以四边形AA1B1B为正方形,所以AB1⊥A1B,因为AA1⊥AC,AB⊥AC,AA1∩AB＝A,AA1,AB⊂平面AA1B1B,所以AC⊥平面AA1B1B,又AB1⊂平面AA1B1B,所以AC⊥AB1,因为A1D∥AC,所以AB1⊥A1D,又因为A1B∩A1D＝A1,A1B,A1D⊂平面A1BD,所以AB1⊥平面A1BD.(2)解由题易知AB,AC,AA1两两垂直,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AC＝2a(a>0),则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2a,0),D(0,a,3),所以AC＝(0,2a,0),BC＝(－3,2a,0),CD＝(0,－a,3),设平面BCD的法向量为n＝(x,y,z),则n取x＝3,则y＝32a,z＝所以n＝3,易知平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1),设二面角A－BC－D的大小为θ,则|cosθ|＝|cos<m,n>|＝|m·n|＝32解得a＝1,所以AC＝(0,2,0),平面BCD的一个法向量为n＝3,设点A到平面BCD的距离为d,则d＝|AC所以点A到平面BCD的距离为62感悟提升利用向量求点面距的步骤:(1)求出该平面的一个法向量;(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.训练2(2026·盐城质检)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA＝AD＝3,F是棱PD的中点,E是棱DC上一点.(1)证明:AF⊥EF;(2)若直线BP与平面AEF所成角的正弦值为2211,求点B到平面AEF(1)证明在正方形ABCD中,有AD⊥CD,又PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,又AD∩AP＝A,AD,AP⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD,又PA＝AD,F是棱PD的中点,所以AF⊥PD,且平面PCD∩平面PAD＝PD,AF⊂平面PAD,所以AF⊥平面PCD,又EF⊂平面PCD,所以AF⊥EF.(2)解如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,A(0,0,0),B(3,0,0),P(0,0,3),F0,设点E(m,3,0)(0≤m≤3),所以AE＝(m,3,0),AF＝设平面AEF的法向量n＝(x,y,z),则AE令x＝3,可得n＝(3,－m,m),又BP＝(－3,0,3),所以直线BP与平面AEF所成角的正弦值sinθ＝|BP化简可得m2－22m＋21＝0,即(m－1)·(m－21)＝0,所以m＝1或m＝21(舍).即点E(1,3,0),由m＝1可得,n＝(3,－1,1),AB＝(3,0,0),所以点B到平面AEF的距离d＝|n考点三几何法求空间距离例3(1)如图,在四棱锥P－ABCD中,PB⊥平面ABCD,PB＝AB＝2BC＝4,AB⊥BC,则点C到直线PA的距离为.

(2)(2026·北京门头沟模拟)某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥P－ABC,PA＝PB＝PC＝23,底面△ABC是等腰直角三角形,AB＝BC,顶点P到底面ABC的距离为3,则点B到平面PAC的距离为.

答案(1)23(2)3解析(1)如图,取PA的中点M,连接BM,CM,因为PB⊥平面ABCD,又BC⊂平面ABCD,所以PB⊥BC,又因为AB⊥BC,PB∩AB＝B,PB,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以BC⊥PA,因为M是PA的中点,PB＝AB,所以BM⊥PA,又BC⊥PA,BM∩BC＝B,BM,BC⊂平面BCM,所以PA⊥平面BCM,又CM⊂平面BCM,所以CM⊥PA,即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中,BM＝22PB＝22在Rt△BCM中,CM＝BM2＋故点C到直线PA的距离为23.(2)因为PA＝PB＝PC＝23,且底面△ABC是等腰直角三角形,AB＝BC,所以点P在底面ABC上的射影O为边AC的中点,连接PO,在Rt△PAO中,由勾股定理得AO＝3,所以AC＝23,又因为底面△ABC是等腰直角三角形,∴AB＝BC＝6,∴VP－ABC＝13S△ABC·PO＝13×12×6×设点B到平面PAC的距离为d,则VP－ABC＝VB－PAC＝13S△PAC·d＝13×12×23×3×d＝3,所以d感悟提升1.求点线距一般要作出这个距离,然后利用直角三角形求解,或利用等面积法求解.2.求点面距时,若能够确定过点与平面垂直的直线,即作出这个距离,可根据条件求解,若不易作出点面距,可借助于等体积法求解.3.求线面距、面面距时,可转化为点面距.训练3(1)(2026·河北省级联考)已知在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA＝PB＝2,PC＝PD＝3,则直线CD到平面PAB的距离为.

(2)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为23,则平面A1BC1到平面AD1C的距离为.

答案(1)696解析(1)取AB的中点M,CD的中点N,连接PM,PN,MN,如图.因为PA＝PB＝2,PC＝PD＝3,所以PM⊥AB,PN⊥CD,易知MN⊥AB,MN⊥CD,又PM∩MN＝M,PM,MN⊂平面PMN,所以AB⊥平面PMN,又AB⊂平面PAB.所以平面PMN⊥平面PAB,又AB∥CD,AB⊂平面PAB,CD⊄平面PAB,所以CD∥平面PAB,则直线CD到平面PAB的距离即为点N到平面PAB的距离,即为点N到直线PM的距离.又PM＝PAPN＝PD2−DN2在△PMN中,cos∠MPN＝PM则sin∠MPN＝13812所以点N到直线PM的距离为PN·sin∠MPN＝2×13812(2)连接B1D,B1D1,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,则DD1⊥A1C1,在正方形A1B1C1D1中,有B1D1⊥A1C1,DD1,B1D1⊂平面DD1B1,DD1∩B1D1＝D1,所以A1C1⊥平面DD1B1,B1D⊂平面DD1B1,则有A1C1⊥B1D,同理有A1B⊥B1D,A1C1,A1B⊂平面A1BC1,A1C1∩A1B＝A1,所以B1D⊥平面A1BC1,同理有B1D⊥平面AD1C,正方体棱长为23,则A1B1＝B1C1＝BB1＝23,A1C1＝A1B＝26,设点B1到平面A1BC1的距离为h,由VA有13×12×(23)3＝13×12×26×26×32h即点B1到平面A1BC1的距离为2,同理点D到平面AD1C的距离为2,B1D＝(23)则平面A1BC1到平面AD1C的距离为6－2－2＝2.1.如图,在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是AB,CC1的中点.(1)求B1到直线D1E的距离;(2)求B1到平面D1EF的距离.解(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),E(2,1,0),B1(2,2,2),D1E＝(2,1,－2),B1E＝(0,所以B1到直线D1E的距离为|B(2)由(1)得F(0,2,1),D1F＝(0,2,设平面D1EF的法向量为n＝(x,y,z),则n·取y＝2,则x＝3,z＝4,得n＝(3,2,4),所以B1到平面D1EF的距离为|B2.如图,在三棱锥A－BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB＝AD,O为BD的中点,△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE＝2EA.(1)证明:OA⊥BC;(2)当AO＝1时,求点E到直线BC的距离.(1)证明因为AB＝AD,O为BD的中点,所以AO⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD＝BD,AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,所以OA⊥BC.(2)解取OD的中点F,连接CF,因为△OCD为正三角形,所以CF⊥OD,过点O作OM∥CF交BC于点M,则OM⊥OD,所以OM,OD,OA两两垂直,以点O为坐标原点,分别以OM,OD,OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,－1,0),C32,12法一则BC＝32所以点E到直线BC的距离d＝|BE|2法二又BC＝＝32,3所以|cos<BC,BE>|＝|＝23则sin<BC,BE>＝105所以点E到直线BC的距离为|BE|sin<BC,BE>＝253×3.(2026·肇庆模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,平面APC⊥平面PCD.(1)证明:CD⊥平面PAC;(2)若AB＝PA＝35BC＝3,E为PD的中点,求PB到平面AEC(1)证明如图,在平面PAC内,过点A作AH⊥PC,交PC于点H.因为平面APC⊥平面PCD,平面APC∩平面PCD＝PC,AH⊂平面PAC,AH⊥PC,所以AH⊥平面PCD,又CD⊂平面PCD,所以AH⊥CD.因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,因为PA∩AH＝A,PA,AH⊂平面PAC,所以CD⊥平面PAC.(2)解法一如图,连接BD交AC于点O,连接OE.易知OE为△PBD的中位线,所以PB∥OE.因为PB⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,所以PB∥平面AEC,所以PB到平面AEC的距离,即为点B到平面AEC的距离.由(1)知CD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,所以CD⊥AC.因为AB∥CD,所以AB⊥AC.因为AB＝35BC＝3,所以AC因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD,因为CD⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,所以PC⊥CD,所以△PAD,△PCD是直角三角形.所以PD＝PA因为E是PD的中点,所以AE＝CE＝12PD＝34则S△ACE＝12×4×3422S△ABC＝12×3×设点B到平面AEC的距离为d,则V三棱锥B－AEC＝13S△ACE·d＝13S△ABC·12PA,解得d即PB到平面AEC的距离为32法二如图,连接BD交AC于点O,连接OE.易知OE为△PBD的中位线,所以PB∥OE.因为PB⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,所以PB∥平面AEC,所以PB到平面AEC的距离,即为点B到平面AEC的距离.由(1)知CD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,所以CD⊥AC.因为AB∥CD,所以AB⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA,AB,AC两两垂直.以A为坐标原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),P(0,0,3),所以AC＝(0,4,0),AP＝(0,0,3),BC＝(－3,4,0),AE＝12(AP＋AD)＝1设平面AEC的法向量为n＝(x,y,z),则AE取z＝1,则x＝1,y＝0,所以平面AEC的一个法向量为n＝(1,0,1),则点B到平面AEC的距离d＝|BC·n|n＝322,4.(2026·嘉兴调研)如图,在四棱台ABCD－A1B1C1D1中,底面为矩形,平