浙江省名校联考2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷

高二年级数学学科练习考生须知150分,120答题前,所有答案必须写在答题卷上,练习结束后,单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项已知集合𝐴=𝑥1≤2𝑥≤4,𝐵={−2,−1,0,2,3},则𝐴∩𝐵= A.{−1, B.{0, C.{−2,−1, D.{−1,0,已知不共线向量𝒂,𝒃满足向量4𝒂+𝜆𝒃与𝜆𝒂+𝒃方向相同,则实数𝜆= A. B. C. D.已知复数𝑧=𝑥+𝑦ii为虚数单位,𝑥,𝑦∈𝐑,则“𝑥𝑦=0”是“𝑧2为实数”的 充分不必要条 B.必要不充分条C.充要条 D.既不充分也不必要条将边长为2的正△𝐴𝐵𝐶绕直线𝐴𝐵旋转一圈,则所得几何体的的内切球的表面积等于 A. B. C. D.等腰三角形,其中𝐴′𝐵′=𝐵′𝑂′=2,底角为30°,则在水平放置图中,𝛥𝐴𝐵𝑂的边𝐴𝑂上的高为（）A.

B.

C.

D.已知关于𝑥的方程9𝑥+3𝑥+1+

3=0有实根,则实数𝑚的取值范围为 A.(0, B.(1,+ C.(1, D.(3,+已知函数𝑓(𝑥)=1−sin2 [0,2𝜋]上有且仅有3个交点,则𝜔的取 (𝜔>0)与直线𝑦=2范围为

5

[2,在△𝐴𝐵𝐶中,cos2𝐴+sin2𝐵+cos𝐴sin𝐵=3,则sin(𝐴−𝐵)=

−多项选择题:3小题,6分,18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。已知𝐴,𝐵为同一试验中的两个事件,则下列说法正确的是 若𝑃(𝐵)<𝑃(𝐴),则𝐵⊆若𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)=1,则𝐴𝐵若𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)>1,则𝐴𝐵若𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)=1,𝑃(𝐵)=1,则𝐴𝐵 如图,△𝐴𝐵𝐶内角𝐴𝐵𝐶的对边分别为𝑎𝑏𝑐,𝐷为边𝐵𝐶上一点且𝐴𝐷⊥𝐴𝐶,∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐷,则下列说法正确的是 若sin∠𝐴𝐶𝐵=1,则𝐶𝐷= B.若𝑏>𝑐,则角𝐶< 若sin𝐵=3,𝐶𝐷=5,则

△𝐴𝐵𝐶=

𝑏2+𝑐2的最小值为4已知定义在𝐑上的函数𝑓(𝑥)满足(𝑥−𝑦)𝑓(𝑥+𝑦)≤𝑓(𝑥)−𝑓(𝑦)(𝑥+𝑦)对任意实数𝑥,𝑦恒成立且𝑓(1)=3,𝑓(2)=8,则下列结论正确的是 𝑓(3)= B.𝑓(𝑥)C.𝑓(𝑥)至少有两个零 D.𝑓(𝑛)+𝑓(𝑛+2)<3𝑓(𝑛+1)对任意正整数𝑛恒成填空题:本题共3小题,每小题5分,共15已知复数𝑧=1+ii为虚数单位,则𝑧−𝑧的虚部 已知平面𝛼经过正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的顶点𝐴1,𝛼//平面𝐵𝐶1𝐷,𝛼∩平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1=𝛼∩平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1=𝑛,则直线𝑚与𝑛所成角的余弦值 14.已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥+1−1|,𝑥≤14.已知函数𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥−2)+𝑚,𝑥>

其中𝑚为实常数.若𝑚=1,则𝑓(4)= 若存在直线𝑦=𝑥+𝑏(𝑏∈𝐑)与𝑓(𝑥)的图象有无穷多个交点,则𝑚= 解答题:本题共5小题,共77已知平面向量𝒂与𝒃的夹角为𝜋,|𝒂|=8,|𝒃|=(1)若向量𝒂+𝜆𝒃与𝒂−2𝒃垂直,求实数𝜆的值(2)求向量𝒂−𝒃与𝒃的夹角𝜃的余弦值在𝐴𝐵𝐶中,角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐.已知向量𝒎=(𝑏𝑐𝑎),𝒏=(𝑏−𝑐2𝑎−𝑏)𝒎⋅𝒏=求角𝐶的大小𝐴𝐵𝐶的面积为33,外接圆面积为4𝜋,求𝐴𝐵𝐶的周长某地交通部门为了解市民对新能源汽车的续航满意度,随机抽取了10名新能源车主进行问卷调查,统计了他们实际驾驶中的百公里电耗（单位:度）,并将这10个数据作为样本,将样本分成五组[11),[1,1),[1,1),[1,1),[1,2],得求频率分布直方图中𝑎的值,并估计该地新能源

频率/

20百公里电耗/已知样本数据落在[1214)的平均数是12.5,方差是2.76,落在[1618)的平均数是17,1.71,求这两组数据合并后的平均数和方差已知在百公里电耗为[10,12)和[12,14)的车主中,分别有6名和14名女性.现从这两个区间的车主中各随机抽取1人参加该地交通部门组织的“低碳出行”市民座谈会,求抽取的2人中恰好有1如图,在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝑃𝐴底面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑃𝐴=𝐴𝐶=2,𝐴𝐵=𝐵𝐶=若𝐴𝐷𝑃𝐵,求证:𝐴𝐷//平面若平面𝑃𝐴𝐷平面若二面角𝐴−𝑃𝐶−𝐵的正弦值是二面角𝐴−𝑃𝐶−𝐷的正弦值的两倍,求 已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−sin2判断𝑓若𝑥

∈

,且

+𝑥<𝜋,求证:𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥)≤

若𝑥𝑥

∈

,且𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥)=ln(𝑥𝑥𝑥)−1,求

的最大值

12高二年级数学学科练习注:142分,3分(1)由𝒂+𝜆𝒃与𝒂−2𝒃垂直知,(𝒂+𝜆𝒃)⋅(𝒂−2𝒃)= (2分再由𝒂⋅𝒃=|𝒂||𝒃|cos〈𝒂,𝒃〉=12知 (4分(𝒂+𝜆𝒃)⋅(𝒂−2𝒃)=𝒂2+(𝜆−2)𝒂⋅𝒃−2𝜆𝒃𝟐=40−6𝜆=0,解得𝜆= (6分(2)由(𝒂−𝒃)2=𝒂2−2𝒂⋅𝒃+𝒃2=49知,|−𝒃|= (8分再由(𝒂−𝒃)⋅𝒃=𝒂⋅𝒃−𝒃2=3 分 cos𝜃=(𝒂−𝒃)⋅𝒃= (13分 (1)由𝒎⋅𝒏=𝑏2−𝑐2+2𝑎2−𝑎𝑏=𝑎2,得𝑎2+𝑏2−𝑐2= (2分再由余弦定理知,cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐2= (4分 故由𝐶∈(0,𝜋)知,𝐶= (6分(2)由

=1𝑎𝑏sin𝐶=3𝑎𝑏=33,得𝑎𝑏= (8分 由外接圆面积为4𝜋知,外接圆半径𝑅= (10分由正弦定理知,𝑐=2𝑅sin𝐶=2 (12分𝑎2+𝑏2+再由余弦定理知,𝑎2+𝑏2=𝑐2+𝑎𝑏=24,从而𝑎+𝑏 𝑎2+𝑏2+故△𝐴𝐵𝐶的周长为𝑎+𝑏+𝑐=6 (15分(1)由题意知,(0.05+0.15+0.15+𝑎+0.05)×2=1,解得𝑎= (2分因为前3组的频率之和为(0.050.150.15)×2=0.7<4组的频率之和为(0.050.15+0.150.10)×2=0.9>所以样本数据的第80百分位数落在[16,18中,设其为则0.7(𝑥−160.10=0.8,解得𝑥=17,80百分位数为故估计该地新能源车主驾驶中的百公里电耗的第80百分位数为 (4分(2)两组数据合并后的𝑥

×12.5

17=7.56.8= (6分两组数据合并后的𝑠2=3×(12.5−14.3)2+2.76+2×(17−14.3)2+1.71 (8分 计算得𝑠2=36= (10分(3)已知[10,12中有6名女性,则男性有10−6=4(人[12,14)中有14名女性,则男性有30−14=16(人 (11分从[10,12中抽取1人,从[12,14)中抽取1人，基本事件总数为:𝑛=10×30= (12分设事件𝐴=“21名女性”,则事件𝐴包含以下两种互斥情况①从[10,12中抽到女性,从[12,14)中抽到男性,有6×16=②从[10,12中抽到男性，从[12,14)中抽到女性，有4×14=所以事件𝐴包含的基本事件数为:𝑚=96+56= (14分故所求概率为𝑃(𝐴)=𝑚=152= (15分 (1)证明:由𝑃𝐴平面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐷平面𝐴𝐵𝐶𝐷知,𝑃𝐴𝐴𝐷.又𝐴𝐷𝑃𝐵,𝑃𝐴𝑃𝐵=𝑃𝐴,𝑃𝐵⊂平面𝑃𝐴𝐵知,𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐵.再由𝐴𝐵⊂平面𝑃𝐴𝐵,得𝐴𝐷⊥ (2分由𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐶2,得𝐴𝐵⊥𝐵𝐶.故在平面𝐴𝐵𝐶𝐷中, (4分再由𝐵𝐶⊂平面𝑃𝐵𝐶,𝐴𝐷⊄平面𝑃𝐵𝐶,得𝐴𝐷//平面𝑃𝐵𝐶.得证 (5分(2)(i)如图,过点𝐴作𝐴𝐸𝑃𝐷,垂足为𝐸.由平面𝑃𝐴𝐷平面𝑃𝐶𝐷,以及平面𝑃𝐴𝐷平面𝑃𝐶𝐷=得𝐴𝐸⊥平面𝑃𝐶𝐷.又𝐶𝐷⊂平面𝑃𝐶𝐷知,𝐴𝐸⊥ (7分再由𝑃𝐴平面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐶𝐷平面𝐴𝐵𝐶𝐷知,𝑃𝐴𝐶𝐷.又𝑃𝐴𝐴𝐸=𝐴,𝑃𝐴𝐴𝐸平面𝑃𝐴𝐷知𝐶𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐷.故由𝐴𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐷,得𝐶𝐷⊥ (9分于是,

的最大值为1,

的最大值为 (11分(ii)由𝐴𝐵⊥𝐵𝐶,𝑃𝐴⊥𝐵𝐶,𝑃𝐴,𝐴𝐵⊂平面𝑃𝐴𝐵,得𝐵𝐶⊥平面又𝐵𝐶平面𝑃𝐵𝐶知,平面𝑃𝐵𝐶平面𝑃𝐴𝐵,且平面𝑃𝐵𝐶𝑃𝐴𝐵=如图,过点𝐴作𝐴𝐹𝑃𝐵,垂足为𝐹,再过𝐹作𝐹𝐻⊥𝑃𝐶,垂足为𝐻,𝐴𝐻, 则𝐴𝐹平面𝑃𝐵𝐶,且∠𝐴𝐻𝐹,∠𝐴𝐻𝐸分别为二面角𝐴−𝑃𝐶−𝐵,𝐴−𝑃𝐶−𝐷平面 (13分于是,由sin∠𝐴𝐻𝐹=𝐴𝐹=2sin∠𝐴𝐻𝐸=2𝐴𝐸,得𝐴𝐹= (15分 再由𝑃𝐴=2,𝐴𝐵=2,得𝐴𝐹=2𝐴𝐸=23,𝐴𝐷=2 (17分 8𝑒知(1)当𝑥∈(0,1]时,𝑓(𝑥)<ln1−sin20=0.当𝑥∈1,𝜋时 8𝑒知 由2<5ln𝜋<1=sin2𝜋<sin21,故𝑓(𝑥)<ln𝜋−sin21<0.当𝑥∈𝜋𝑒时,由𝑓(𝑥)单调递增 以及

<0,𝑓(𝑒)>0知,存在唯一

∈𝜋𝑒,使得𝑓(𝑥)=0.当𝑥∈(𝑒+∞)时 𝑓(𝑥)>1−sin2𝑥≥ (2分综上所述,𝑓(𝑥)在(0,+∞)上有且仅有1个零 (4分y=lny=sin2另解:由𝑓(𝑥)的零点个数即函数𝑦=lny=lny=sin2 (2分知𝑓(𝑥)在(0,+∞)上有且仅有1个零 (4分

≤𝑥1+𝑥2,两边取对数得ln𝑥1+ln

≤

(6分 <由0<𝑥+ ,sin2𝑥+sin2𝑥

=sin2

+sin2

−

(8分

+𝑥2)≥ (10分

+ln𝑥−(sin2𝑥+sin2𝑥)≤

.得证 (11分

≤𝑥1+𝑥2,两边取对数得ln𝑥1+ln

≤

(6分 由0<𝑥1+𝑥2<2知,2cos(𝑥1+𝑥2)−cos2𝑥1−cos2𝑥2=2cos(𝑥1+𝑥2)[1−cos(𝑥1−𝑥2)]≥ (8分再由sin2𝑥=1−cos2𝑥知,sin2𝑥+sin2𝑥

=

+𝑥)[1−cos(𝑥−𝑥)]≥

(10分

+ln𝑥−(sin2𝑥+sin2𝑥)≤

.得证 (11分 条件⇔sin2𝑥1+sin2𝑥2+sin2𝑥3=1.不妨设𝑥1≤𝑥2≤并令𝑥=𝑥1+𝑥2+𝑥3,则由