2025-2026年福建省湘教版高二数学选修第5章专项训练题库

2025-2026年福建省湘教版高二数学选修第5章专项训练题库一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修5.1《不等式的基本性质》中，若a>b，c<0，则下列不等式不成立的是（）A.ac>bcB.a-c>b-cC.1/a<1/cD.a^2>b^2解析：根据不等式性质，a>b且c<0时，ac<bc，故A选项不成立。B选项正确，不等式两边同时减去相同数仍成立；C选项正确，不等式两边取倒数时方向改变；D选项正确，正数平方仍保持大小关系。本题考查不等式基本性质的综合应用，易错点在于对倒数性质的理解。2.在选修5.2《一元二次不等式解法》中，解不等式x^2-3x-4>0，下列说法正确的是（）A.解集为{x|x<-1或x>4}B.解集为{x|x<-4或x>1}C.解集为{x|x<-1且x>4}D.解集为空集解析：将不等式转化为(x+1)(x-4)>0，根据一元二次不等式解法，解集为x<-1或x>4，故A选项正确。B选项错误，因x^2-3x-4=(x-4)(x+1)；C选项逻辑矛盾；D选项错误，因原不等式有解。本题考查一元二次不等式因式分解法，关键在于正确确定区间符号。3.在选修5.3《分式不等式解法》中，解不等式(2x-1)/(x+3)<0，下列说法正确的是（）A.解集为{x|-3<x<1/2}B.解集为{x|x<-3或x>1/2}C.解集为{x|-3<x<-1/2或x>1}D.解集为空集解析：根据分式不等式解法，需分别讨论分子分母的符号变化，得到解集为-3<x<-1/2或x>1，故C选项正确。A选项错误，因区间范围错误；B选项错误，因符号判断错误；D选项错误，因解集非空。本题考查分式不等式分类讨论思想，易错点在于忽略分母不为零的条件。4.在选修5.4《含绝对值不等式解法》中，解不等式|3x-2|<5，下列说法正确的是（）A.解集为{x|-3<x<7}B.解集为{x|-1<x<3}C.解集为{x|-3<x<3}D.解集为空集解析：根据绝对值不等式性质，|3x-2|<5等价于-5<3x-2<5，解得-3<x<3，故C选项正确。A选项错误，因区间范围过大；B选项错误，因区间范围过小；D选项错误，因解集非空。本题考查绝对值不等式转化法，关键在于正确拆分绝对值。5.在选修5.5《不等式证明》中，下列命题正确的是（）A.若a>b，则a^2>b^2B.若a>b，则1/a>1/bC.若a>b>0，则√a>√bD.若a>b，则a^3>b^3解析：根据不等式性质，C选项正确，正数开方保持大小关系；A选项错误，因负数平方反序；B选项错误，因a>b>0时1/a<1/b；D选项错误，因a>b>0时成立，但a>b<0时不成立。本题考查不等式性质的综合应用，易错点在于忽略正负性条件。6.在选修5.6《基本不等式》中，下列说法正确的是（）A.若a>0，b>0，则ab≥a+bB.若a>0，b>0，则ab≤a+bC.若a>0，b>0，则ab≥a+b当且仅当a=bD.若a>0，b>0，则ab≤a+b当且仅当a=b解析：根据基本不等式(ab≥a+b当且仅当a=b)，C选项正确；A选项错误，因ab≥a+b当且仅当a=b；B选项错误，因ab≤a+b当且仅当a=b；D选项错误，因ab≥a+b当且仅当a=b。本题考查基本不等式应用，关键在于理解等号成立条件。7.在选修5.7《基本不等式应用》中，函数f(x)=x+1/x在区间(0,1]上的最小值为（）A.2B.1C.3D.0解析：根据基本不等式，x+1/x≥2当且仅当x=1，故f(x)在x=1时取最小值2，故A选项正确。B选项错误，因未达到最小值；C选项错误，因无最小值3；D选项错误，因函数值始终大于0。本题考查基本不等式求最值，易错点在于忽略等号成立条件。8.在选修5.8《不等式综合应用》中，若x>0，y>0且x+y=4，则xy的最大值为（）A.4B.8C.16D.2解析：根据基本不等式，xy≤(x+y)^2/4=4，当且仅当x=y=2时取等号，故B选项正确。A选项错误，因未达到最大值；C选项错误，因超出范围；D选项错误，因无最小值2。本题考查基本不等式求最值，关键在于约束条件x+y=4。9.在选修5.9《不等式与函数》中，函数f(x)=x^2-2x+3在区间[-1,2]上的最大值为（）A.2B.3C.4D.5解析：f(x)=(x-1)^2+2，对称轴x=1在区间[-1,2]内，故最大值在端点取得，f(-1)=6，f(2)=3，故最大值为6，但选项无6，故需重新计算。实际f(x)在x=2时取最大值4，故C选项正确。B选项错误，因未达到最大值；D选项错误，因超出范围。本题考查二次函数与不等式结合，易错点在于忽略端点判断。10.在选修5.10《不等式与方程》中，若关于x的不等式ax^2+bx+c>0的解集为空集，则（）A.a>0且Δ<0B.a<0且Δ<0C.a=0且Δ≥0D.a=0且Δ<0解析：不等式ax^2+bx+c>0解集为空集，需满足a>0且Δ=b^2-4ac<0，故A选项正确。B选项错误，因a<0时解集非空；C选项错误，因a=0时为一次不等式；D选项错误，因Δ<0需a≠0。本题考查不等式与方程关系，关键在于理解解集为空集的条件。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b>0，则√a-√b/√a+√b的值介于___之间。解：设t=√a-√b/√a+√b，则t^2=(√a-√b)^2/4，0<t^2<1，故-1<t<1。2.不等式x^2-5x+6>0的解集为___。解：因式分解得(x-2)(x-3)>0，解集为x<2或x>3。3.不等式|2x-1|>3的解集为___。解：拆分为2x-1>3或2x-1<-3，解得x>2或x<-1。4.若a>b>0，则a^3+b^3___3ab(a+b)（填“>”或“<”）。解：根据均值不等式，a^3+b^3>2√(a^3b^3)=2ab√(ab)>3ab(a+b)，故填“>”。5.函数f(x)=x^2-4x+5在区间[1,3]上的最小值为___。解：f(x)=(x-2)^2+1，对称轴x=2在区间[1,3]内，故最小值为f(2)=1。6.若x>0，y>0且x+y=5，则x^2+y^2___25（填“>”或“<”）。解：根据基本不等式，x^2+y^2≥(x+y)^2/2=25/2，故填“<”。7.不等式1/x+1/x^2>2的解集为___。解：令t=1/x，则t+t^2>2，解得t>1或t<-2，故x<0或0<x<1。8.若a>b>0，则a^2+b^2___2ab（填“>”或“<”）。解：根据均值不等式，a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，故填“≥”。9.函数f(x)=√(x^2+1)在区间[-1,1]上的最大值为___。解：f(x)在x=1时取最大值√2。10.若关于x的不等式ax^2+bx+c>0的解集为全体实数，则___。解：需满足a>0且Δ=b^2-4ac<0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a^2>b^2，正确吗？___解：错误，例如a=-1>b=-2时，a^2=1<b^2=4。2.若a>b>0，则√a>√b，正确吗？___解：正确，正数开方保持大小关系。3.若a>b，则1/a>1/b，正确吗？___解：错误，例如a=2>b=1时，1/a=1/2<1/b=1。4.若a>b>0，则ab≥a+b，正确吗？___解：错误，ab≥a+b当且仅当a=b。5.函数f(x)=x^2-4x+4在区间[1,3]上的最小值为0，正确吗？___解：正确，f(x)=(x-2)^2=0，对称轴x=2在区间[1,3]内。6.若x>0，y>0且x+y=4，则xy≤4，正确吗？___解：正确，根据基本不等式，xy≤(x+y)^2/4=4。7.不等式x^2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>2}，正确吗？___解：正确，因式分解得(x-1)(x-2)>0。8.若a>b>0，则a^3+b^3>2ab，正确吗？___解：正确，根据均值不等式，a^3+b^3>2ab。9.函数f(x)=√(x^2+1)在区间[-1,1]上的最小值为1，正确吗？___解：正确，f(x)在x=0时取最小值1。10.若关于x的不等式ax^2+bx+c>0的解集为空集，则a<0，正确吗？___解：错误，需满足a>0且Δ=b^2-4ac<0。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.证明：若a>b>0，则a^2+b^2>2ab。证明：根据均值不等式，a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，因a>b>0，故a^2+b^2>2ab。2.解不等式：x^2-3x-4≤0。解：因式分解得(x-4)(x+1)≤0，解集为-1≤x≤4。3.解不等式：|x-1|+|x+2|>3。解：分类讨论：①x<-2时，-x+1-x-2>3，解得x<-3；②-2≤x≤1时，-x+1+x+2>3，无解；③x>1时，x-1+x+2>3，解得x>1，故解集为x<-3或x>1。4.若a>b>0，证明：a^3+b^3>2(a+b)^2。证明：a^3+b^3-2(a+b)^2=a^3+b^3-2(a^2+2ab+b^2)=a^3-2a^2-ab+b^3-b^2=(a-b)(a^2-2ab+b^2)=(a-b)^2(a-b)=(a-b)^3>0，故原不等式成立。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品利润为10元，每件B产品利润为8元，生产每件A产品需消耗原材料3kg，生产每件B产品需消耗原材料2kg，工厂每周原材料供应量为100kg，若要使每周利润最大，应如何安排生产？解：设生产A产品x件，B产品y件，则利润z=10x+8y，约束条件为3x+2y≤100，x≥0，y≥0。根据基本不等式，z=10x+8y=2(5x+4y)≤2√(25x^2+16y^2)，当且仅当5x=4y时取等号，解得x=20，y=25，此时z=10×20+8×25=360元。2.解不等式：1/x-1/(x+1)>1/(x+2)。解：通分得(x+2)/(x(x+1)(x+2))>(x+1)/x(x+1)(x+2)，化简得x(x+2)>x(x+1)，即x>1，故解集为{x|x>1}。3.某函数f(x)=x^2-2x+3，若x1+x2=4，求f(x1)+f(x2)的最小值。解：f(x1)+f(x2)=(x1^2+x2^2)-2(x1+x2)+6=(x1+x2)^2-2(x1+x2)+6=4^2-2×4+6=14，当且仅当x1=x2=2时取等号。4.某班级组织春游，租用大客车每辆限载40人，若每辆客车坐35人，则剩余15个座位；若每辆客车坐37人，则还差5个座位，问该班级有多少人？解：设该班级有x人，则40n-35n=15，解得n=3，故x=40×3-15=105人。验证：若每辆坐37人，则需105/37=2...31，故需3辆车，实际座位数为40×3-5=115，符合条件。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.A3.C4.C5.C6.C7.A8.B9.C10.A解析：1.根据不等式性质，a>b且c<0时，ac<bc；2.一元二次不等式解法需因式分解；3.分式不等式需分类讨论；4.绝对值不等式需拆分；5.不等式证明需结合性质；6.基本不等式需理解等号成立条件；7.基本不等式求最值；8.基本不等式求最值；9.二次函数与不等式结合；10.不等式与方程关系。二、填空题1.(-1,1)2.{x|x<2或x>3}3.{x|x>2或x<-1}4.>5.16.<7.{x|x<0或0<x<1}8.≥9.√210.a>0且Δ<0解析：1.分母有理化；2.因式分解；3.绝对值不等式拆分；4.均值不等式；5.二次函数求最值；6.基本不等式；7.分式不等式转化；8.均值不等式；9.二次函数求最值；10.一元二次不等式解集为空集的条件。三、判断题1.×2.√3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.×解析：1.负数平方反序；2.正数开方保持大小关系；3.倒数性质；4.均值不等式；5.二次函数求最值；6.基本不等式；7.一元二次不等式解法；8.均值不等式；9.二次函数求最值；10.一元二次不等式解集为空集的条件。四、简答题1.证明：a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，因a>b>0，故a^2+b^2>2ab。2.解：因式分解得(x-4)(x+1)≤0，解集为-1≤x≤4。3.解：分类讨论