2027版53B版新高考版数学总复习分层训练2.4　函数的零点与方程的根

专题二函数及其性质2.4函数的零点与方程的根目录考点函数的零点五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练

五年高考·考点练考点函数的零点1.★★★(2024新课标Ⅱ,6,5分)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y

=f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a=

()A.-1

B.

C.1

D.2

D

解析解法一:令f(x)=g(x),则a(x+1)2-1=cosx+2ax,即a=

.显然y=

为偶函数,由偶函数图象的对称性知,若曲线f(x)与g(x)恰有一个交点,则曲线y=

与直线y=a恰有一个交点,故此交点必在y轴上,即x=0,此时a=

=2,故选D.解法二:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2-cosx+a-1.将曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点转化为当x∈

(-1,1)时,函数h(x)只有一个零点,易知h(x)为偶函数,则h(0)=0,则a=2.故选D.2.★★★(2024新课标Ⅱ,8,5分)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为

()A.

B.

C.

D.1

C

解析

f(x)≥0⇔x+a≥0与ln(x+b)≥0的解集相同,①或x+a≤0与ln(x+b)≤0的解集相同.②由①得,x≥-a与x≥1-b的解集相同,因此,-a=1-b,即b=1+a,由②得,-b<x≤-a与-b<x≤1-b的解集相同,因此,-a=1-b,即b=1+a,综上所述,b=1+a.∴a2+b2=a2+(1+a)2=2

+

≥

,故选C.思路点拨两个各自仅有一个变号零点的函数,若乘积恒大于或等于0,则两个函数的

零点一定相等.3.★★(2026全国Ⅱ卷,13,5分)若函数f(x)=2x+22-x-m有两个零点,则m的取值范围是________________.(4,+∞)

解析对于f(x)=2x+22-x-m,令t=2x,t>0,则22-x=4·2-x=

,于是f(x)即为y=t+

-m(t>0).因为t=2x为单调递增函数,所以函数f(x)有两个零点等价于方程t+

=m有两个不同的正实数根.令g(t)=t+

(t>0),则g'(t)=

(t>0),当0<t<2时,g'(t)<0,当t>2时,g'(t)>0,所以g(t)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(t)min=g(2)=4,则g(t)∈[4,+∞).作出g(t)=t+

(t>0)的图象,如图所示.

由图可知,当m>4时,直线y=m与函数g(t)=t+

(t>0)的图象有两个交点,即方程t+

=m有两个不同的正实数根,所以m的取值范围是(4,+∞).闪击高考由对勾函数的图象及性质,可直接得出g(t)=t+

(t>0)的值域为[4,+∞),则m>4时满足题意.4.★★★(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lgx|-kx-2,给出下列四个结论:①当k=0时,f(x)恰有2个零点;②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.其中所有正确结论的序号是__________.①②④

解析令f(x)=|lgx|-kx-2=0,得|lgx|=kx+2,令g(x)=|lgx|,h(x)=kx+2,所以f(x)的零点个数即

函数g(x)与h(x)图象的交点个数.当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有2个交点,则f(x)有2个零点,故①正确;当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lgx|(x>1)的图象相切的情况,此时h(x)与g(x)的图象有2个交点,当0<k<k0时,g(x)与h(x)的图象有3个交点,则f(x)有3个零点,故④正确;当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有2个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点,如

图d,故②正确,③不正确.综上,正确结论的序号为①②④.

图a

图b

图c图d5.★★★★(2022天津,15,5分)设a∈R,对任意实数x,用f(x)表示|x|-2,x2-ax+3a-5中的较小

者.若函数f(x)至少有3个零点,则a的取值范围为_________________.

[10,+∞)

解析设g(x)=|x|-2,h(x)=x2-ax+3a-5,第一步,分析h(x)的零点情况.∵g(x)有2个零点,f(x)至少有3个零点,∴h(x)必有零点.第二步,讨论h(x)的零点个数.对于h(x)=x2-ax+3a-5.(1)当Δ=0时,a=2或10.①当a=2时,h(x)=x2-2x+1,如图1.此时,f(x)=|x|-2,有2个零点,不符合题意.②当a=10时,h(x)=x2-10x+25,如图2.此时,f(x)有3个零点,符合题意.

(2)当Δ>0时,a<2或a>10.设h(x)的两个零点为x1,x2,且x1<x2.①当a<2时,要使f(x)至少有3个零点,h(x)的两个零点x1,x2需满足x1<x2≤-2,如图3,∴

不等式组无解.②当a>10时,要使f(x)至少有3个零点,需h(x)的两个零点x1,x2满足2≤x1<x2,如图4,∴

解得a>4,∴a>10.

图3

图4综上,a的取值范围为[10,+∞).三年模拟·限时练基础强化练

限时20分钟1.(2026天津和平期末)函数f(x)=x-lo

x+1的零点所在的一个区间为

()A.

B.

C.

D.

C

解析易知f(x)单调递增,f

=

-lo

+1=

-1+1=

>0.35<44,所以

<4,log3

=

<log34,则f

=

-lo

+1=

-log34<0,所以函数f(x)=x-lo

x+1的零点所在的一个区间为

.故选C.2.(2026山西运城考前模拟)若幂函数f(x)的图象经过点

,则函数g(x)=f(x)-x2+3的零点个数为

()A.1

B.2

C.3

D.4

C

解析根据题意,设f(x)=xa(a∈R),则f

=

=

,即

=

,所以-

a=

,解得a=-1,所以f(x)=x-1=

.由g(x)=f(x)-x2+3=0可得x2-3=

,作出函数f(x)与y=x2-3的图象如图所示,

结合图象知函数f(x)的图象与y=x2-3的图象有3个交点,故函数g(x)的零点个数为3.故

选C.3.(2026黑龙江齐齐哈尔二模)函数f(x)=3x+x+a,若f(a)=0,则a的取值范围为

()A.(-3,-2)

B.(-2,-1)

C.(-1,0)

D.(0,1)

C

解析由题得f(a)=3a+2a=0,令g(a)=3a+2a,易知g(a)单调递增,又g(-1)=

-2=-

<0,g(0)=1>0,所以根据零点存在定理可知-1<a<0,即a的取值范围为(-1,0).故选C.4.(2026河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)=

若方程f(x)=k只有一个实数解,则k的取值范围为

()A.[-1,0]

B.(-1,0]

C.[-1,0)

D.(-1,0)

A

解析作出f(x)=

的图象如图,

由图知,若方程f(x)=k只有一个实数解,则k的取值范围为[-1,0].故选A.5.(2026安徽合肥三模)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的,有如下对应表:x123456y122.521.4-7.44.5-53.1-125.5则函数f(x)在区间[1,6]上的零点()A.只有2个

B.至多有3个C.只有3个

D.至少有3个

D

解析由题表知f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以由零点存在定理可知f(x)在(2,3),

(3,4),(4,5)上都至少有一个零点,则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.故选D.6.(2026安徽滁州第一次质量监测)已知函数f(x)=x+

-3,g(x)=x+lo

x-3的零点分别是x1,x2,则x1,x2满足

()A.x1+2x2=2

B.2x1+x2=3C.x1+x2=2

D.x1+x2=3

D

解析由题意可知,x1,x2分别是y=

,y=lo

x和y=3-x的图象的交点的横坐标,而y=

和y=lo

x互为反函数,所以其图象关于直线y=x对称,因为直线y=3-x和直线y=x垂直,所以两个交点也关于直线y=x对称,由

得x=

,故x1+x2=3.故选D.7.(2026河南濮阳一模)已知函数f(x)=2x+x-1,g(x)=log2x+x-1,h(x)=x3+x-1的零点分别为a,b,

c,则a,b,c的大小顺序为

()A.b>c>a

B.b>a>c

C.c>b>a

D.c>a>b

A

解析由题意可知,a,b,c分别为y=2x,y=log2x,y=x3与y=1-x的图象的交点的横坐标,作出y=

2x,y=log2x,y=x3,y=1-x的图象如图,

由图可知,b>c>a.故选A.一题多解易知f(x),g(x),h(x)均为增函数,因为f(0)=0,g(1)=0,所以a=0,b=1,因为h(0)=-1<0,h(1)=1>0,所以0<c<1,所以b>c>a.故选A.综合提升练

限时30分钟1.(2026北京顺义一模)已知函数f(x)=

若方程f(x)=x2-kx有4个不同的实数解,则k的取值范围是

()A.(-∞,0)

B.

C.(-∞,0)∪

D.

B

解析当x≥0时,方程为x3-x2+kx=0,显然x=0是此方程的一个实根,则问题转化为f(x)=x2-

kx,x≠0有3个不同的实数解.当x>0时,方程化为x2-x+k=0,即k=-x2+x,当x<0时,方程为-x-x2+kx=0,化简得x+1-k=0,即k=x+1,在同一坐标系中画出y=

的图象与直线y=k(如图),问题转化为两个函数图象有3个不同交点,则k的取值范围为

.故选B.2.(2026山东泰安一轮检测)已知方程|lgx2|-m=0的四个实根从小到大排列后成等差数

列,则实数m=

()A.lg3

B.lg

C.lg2

D.2lg2

A

解析设方程|lgx2|-m=0的四个实根分别为x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),由|lgx2|-m=0得2|lg|x||=m,即lg|x|=

或lg|x|=-

,如图,所以x1=-

,x2=-

,x3=

,x4=

,因为x1,x2,x3,x4成等差数列,所以2x3=x2+x4,即2×

=-

+

,可得10m=3,即m=lg3.故选A.3.(2026重庆育才中学月考)已知函数f(x)=

g(x)=f(x)-kx(k∈R).若函数g(x)有3个不同的零点,则实数k的取值范围是

()A.

B.(0,1)

C.

D.(0,1]

C

解析由g(x)=0,得kx=f(x),则k=

,令函数h(x)=

=

由函数g(x)有3个不同的零点,得方程k=h(x)有3个不同的解,即直线y=k与函数y=h(x)的图

象有3个交点,在同一坐标系内作出直线y=k与函数y=h(x)的图象,如图,

观察图象,当且仅当0<k≤

时,直线y=k与函数y=h(x)的图象有3个交点,所以k的取值范围是

.故选C.4.(2026河南鹤壁一模)已知函数f(x)=

若关于x的方程2[f(x)]2+(3-3a)f(x)+2a=0在区间(-∞,2025]内有2027个不同的实数根,则实数a的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

B

解析先作出f(x)在(-∞,0]上的图象,再扩展到整个定义域,如图.

令f(x)=t,当t∈(-1,0]时,方程f(x)=t在(-∞,2025]内有2026个实根;当t∈(-∞,-1]时,方程f(x)=t在(-∞,2025]内有1个实根,因为方程2[f(x)]2+(3-3a)f(x)+2a=0在区间(-∞,2025]内有2027个不同的实数根,所以方程2t2+(3-3a)t+2a=0有一个根为-1,另一个根在(-1,0]内,此时a=

,符合题意,或者有一个根在(-1,0]内,另一个根在(-∞,-1)内,令g(t)=2t2+(3-3a)t+2a,则

即

解得0≤a<

.综上,0≤a≤

.故选B.5.(多选)(2026江苏省仪征中学等校联考)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(1)=2,且函

数g(x)=f(x)-x无零点,则

()A.方程g(f(x))=0有解

B.f(f(x))>x恒成立C.方程f(f(x))=x有解

D.g(f(x))>0恒成立

BD

解析

g(x)=f(x)-x,则g(1)=f(1)-1=1>0.又g(x)为二次函数,且无零点,所以g(x)在实数范围内恒正或恒负.由于g(1)>0,故g(x)>0,x∈R.于是f(x)-x>0,x∈R,即f(x)>x,x∈R.对于D,由于g(x)>0对任意实数x都成立,所以把x换成f(x),得g(f(x))>0恒成立,故D正确.对于B,由g(f(x))>0可得f(f(x))-f(x)>0,即f(f(x))>f(x).再由f(x)>x知f(f(x))>x恒成立,故B正确.对于A,若方程g(f(x))=0有解,则g(x)有零点,这与题意矛盾,故A错误.对于C,若方程f(f(x))=x有解,而由B可知f(f(x))>x,矛盾,故C错误.故选BD.6.(多选)(2026辽宁大连二十四中模拟)下列函数在[1,+∞)中有无穷多个零点的是

()A.f(x)=ln(sinx+

)

B.f(x)=sin

C.f(x)满足f(x)=cos(x+f(x))

D.f(x)满足f'(x)=x2026+f2(x)AC

解析

A.由f(x)=ln(sinx+

)=0,得sinx=1-

,结合正弦函数的周期性,得f(x)在[1,+∞)中有无穷多个零点,A符合题意.B.由f(x)=sin

=0得

=kπ,k∈Z,即x=

,k∈Z,故f(x)在[1,+∞)中的零点只有x=1与x=2,B不符合题意.C.f(x)=cosxcosf(x)-sinxsinf(x),令f(x)=0,得0=cosxcos0-sinxsin0,解得cosx=0,则x=

+kπ(k∈Z),故f(x)在[1,+∞)中有无穷多个零点,C符合题意.D.x∈[1,+∞)时,f2(x)+x2026>0恒成立,则f'(x)>0,故f(x)单调递增,故f(x)在[1,+∞)中至多有

一个零点,D不符合题意.故选AC.7.(多选)(2026四川德阳二诊)已知关于x的方程|(x+1)ex-1|=mx+m(x>-1)有两个根x1,x2(x1<x2),则下列说法正确的有

()A.-1<x1<0<x2

B.x1+x2<0C.x1+1<

D.lnm<x2<em

ACD

解析因为方程|(x+1)ex-1|=mx+m(x>-1)有两个根x1,x2(x1<x2),所以m=

=

,问题等价于函数y=

的图象与直线y=m在(-1,+∞)上有两个交点,设f(x)=ex-

,易知f(x)在(-1,+∞)上单调递增,且f(0)=0,由此可作出y=

,x>-1的大致图象,如图,

由图可知-1<x1<0<x2,选项A正确.根据图象可知当m逐渐增大时,x1→-1,而x2将会大于1,此时x1+x2>0,选项B不正确.因为-1<x1<0,则1-(x1+1)

=mx1+m,所以m=

,则

=

,因为1>x1+1>0,0<1-(x1+1)

<1,所以x1+1<

,选项C正确.因为x2>0,则(x2+1)

-1=mx2+m,所以m=

=

-

,则

=m+

>m,两边取对数得x2>lnm.m=

-

,令y=em-x=e×ex-

-x=ex+1-

-(x+1)+1,x>0,令t=x+1(t>1),则y=et-

-t+1,y'=et+

-1,因为t>1,所以y'>0,则y=et-

-t+1单调递增,即得y>e1-e-1+1=0,即em>x,所以x2<em,即lnm<x2<em.选项D正确.故选ACD.8.(多选)(2026湖北荆州质检)“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”

等类似于周期函数性质的一类函数,我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研

究.已知函数f(x)=

是一个“局部周期递归函数”,则下列说法正确的有

()A.函数f(x)的值域为(-∞,1]B.函数f(x)在(4,+∞)上单调递减C.方程f(x)=1有5个不同的解D.若方程[f(x)]2-tf(x)+1=0有10个不同的解,则2<t<

BC