2024版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5节事件的独立性条件概率与全概率公式学案含解析新人教A版

2024版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其

分布第5节事件的独立性条件概率与全概率公式学案含解析新人教A

版2023051915第五节事件的独立性、条件概率与全概率公式

——、必备知识-回顾教材重“四基”

一、教材概念・结论•性质重现

I.条件概率

设A,8为两个随机事件，且尸(A)>0,称P(3|A)=筮1为在事件4发生

条件概率的

定义

的条件下，事件3发生的条件概率，简称条件概率

⑴P(0|A)=1；

条件概率的

(2)如果月和。是两个互斥事件，则P(BUC\A)=P(B\A)-\-P(C\A)i

性质

⑶设了与B互为对立事件,则P{B|A)-1-P(B\A)

2.事件的相互独立性

事件A与事件8相互对任意的两个事件A与B,如果P(寸任=aA)P(8)成立,则称

独立事件4与事件8相互独立，简称为独立

若事件A与事件8相互独立，则4与丁，下与4,丁与石也

性质

都相互独立，P(B\A]=P(B),P(A\B)=P(A)

微提醒

(1)易混淆“相互独立”和“事件互斥”

两事件互斥是指两事牛不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另

一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥.

(2)易混淆P(8|4)与P(A\B)

前者是在A发生的条件下4发生的概率，后者是在8发生的条件下A发生的概率.

3.全概率公式

一般地，设Ai，4，…，4是一组两两互斥的事件,且P(A)>0,i

=1,2，…，”，则对任意的事件8UO,有P(8)=/P(4)P(3A).称上面的公式为全概率公式.

口

二、基本技能•思想・活动体验

1.判断下列说法的正误，对的打“，错的打“X”.

(1)相互独立事件就是互斥事件.(X)

(2)对于任意两个事件，公式P(A8)=P(A)尸(8)都成立.(X)

(3)P(8|A)表示在事件A发生的条件下，事件3发生的概率，PGAB)表示事件A,8同时发

生的概率.(J)

(4)若事件4,8相互独立，则P(B|4)=P(B).(V)

2.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同.甲每次

从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()

3132

-C--

A.B.38D.9

10

B解析：设“第一次拿到白球”为事件4,“第二次拿到红球”为事件8.依题苣P(A)

212X31

=l0=5*WB)=Tox9=i5-

故在他第一次拿到白俅的条件下，第二次拿到红球的概率p(用A)

3.天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时

间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()

A.0.2B.0.3C,0.38D.0.56

C解析：设甲地降雨为事件A,乙地降雨为事件8,则两地恰有一地降雨为4万+~AB,

所以P{AB+TB)=P(A~B)+P(TB)

=P(A)P(~B)+P(T)P(8)=0.2x().7+0.8x0.3=0.38.

4.(2020.湖南省六校高三联考)甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概

率分别为方和土；乙笔试、面试通过的概率分别为春畛若笔试、面试都通过则被录取，旦甲、

乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是,只有一人被录取的

概率是.

433

1Q-X-=-21

与方解析：甲被录取的概率0545乙被录取的概率〃2=彳乂5=\,则该次考试

3113

甲、乙同时被录取的概率是〃|p2X]=《，只有一人被录取的概率是〃1(]~p2)+p2(l—pi)=c

JJJJ

5.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个

问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题

的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于.

().128解析：记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A.由题意知，若

该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答

正确，第一个问懑可对可错，故P(A)=IX0.2X0不X0X=612X.

关键能力-研析考点强“四翼”

考点I相互独立事件的概率一基础性

「多维训练」

1.（2020•山东省新高考质量测评高三联考）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发

布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性

能处理器“鳗鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯

拉完全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思"Versal自适应计算加速

平台”.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且

学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为（）

A89n2厂98nl9

A•方B.斫C.mD.力

D解析：根据题意可知，1名学生从15项中任选1项，其中选择“芯片领域”的概率

2

故其没有选择“芯片硕域”的概率为2

o7oR

则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为.因此至少有1名学生选择

“芯片领域”的概率为1一券8=多19故选D.

2.（2020•天津市和平区高三二模）已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定

费用只可能为123元）.甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5,0.2,甲、乙租车费用为2

元的概率分别是0.2,0.4,则甲、乙两人租车费用相同的概率为（）

A.0.18B.0.3C.0.24D.0.36

B解析：由题意知甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,04

所以甲、乙两人所租车费用相同的概率为〃=0.5义0.2+0.2X0.4+0.3X0.4=03

3.（2019•全国卷11）11分制乒乓球比赛，每赢•球得1分，当某局打成10：10平后，每

球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假

设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某

局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

⑴求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.

解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得

解题通法

求条件概率的两种方法

(1)利用定义，分别求P(4)和P(AB),得尸(8糙)=萼兽，这是求条件概率的通法.

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数〃(A),再求事件A与事件8的交

事件中包含的样本点数n(AB),得P(B|A)=3常.

「多维训练」

1.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放

着.现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺

口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()

3277

A.mB.§C.gD.g

D解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件8为“第2次抽到的是卡口

7

灯泡”，则尸(人)=而，尸而乂§=而，则所求的概率为P(8|/l)=

To

2.将三颗骰子各掷一次,设事件A为“三个点数都不相同”，8为“至少出现一个6点”，

则条件概率0(川8)=,P(8|A)=.

瑞|解析：P(4|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件4发生的概率，即在“至少

出现一个6点”的条件下，”三个点数都不相同”的概率.因为“至少出现一个6点”有

6X6X6—5X5X5=91(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有CJX5X4

=60(种)情况，所以尸(川3)=算.

P(8|A)的含义是在事小A发生的条件下，事件3发生的概率，即在“三个点数都不相同”

的条件下，“至少出现一个6点”的概率.因为“三个点数都不相同”有6X5X4=120(种)

情况，所以P(8|A)=:

考点3全概率公式——基础性

「典例引领」

例❸，有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三

厂生产的占20%.已知这三个厂的产品次品率分别为2%」％1％,问从这批产品中任取一件是

次品的概率是多少？

解：设事件A为“任取一件为次品”，

事件属为“任取一件为，厂的产品"，i=l,2,3.

B|UB2U«3=S,

由全概率公式得

尸(A)一尸(A|6)P(6i)+尸(A+2)A(82)+P(A|&)P(&).

尸(3)=03,尸(&)=05,P(&)=02

P(A|B))=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|&)=0.01,

故P(A)=P(A\B\)P(5i)4-P(A\B2)P(B2)+P(A\B3)P(B3)=0.02X0.34-0.01X0.5+0.01X0.2=

0.013.

解题通法

通常把小，生,…，B”看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”，必是〃个车间

生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致人发生；若4表示“被击中”，必有

几种方式或几个人打中.

(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生.

(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和.

(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.

「多维训练」

一个盒了一中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次占取1个，连取2次，求第二次

取到白球的概率.

解:4=｛第一次取到白球｝,8=｛第二次取到白球｝.

因为B=AB^~AB,且AB与下3互斥，所以/5)=0(43)+。(工8)=。04)尸(8依)+

6546

-X-X-

P(A)P(B\A)=9+-9

1()10

------、一题N解・深化综合提“素养”/------

「试期呈现」

从123,4,5中任取2个不同的数，事件A=”取到的2个数之和为偶数”，事件8="取

到的2个数均为偶数”，则P(用人)=()

1121

--C--

A.8B.45D.2

［四字程序］

读想算思

求条件概率1.条件概率的公式；用字母表示事件，理

转化与化归

尸仍依)2.占典概型清楚事件之间的关系

A=”取到的2个数1求.P(A),

1.条件概率的公

LP(印

之和为偶数”，P(AB)；

式；

B=”取到的2个数2求.n(A),

2.古典概型的公式

均为偶数”iKAR)

「一题多解」

解法

思路参考：根据条件概率公式求解.

B解析：P(A)=%=,由条件概•率计算公式，得P(8|A)=,")

1

=卫=1

-2-4-

5

解法

思路参考：缩小样本空间，利用古典概型概率公式求解.

B解析：事件A包括的样本点为(1,3),(1,5),(3,5),(2,4),共4个.

事件A8发生包含的样本点只有(2,4)一个，即〃(A8)=l.

故由古典概型概率P(B|A)=3翳=：.

「思维升华」

本题考查条件概率求解问题.利用定义，分别求P(A)和PC48),W这是

求条件概率的通法.借助古典概型概率公式，先求事件人包含的样本点数〃(八)，再求事件人

与事件B的交事件中包含的样本点数〃(A8),得户(8依)=喏.这是将条件概率缩小样本空间

转化为古典概型.这需要学生具有一定的数学运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了

逻辑推理.、数学运算的核心素养.

类题试练

现有3道理科题和2道文科题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的

条件下，第2次抽到理科题的概率为()

3213

A-10B-5C-2D-5

C解析：(方法一)设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题”为事件8,

3义2

P(AB)5X41t

P(B\A)=p(.=—，一=5.故选C.

5

(方法二)在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到

理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为}.故选C.

第六节二项分布、超几何分布与正态分布

---------、必备知识-回顾教材重“四基”/----------

一、教材概念・结论•性质重现

1.〃重伯努利试验与二项分布

(1)〃重伯努利试验

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组成的随机试验称为〃重伯努利试验.

(2)二项分布

设每次试验中事件A发生的概率为“(OVpVI).

在〃重伯努利试验中，用X表示事件人发生的次数，则X的分布列为P(X=Z)=皿n

一〃尸，k=O』,2,…，小则称随机变量X服从二项分布,记作X〜8(〃，〃).

微提醒■■■■

二项分布与两点分布的联系

由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即〃=1时的二项分布.

2.超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件产品中的次品

数，则X的分布列为P(X=%)=0^^^,女=〃?，机+1,〃i+2,…，r,其中〃，/W,NEN",

MWM〃WN,m=max{0,N+M},r=min{/?»M],称随机变量X服从超几何分布.

微提醒■■■：

超几何分布的特征

(I)考察对象分两类；

(2)已知各类对象的个数；

(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布.

超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.

3.正态分布

(I)正态曲线

。一")2

函数人幻=雄”2，，工£R，其中4£R，6>0为参数，我们称函数人幻为正态密度

函数，称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.

(2)正态曲线的特点

①曲线位于X轴上直，与X轴不相交.

②曲线是单峰的，它关r直线3对称.

③曲线在.处达到峰值

④曲线与x轴围成的面积为1.

⑤在参数〃取固定值时，正态曲线的位置由〃确定，且随着心的变化而沿x轴平移，如

图⑴所示.

⑥当"取定值时，正态曲线的形状由。确定，♦较小时,峰值高，曲线“瘦高”，表示

随机变量X的分布比较集口；。较大时,峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较

分散,如图⑵所示.

(3)正态分布的定义及表示

(大一")2

若随机变量X的概率分布密度函数为«r)=^e2/，入eR,则称随机变量X服从

正态分布，记为X〜N(H，/).

正态总体在三个特殊区间内取值的概率值.

①Pa—。WXW4+0ao.6827.

②-2厅〈XW"+2*0.9545.

③R〃一3oWXW〃+3o)-0.9973.

微提醒■■■

若X服从正态分布，即X〜N(〃，/)，要充分利用正态曲线的关于直线X=〃对称和曲线

与x轴之间的面积为1.

二、基本技能・思想・活动体验

1.判断下列说法的正误，对的打“，错的打“X”.

(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X=A)=a"(l—p)〃r,&=0,1,2,…，/?

表示的概率分布列，它表示了〃次独立重复试验中事件力发生的次数的概率分布.(J)

(2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个

数X服从超几何分布.(X)

(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.(J)

(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一个球.若是向球，则取出来，若是黑

球，则放回盒中，直到把白球全部取出来.设取到黑球的次数为X,则X服从超几何分布.

(X)

(5)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项式(《+与〃展开式的通项公式，其中。=小

b=\~p.(X)

(6)正态分布中的参数〃和〃完全确定了正态分布密度函数，参数〃是正态分布的均值，〃

是正态分布的标准差.

(J)

2

2.如果某一批玉米种了•中，每粒发芽的概率均定，那么播下5粒这样的种子，恰有2

粒不发芽的概率是()

8080163163

A-24381C'243D,729

A解析：用X表示发芽的粒数，则X〜45,|),则「(乂=3)=色乂0)=替,

QA

故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为患.

3.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80,标准差为10,

则理论上在80分到90分的人数是()

A.32B.16C.8D.20

B解析：因为数学成绩近似地服从正态分布M80J02),所以P(LL80|W10户0.6827.

根据正态曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率

的一半，所以理论上在80分到90分的人数是gX0.6827X48比16.

4.设随机变量X〜8(6,；),则尸(X=3)等于()

A-16B-16C-8D-8

A解析：因为X〜即，3),所以由二项分布可得，P(X=3)=cg)(1—：)=焉

5.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c—l)=P(X<c+3),则。=.

4

T解析：因为X〜M3」)，所以正态曲线关于直线工=3对称，且P(x>2c-I)=尸(Xvc+

4

3),所以2c-l+c+3=2X3,所以c=、

6.已知随机变量X〜N(l,f)，若尸(X>0)=0.8,则P(X22)=.

0.2解析：随机变量X服从正态分布所以正态曲线关于x=l对称，所以P(X22)

=P(XW0)=1-P(X>0)=0.2.

---------\关键能力•研析考点强“四翼---------

___________________A

考点1〃重伯努利试验与二项分布——综合性

「典例引领」

考向I〃重伯努利试验及其概率

例D,甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别掂和木假设两人射击是否击中目标

相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

(I)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率.

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.

(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击.问：乙恰好射击5次后，被终止射击

的概率为多少？

解：(1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A,则事件Ai的对立事件下\

为“甲射击4次，全部击中目标”.由题意可知，射击4次相当于做了4次独立重复试验，

故P(AI)=C|X(Q)=$.

所以P(4i)=l—P(Ai)=l-患=*

所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为旨.

O1

(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件Az,“乙射击4次，恰好击中目标3次“

为事件历，

则尸(42)=©><(|)=*,

P(B2)=dX

由于甲、乙射击相互浊立，

o771

x=

故P(A2B2)=P(A2)P(^2)=57M8,

所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为!

O

(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件小，“乙第i次射击未击中”为事件

=123,4,5),

则Ay=D5D4~D3(~D2万1U万2。1口。2万1),

且P(D,)=1.

由于各事件相互独立，故

——.......一一45

XXXX=

P(A3)=P(D5)P(D4)P(D3)P(。2。i+。2。+。2。I)=444V44jH^4-

45

所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为丁宗行;

1U4f

解题通法

〃重伯努利试验概率求解的策略

(1)首先判断问题中涉及的试验是否为〃重伯努利试脸，判断时注意各次试验之间是否相

互独立的，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试脸中，某一事件发生的概率是

否都相等，全部满足〃重伯努利试验的要求才能用相关公式求解.

(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概

率公式.

考向2二项分布

例❷•某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审

予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不

一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员

获得每位初审专家通过的概率均为3,复审能通过的概率为看各专家评审的结果相互独立.

(1)求某应聘人员被录用的概率：

(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变显X的分布列.

解：设“两位专家都同意通过”为事件A,“只有一位专家同意通过”为事件8,“通

过复审”为事件C.

(1)设“某应聘人员被录用”为事件。，

则O=AUBC.

因为P(A)=|x|=|,

P(B)=2x1x[l-^=1,

3

P(C)=73，

2

所以P(D)=P(AUBC}=P(A)+P(B)P(C)=^.

⑵根据题意，X=0,l,2,3,4,且X〜B(4,I),

A,表示“应聘的4人中恰有i人被录用"什=0,1,2,3,4).

因为P(4o)=C?X(J)=融

3

P(A1)=cix|x(|)=211r

呐)=心图乂窗=鬻,

P“3)=GX窗x,=券

3X穹词畸

所以X的分布列为

X01234

812162169616

P

625625625625625

解题通法

二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式尸(X

=&)=C刷(1一〃)”一”的三个条件：⑴在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数P：(2)〃次

试脸不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该

公式表示〃次试脸中事件A恰好发生了k次的概率.

「多维训练」

为门防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行

两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不

合格的概率为/第二轮检测不合格的概率为七，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可

以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4

件产品，记一箱产品获利X元，则P(X2-80)=.

急解析：由题意得该产品能销售的概率为(1一1)(1一=)=*易知X的所有可能取值为

-320,-200,-80,40,160.

设C表示一箱产品中可以销售的件数，则《〜班,1)，

所以pq=A)=c§(g人6j:

所以P(X=-80)=PC=2)=C《{f({f=蕊，

户(X=40)=PG=3)=C«gQ)=/,

户(X=160)=PC=4)=C^)0=线-

?43

故P(X2-80)=P(X=~80)+P(X=40)+P(X=160)=^TT.

乙JU

考点2超几何分布——徐合性

「典例引领」

例❸，在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方

法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理

暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名

男志愿者4，4，An人，4，A6和4名女志愿者小，Ih，小，小，从中随机抽取5人接受

甲种心理暗示，另5人接受乙种心埋暗示.

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含S的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.

解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含囱的事件为M,

c25

则尸例)=诙=,

(2)由题意知X可取的值为0.123.4.则

p(x-o)-c?o-42,

P(X-I)-C?O-21,

P(X-2)-C?O-21，

产(X-3)-a。-2V

P(X_4)-c5o-42，

因此X的分布列为

X01234

151051

P

4221212142

解题通法

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分

布的特征：

①考查对象分两类：②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数

X的才肥率分布.

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.

「多维训练」

1.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为占已知PC=1)

=票，且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为()

A.10%B.20%C.30%D.40%

B解析：设10件产品中有x件次品，则P《=D=笔2H=出好。=票，所以x=2

或A—8.

9

因为次品率不超过40%,所以x=2,所以次品率为6=20%.

2.(2020.贵阳市四校高三联考)高新区某高中德育处为了调查学生对“国安法”的关注情

况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到

其测试成绩(百分制)如下：

52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.

(1)写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的

人数；

(2)从所抽取的7()分以上的学生中再随机选取4人，记c表示测试成绩在80分以上的人

数，求。的分布列和数学期望.

解：(1)由已知数据可得中位数为76,样本中70分以上的所占比例为

故可估计该校测试成绩在70分以上的约为

2

3000乂？=20()0(人).

(2)由题意可得^的可能取值为0,1,2,3,4.

CSCiIclci168Cjc33618

尸＜=0)=CS-70,PC=1)=Ci-70-35,尸c=2)=一70-35'

CiCS1

P&_3)_a-70-35*尸仁—4)一©-70-

所以j的分布列为

001234

181881

P

7035353570

IQ1QQI

£1(4)=0X—+1X--I-2X—+3XTT+4X—=2.

考点3正态分布——应用性

「典例引领」

例0"(1)(多选题)(2020•本溪高级中学期末)若随机变量J〜M。［)，Mx)=P4Wx),其中

x>0.下列等式成立的有()

A.(p(—x)=1—(p(x)

B.(p(2x)=2(p(x)

C.P(团<A)=2°(K)-1

D.P(ia>x)=2-^(x)

AC解析：因为随机变量4服从标准正态分布MO,1),所以正态曲线关于<=0对称，

如图.

9(—x)=9(j2x)=1—p(x),所以A项正确:

(p(2.x)=(p(^<：2x),2<p(x)=2(p«4x),

所以e(2x)W2夕。),B项错误；

P(©<x)=P(~x<^<x)=1—2(p(—x)=1—2[1—(p[x)]=2砥x)—1,所以C项正确；

P(图>x)=P{^>x或。<—x)=1­°(x)+(p(—x)=1—(p(x)+1—(p{x}=2—2(p{x},所以D项错

误.故选AC.

(2)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X〜N(8OO.5()2),则一天中从甲地去

乙地的旅客人数不超过900的概率为()

A.0.97725B.0.84135

C.0.9973D.0.9545

A解析：因为X〜曲800,502),

所以P(700WXW900)=0.9545,

1—09545

所以P(X>900)g-----广，=0.02275,

所以RXW900)比1—0.02275=0.97725.

(3)“过人年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一人习俗.2020年春节前夕，ATtf某质检

部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布比方图

如下：

,频率/组距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

01___________________►

1020304050质址指标值

①求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数7(同一组中的数据用该组

区间的中点值作代表)：

②由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布M/1，『),

利用该正态分布，求Z落在［14.55,38.45］内的概率.

附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为。=可位方-11.95.