2027年高考数学一轮复习(创新设计)第6节　双曲线

第6节双曲线课标要求1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.1.双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.(2)其数学表达式:集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①若a<c，则集合P为双曲线;②若a＝c，则集合P为两条射线;③若a>c，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－yy2a2－x图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bay＝±ab离心率e＝ca，e∈(1，＋∞实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b21.离心率e＝ca＝1＋b2a2，e越大2.双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为abc3.同支的焦点弦中最短的为通径，其长为2b2a;异支的焦点弦中最短的为实轴，其长为4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.5.焦点三角形的面积:P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为b26.若渐近线方程为y＝±bax，则双曲线方程可设为x2a2－y7.等轴双曲线⇔e＝2⇔渐近线为y＝±x⇔方程为x2－y2＝λ(λ≠0).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到(0，m)和(0，－m)的距离之差的绝对值等于2m(m>0)的点的轨迹是双曲线.()(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率为2.()(3)方程x2m－y2(4)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)应该表示的轨迹为两条射线.(3)当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m<0，n<0时则表示焦点在y轴上的双曲线.2.(苏教选修一P106T3改编)若双曲线经过点(－3，6)，且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则双曲线的方程为.

答案y29－x解析由题设，可设双曲线为x2－y29＝m且m≠0，又(－3，6)所以m＝3－369则双曲线的方程是y29－x3.(北师大选修一P68T3改编)点(3，0)到双曲线x216－y答案9解析双曲线x216－y29＝1的渐近线方程是x4±y由点到直线的距离公式，得|34.(人教A选修一P127T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.考点一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O:x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆(2)(2026·郑州质测)已知双曲线C:x216－y29＝1，双曲线C上一点P答案(1)B(2)12解析(1)如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.(2)由题意知，双曲线C的实轴长2a＝8，设点P到另一个焦点的距离为d(d>0)，则根据双曲线的定义可得|d－4|＝8，得d＝12.感悟提升1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.训练1(1)(2026·石家庄模拟)已知双曲线C:x24－y28＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，若|F1A|＝2|A.47 B.27C.43 D.4(2)已知F1，F2为双曲线C:x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为.

答案(1)A(2)23解析(1)因为双曲线C的标准方程为x2所以a＝2，b＝22，c＝23.由题意知过坐标原点的直线与双曲线左、右支各交于一点，不妨设点A在第一象限.如图所示，连接F2A.因为点A，B关于坐标原点对称，所以|F1B|＝|F2A|，又|F1A|＝2|F1B|，所以|F1A|＝2|F2A|.由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2|F2A|－|F2A|＝|F2A|＝2a＝4，所以|F2A|＝4，|F1A|＝8，又|F1F2|＝43，所以|F1F2|2＋|F2A|2＝|F1A|2，则F1F2⊥F2A，所以|AB|＝2|OA|＝2|F2A|2(2)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理的推论，得cos∠F1PF2＝PF所以|PF1|·|PF2|＝8，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|考点二双曲线的标准方程例2(1)(2024·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上位于x轴下方的一点，且直线PFA.x28－y2C.x22－y2(2)经过点P(3，27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为.

(3)已知双曲线C1过点A(－15，1)，且与双曲线C2:x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为.

答案(1)C(2)y225－解析(1)由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1＝PF根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12又S△所以a2＝2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为x22－(2)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).∴9∴双曲线的标准方程为y2(3)由双曲线C1与双曲线C2:x2－3y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线C1的方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)，又因为C1过点A(－15，1)，代入双曲线C1的方程得15－3＝λ，即λ＝12，所以双曲线C1的标准方程是x2感悟提升1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)或2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0);与双曲线训练2(1)(2026·福州质检)以y＝±3x为渐近线的双曲线可以是()A.x23－y2＝1 B.x2－C.y23－x2＝1 D.y2－(2)已知圆C1:(x＋3)2＋y2＝1，C2:(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

答案(1)B(2)x2－y28＝1(x解析(1)双曲线x2m－y2n即yx＝±n故nm＝9，所以y＝±3x为渐近线的双曲线可以是x2－y29＝1或y29－(2)设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x考点三双曲线的几何性质角度1渐近线、离心率例3(1)(2025·新高考Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍，则C的离心率为()A.2 B.2C.7 D.22(2)(2026·成都诊断)设双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0，A.25 B.C.85 D.答案(1)D(2)B解析(1)依题意得b＝7a，又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋(7a)2＝8a2，即c＝22a，故e＝22.故选D.(2)由已知，2a＝2，ca所以a＝1，c＝5，则b＝2.设M(m，n)为双曲线C上任意一点，则m2－n24＝1，即4m2－n而双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0，所以点M到两条渐近线的距离的乘积为|2m−n5角度2几何性质的综合应用例4(多选)(2026·重庆诊断改编)已知双曲线C:y2a2－x2＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝33x，上、下焦点分别为FA.C的方程为y23－xB.C的离心率为2C.双曲线C上的点到焦点的最小距离为3D.若点A(x0，y0)为双曲线C上支上的任意一点，P(2，0)，则|PA|＋|AF2|的最小值为23答案BCD解析对于A，双曲线C:y2a2－x2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±ax，则a于是双曲线C的方程为3y2－x2＝1，故A错误;对于B，双曲线C的离心率e＝1＋113＝2，对于C，c＝1＋13＝233，双曲线C上的点到焦点的最小距离为c－a＝对于D，F10，23，F由双曲线的定义得，|PA|＋|AF2|＝|PA|＋|AF1|＋2a≥|PF1|＋23＝当且仅当点A为线段PF1与双曲线上支的交点时取等号，故D正确.感悟提升1.渐近线的求法:求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝ca转化为关于e3.与双曲线有关的最值(范围)问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.训练3(1)(2026·贵阳摸底)已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F的直线l与C交于点A，B，且满足|AB|＝2a(2)(2026·湖南九校联考)已知P，Q分别为双曲线x2－y24＝1的右支与渐近线上的动点，F为左焦点，则|PQ|＋|PF|的最小值为答案(1)(1，2)(2)4解析(1)当直线l与x轴重合时，点A，B为双曲线C的左、右顶点，此时|AB|为实轴长，满足|AB|＝2a.易知满足|AB|＝2a的另外两条直线均与双曲线C的右支有两个交点，当直线l与x轴垂直时，将x＝c代入双曲线C的方程，得y＝±b2a，此时|AB|＝结合双曲线的对称性可知，当2a>2b2a时，满足题意，得a2>所以双曲线C的心离率e＝c＝a2＋b又e>1，所以e∈(1，2).(2)设双曲线x2－y24＝1的右焦点为由已知得F'(5，0)，渐近线方程为y＝±2x，则|PF|－|PF'|＝2a＝2，∴|PF|＝|PF'|＋2，∴|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PF'|＋2≥|F'Q|＋2，当且仅当F'，Q，P三点共线时取等号，易知当F'，Q连线垂直于渐近线时，F'Q取得最小值，且|F'Q|min＝25所以|PQ|＋|PF|的最小值为4.一、单选题1.方程x22＋mA.－2<m<1 B.m>1C.m<－2 D.－1<m<2答案A解析因为方程x22＋m所以(2＋m)(1－m)>0，即(m＋2)(m－1)<0，解得－2<m<1.故选A.2.经过点M(23，25)且与双曲线x2A.x218－y2C.y218－x2答案D解析由题意知，可设所求的双曲线方程为x23－y22点M(23，25)在双曲线上，所以(23)2解得λ＝－6，故所求的双曲线方程是y23.(2026·宁波十校联考)在平面直角坐标系中，动点P(x，y)满足方程|(xA.62 C.6 D.26答案C解析因为方程|(x＋26)2＋y2－(x−26)2＋y所以c＝26，a＝2，所以动点P轨迹的离心率e＝ca4.若双曲线C:x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的动点，则|PF1|·|PFA.1 B.2C.3 D.4答案C解析由题意可知a＝1，b＝3，c＝a2＋b2＝2，且|设|PF2|＝m≥c－a＝1，则|PF1|＝m＋2，可得|PF1|·|PF2|＝m(m＋2)在[1，＋∞)上单调递增，所以当m＝1时，|PF1|·|PF2|取得最小值3.5.(2026·石家庄调研)已知双曲线E1:x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与双曲线E2:x216A.154 B.C.245 答案B解析由题知a2所以ba易知双曲线E2的右焦点为(5，0)，所以a＝5，b＝34a＝15则双曲线E1的虚轴长2b＝1526.若双曲线C1:x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2:(x－2)A.1，23C.(1，2) D.(1，2]答案B解析∵双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，且渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，∴圆心(2，0)到渐近线的距离小于等于半径，即2b∴3b2≤a2，∴c2＝a2＋b2≤43a2∴1<e＝ca≤27.已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F1的直线与C的左支交于A，A.8 B.12C.16 D.24答案C解析因为双曲线的离心率为2，所以e2＝1＋b2a2＝2，得a当弦AB与实轴垂直时，|AB|的值最小，所以2b2a＝4，所以a由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝|AB|＋4a，所以△ABF2的周长为2|AB|＋4a，因为a＝2，|AB|的最小值为4，所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16.二、多选题8.已知双曲线的方程为y2A.渐近线方程为y＝±12B.焦距为85C.离心率为5D.焦点到渐近线的距离为8答案BC解析由题意，易知双曲线的实半轴长a＝8，虚半轴长b＝4，半焦距c＝64＋16＝45，且焦点在y轴上，则渐近线方程为y＝±abx＝±2x，A错误焦距为2c＝85，B正确;离心率e＝ca＝5焦点到渐近线的距离为4，D错误.9.(2025·新高考Ⅱ卷)双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，NA.∠A1MA2＝πB.|MA1|＝2|MA2|C.C的离心率为13D.当a＝2时，四边形NA1MA2的面积为83答案ACD解析根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝5π6所以∠A1MA2＝π6，A正确不妨设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，渐近线方程为y＝bax，则x02＋又y0＝bax0，a2＋b2＝c2联立可得x0＝a，y0＝b，所以M(a，b)，所以MA2⊥x轴，在Rt△A1A2M中，因为∠A1MA2＝π6所以MA2|MA1根据tan∠A1MA2＝2ab＝tan得ba＝23所以e＝ca＝1＋当a＝2时，|MA1|＝42，|MA2|＝26，所以四边形NA1MA2的面积为S＝2S＝|MA1||MA2|sinπ6＝42×26×12＝8D正确.三、填空题10.若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y＝±13x，则双曲线的标准方程是.答案y2－x2解析设双曲线的方程是y2－x29＝λ(λ因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99故双曲线的标准方程为y2－x211.(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A答案3解析法一由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝|AB|2因为|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8，2c＝|F1F2|＝AF所以a＝4，c＝6，则C的离心率e＝ca法二因为|AB|＝10，所以2b所以b2又|AF1|＝13，所以|F1F2|＝2c＝AF得c＝6，所以a2＋5a－36＝0，得a＝4，所以C的离心率e＝ca12.(2026·西安调研)设P为双曲线x2－y24＝1上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若AP＝PB，则△AOB答案2解析由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±2x，因为点A，B分别位于第一、四象限，所以设A(m，2m)，B(n，－2n)，其中m>0，n>0.由AP＝PB得，点P为线段AB的中点，所以点P的坐标为将点P